Bevis

Subtraktionsformeln för sinus

Sinusvärdet av en differens kan delas upp i en kombination av vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

$\sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v)$

Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om subtraktionen $u-v$ som en addition med ett negativt tal.

$\sin(u-v)$

$a-b = a+(\text{-} b)$

$\sin(u+ (\text{-} v))$

$\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)$

$\sin(u)\cos(\text{-} v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)$

Uttrycket kan nu förenklas med sambanden $\cos(\text{-} v)=\cos(v)$ och $\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)$.

$\sin(u)\cos(\text{-} v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)$

$\cos(\text{-} v)=\cos(v)$

$\sin(u)\cos(v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)$

$\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)$

$\sin(u)\cos(v) + \cos(u)\left( \text{-} \sin(v)\right)$

$a(\text{-} b)=\text{-} a \cdot b$

$\sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)$

Sinusvärdet av en differens kan alltså skrivas som $\sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v).$

Q.E.D.