Subtraktionsformeln för sinus

Sinusvärdet av en differens kan delas upp i en kombination av vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

sin (u - v) = sin (u) cos (v) - cos (u) sin (v)

Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om subtraktionen

u - v

som en addition med ett negativt tal.

sin (u - v)

$a - b = a + (- b)$

sin (u + (- v))

$sin (u + v) = sin (u) cos (v) + cos (u) sin (v)$

sin (u) cos (- v) + cos (u) sin (- v)

Uttrycket kan nu förenklas med sambanden

cos (- v) = cos (v)

och

sin (- v) = - sin (v)

.

sin (u) cos (- v) + cos (u) sin (- v)

$cos (- v) = cos (v)$

sin (u) cos (v) + cos (u) sin (- v)

$sin (- v) = - sin (v)$

sin (u) cos (v) + cos (u) (- sin (v))

$a (- b) = - a \cdot b$

sin (u) cos (v) - cos (u) sin (v)

Sinusvärdet av en differens kan alltså skrivas som

sin (u - v) = sin (u) cos (v) - cos (u) sin (v) .

Q.E.D.