Sinus- eller cosinusvärdet av en summa eller differens av vinklar kan delas upp som en kombination av de enskilda vinklarnas sinus- och cosinusvärden. Dessa formler kan vara lätta att blanda ihop, men det finns minnesregler.
cos ger couscous: Båda cosinusformler börjar med cos(u)cos(v). Sinusformlerna börjar istället med sin(u)cos(v).
Sinus minus ger minus: Båda sinusformler bevarar tecknet: Är det minus i parentesen ska det även vara minus mellan produkterna. Cosinusformlerna byter tecknet istället.
sin-byte i halvtid: Efter mittentecknet skrivs samma sak igen, men sin byts mot cos och cos byts mot sin.
Vilken vinkel som hamnar var är det lättaste: Behåll bara ordningen de har i första parentesen!
Bevis
cos(u−v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)
För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, u och v, i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas P och Q. Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.
Avståndet, d, mellan punkterna P och Q kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.
Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för d.
Medelpunktsvinkeln mellan P och Q är skillnaden mellan u och v, dvs. u−v.
Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i P hamnar på x-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet d är fortfarande samma. Låt P′ och Q′ beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.
Nu kan man beräkna d med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för P′ och Q′.
Man kan bevisa denna formel med utgångspunkt i subtraktionsformeln för cosinus. För att kunna använda den behöver man först skriva om summan u+v som en differens mellan ett positivt och ett negativt tal.
Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om subtraktionen u−v som en addition med ett negativt tal.
