Bevis

Subtraktionsformeln för sinus

Sinusvärdet av en differens kan delas upp i en kombination av vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

$\sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v)$

Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om subtraktionen

u-v

som en addition med ett negativt tal.

\sin(u-v)

a-b = a+(\text{-} b)

\sin(u+ (\text{-} v))

\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)

\sin(u)\cos(\text{-} v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)

Uttrycket kan nu förenklas med sambanden

\cos(\text{-} v)=\cos(v)

och

\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)

.

\sin(u)\cos(\text{-} v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)

\cos(\text{-} v)=\cos(v)

\sin(u)\cos(v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)

\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)

\sin(u)\cos(v) + \cos(u)\left( \text{-} \sin(v)\right)

a(\text{-} b)=\text{-} a \cdot b

\sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)

Sinusvärdet av en differens kan alltså skrivas som

\sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v).

Q.E.D.

Videohandledningar