body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

← Trigonometriska ettan och additionsformler

Regel

Additions- och subtraktionsformler

Sinus- eller cosinusvärdet av en summa eller differens av vinklar kan delas upp som en kombination av de enskilda vinklarnas sinus- och cosinusvärden. Dessa formler kan vara lätta att blanda ihop, men det finns minnesregler.

cos ger couscous: Båda cosinusformler börjar med $cos (u) cos (v) .$ Sinusformlerna börjar istället med $sin (u) cos (v) .$
Sinus minus ger minus: Båda sinusformler bevarar tecknet: Är det minus i parentesen ska det även vara minus mellan produkterna. Cosinusformlerna byter tecknet istället.
sin-byte i halvtid: Efter mittentecknet skrivs samma sak igen, men $sin$ byts mot $cos$ och $cos$ byts mot $sin .$

Vilken vinkel som hamnar var är det lättaste: Behåll bara ordningen de har i första parentesen!

Bevis

cos (u - v) = cos (u) cos (v) + sin (u) sin (v)

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, $u$ och $v,$ i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas $P$ och $Q .$ Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Avståndet, $d,$ mellan punkterna $P$ och $Q$ kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för

d .

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

d = (cos (u) - cos (v))^{2} + (sin (u) - sin (v))^{2}

ExpandNegPerfectSquare

Utveckla med andra kvadreringsregeln

d = cos^{2} (u) - 2 cos (u) cos (v) + cos^{2} (v) + sin^{2} (u) - 2 sin (u) sin (v) + sin^{2} (v)

Omarrangera termer

d = sin^{2} (u) + cos^{2} (u) + sin^{2} (v) + cos^{2} (v) - 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v)

$sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1$

d = 1 + 1 - 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v)

Addera termer

d = 2 - 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v)

Medelpunktsvinkeln mellan

P

och

Q

är skillnaden mellan

u

och

v,

dvs.

u - v .

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i $P$ hamnar på $x$ -axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet $d$ är fortfarande samma. Låt $P^{'}$ och $Q^{'}$ beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.

Nu kan man beräkna

d

med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för

P^{'}

och

Q^{'} .

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

d = (cos (u - v) - 1)^{2} + (sin (u - v) - 0)^{2}

Subtrahera term

d = (cos (u - v) - 1)^{2} + sin^{2} (u - v)

ExpandNegPerfectSquare

Utveckla med andra kvadreringsregeln

d = cos^{2} (u - v) - 2 \cdot cos (u - v) \cdot 1 + 1^{2} + sin^{2} (u - v)

Beräkna potens & produkt

d = cos^{2} (u - v) - 2 cos (u - v) + 1 + sin^{2} (u - v)

Omarrangera termer

d = sin^{2} (u - v) + cos^{2} (u - v) + 1 - 2 cos (u - v)

$sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1$

d = 1 + 1 - 2 cos (u - v)

Addera termer

d = 2 - 2 cos (u - v)

De två uttrycken för längden

d

kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd.

2 - 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v) = 2 - 2 cos (u - v)

$VL^{2} = HL^{2}$

2 - 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v) = 2 - 2 cos (u - v)

$VL - 2 = HL - 2$

- 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v) = - 2 cos (u - v)

Omarrangera ekvation

- 2 cos (u - v) = - 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v)

Byt tecken

2 cos (u - v) = 2 cos (u) cos (v) + 2 sin (u) sin (v)

$VL / 2 = HL / 2$

cos (u - v) = cos (u) cos (v) + sin (u) sin (v)

Cosinusvärdet av en differens är alltså

cos (u - v) = cos (u) cos (v) + sin (u) sin (v) .

Q.E.D.

Bevis

cos (u + v) = cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v)

Man kan bevisa denna formel med utgångspunkt i subtraktionsformeln för cosinus. För att kunna använda den behöver man först skriva om summan

u + v

som en differens mellan ett positivt och ett negativt tal.

cos (u + v)

$a + b = a - (- b)$

cos (u - (- v))

$cos (u - v) = cos (u) cos (v) + sin (u) sin (v)$

cos (u) cos (- v) + sin (u) sin (- v)

Uttrycket kan förenklas med de trigonometriska sambanden

cos (- v) = cos (v) och sin (- v) = - sin (v) .

cos (u) cos (- v) + sin (u) sin (- v)

$cos (- v) = cos (v)$

cos (u) cos (v) + sin (u) sin (- v)

$sin (- v) = - sin (v)$

cos (u) cos (v) + sin (u) (- sin (v))

$a (- b) = - a \cdot b$

cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v)

Cosinusvärdet av en summa kan alltså skrivas som

cos (u + v) = cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v) .

Q.E.D.

Bevis

sin (u + v) = sin (u) cos (v) + cos (u) sin (v)

Beviset för detta grundar sig i subtraktionsformeln för cosinus. Dessutom används sambanden

sin (v) = cos (9 0^{\circ} - v)

och

cos (v) = sin (9 0^{\circ} - v)

. Med hjälp av det första sambandet kan

sin (u + v)

skrivas om som cosinus av en differens.

sin (u + v)

$sin (v) = cos (9 0^{\circ} - v)$

cos (9 0^{\circ} - (u + v))

Ta bort parentes & byt tecken

cos (9 0^{\circ} - u - v)

Lägg till parentes

cos ((9 0^{\circ} - u) - v)

Nu kan subtraktionsformeln för cosinus användas.

cos ((9 0^{\circ} - u) - v)

$cos (u - v) = cos (u) cos (v) + sin (u) sin (v)$

cos (9 0^{\circ} - u) cos (v) + sin (9 0^{\circ} - u) sin (v)

$cos (9 0^{\circ} - v) = sin (v)$

sin (u) cos (v) + sin (9 0^{\circ} - u) sin (v)

$sin (9 0^{\circ} - v) = cos (v)$

sin (u) cos (v) + cos (u) sin (v)

Sinusvärdet av en summa kan alltså skrivas

sin (u + v) = sin (u) cos (v) + cos (u) sin (v) .

Q.E.D.

Bevis

sin (u - v) = sin (u) cos (v) - cos (u) sin (v)

Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om subtraktionen

u - v

som en addition med ett negativt tal.

sin (u - v)

$a - b = a + (- b)$

sin (u + (- v))

$sin (u + v) = sin (u) cos (v) + cos (u) sin (v)$

sin (u) cos (- v) + cos (u) sin (- v)

Uttrycket kan nu förenklas med sambanden

cos (- v) = cos (v)

och

sin (- v) = - sin (v) .

sin (u) cos (- v) + cos (u) sin (- v)

$cos (- v) = cos (v)$

sin (u) cos (v) + cos (u) sin (- v)

$sin (- v) = - sin (v)$

sin (u) cos (v) + cos (u) (- sin (v))

$a (- b) = - a \cdot b$

sin (u) cos (v) - cos (u) sin (v)

Sinusvärdet av en differens kan alltså skrivas som

sin (u - v) = sin (u) cos (v) - cos (u) sin (v) .

Q.E.D.

Övningar

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.