Bevis

Additions- och subtraktionsformler

Sinus- eller cosinusvärdet av en summa eller differens av vinklar kan delas upp som en kombination av de enskilda vinklarnas sinus- och cosinusvärden. Dessa formler kan vara lätta att blanda ihop, men det finns minnesregler.

• cos ger couscous: Båda cosinusformler börjar med $\cos(u)\cos(v).$ Sinusformlerna börjar istället med $\sin(u)\cos(v).$
• Sinus minus ger minus: Båda sinusformler bevarar tecknet: Är det minus i parentesen ska det även vara minus mellan produkterna. Cosinusformlerna byter tecknet istället.
• sin-byte i halvtid: Efter mittentecknet skrivs samma sak igen, men $\sin$ byts mot $\cos$ och $\cos$ byts mot $\sin.$

Vilken vinkel som hamnar var är det lättaste: Behåll bara ordningen de har i första parentesen!

Bevis
$\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)$

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, $u$ och $v,$ i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas $P$ och $Q.$ Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Avståndet, $d,$ mellan punkterna $P$ och $Q$ kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för $d.$

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }$

Sätt in uttryck

$d=\sqrt{(\cos(u)-\cos(v))^2+(\sin(u)-\sin(v))^2}$

Utveckla med andra kvadreringsregeln

$d=\sqrt{\cos^2(u)-2\cos(u)\cos(v)+\cos^2(v)+\sin^2(u)-2\sin(u)\sin(v)+\sin^2(v)}$

Omarrangera termer

$d=\sqrt{\sin^2(u)+\cos^2(u)+\sin^2(v)+\cos^2(v)-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}$

$\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1$

$d=\sqrt{1+1-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}$

Förenkla termer

$d=\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}$

Medelpunktsvinkeln mellan $P$ och $Q$ är skillnaden mellan $u$ och $v,$ dvs. $u-v.$

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i $P$ hamnar på $x$-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet $d$ är fortfarande samma. Låt $P'$ och $Q'$ beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.

Nu kan man beräkna $d$ med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för $P'$ och $Q'.$

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }$

Sätt in uttryck

$d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+(\sin(u-v)-0)^2}$

Förenkla termer

$d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+\sin^2(u-v)}$

Utveckla med andra kvadreringsregeln

$d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cdot\cos(u-v)\cdot 1+1^2+\sin^2(u-v)}$

Beräkna potens & produkt

$d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cos(u-v)+1+\sin^2(u-v)}$

Omarrangera termer

$d=\sqrt{\sin^2(u-v)+\cos^2(u-v)+1-2\cos(u-v)}$

$\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1$

$d=\sqrt{1+1-2\cos(u-v)}$

Förenkla termer

$d=\sqrt{2-2\cos(u-v)}$

De två uttrycken för längden $d$ kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd.

$\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}=\sqrt{2-2\cos(u-v)}$

$\text{VL}^{2}=\text{HL}^{2}$

$2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=2-2\cos(u-v)$

$\text{VL}-2=\text{HL}-2$

$\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=\text{-} 2\cos(u-v)$

Omarrangera ekvation

$\text{-} 2\cos(u-v)=\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)$

Byt tecken

$2\cos(u-v)= 2\cos(u)\cos(v)+2\sin(u)\sin(v)$

$\left.\text{VL}\middle/2\right.=\left.\text{HL}\middle/2\right.$

$\cos(u-v)= \cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)$

Cosinusvärdet av en differens är alltså $\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v).$

Q.E.D.

Bevis
$\cos(u+v)=\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v)$

Man kan bevisa denna formel med utgångspunkt i subtraktionsformeln för cosinus. För att kunna använda den behöver man först skriva om summan $u+v$ som en differens mellan ett positivt och ett negativt tal.

$\cos(u+v)$

$a+b=a-(\text{-} b)$

$\cos(u-(\text{-} v))$

$\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)$

$\cos(u)\cos(\text{-} v) + \sin(u)\sin(\text{-} v)$

Uttrycket kan förenklas med de trigonometriska sambanden $\cos(\text{-} v)=\cos(v)\quad\text{och}\quad\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v).$

$\cos(u)\cos(\text{-} v) + \sin(u)\sin(\text{-} v)$

$\cos(\text{-} v)=\cos(v)$

$\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(\text{-} v)$

$\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)$

$\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\left( \text{-} \sin(v)\right)$

$a(\text{-} b)=\text{-} a \cdot b$

$\cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v)$

Cosinusvärdet av en summa kan alltså skrivas som $\cos(u+v)=\cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v).$

Q.E.D.

Bevis
$\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)$

Beviset för detta grundar sig i subtraktionsformeln för cosinus. Dessutom används sambanden

$\sin(v)=\cos(90^\circ-v)$     och     $\cos(v)=\sin(90^\circ-v)$. Med hjälp av det första sambandet kan $\sin(u+v)$ skrivas om som cosinus av en differens.

$\sin(u+v)$

$\sin(v)=\cos(90^\circ-v)$

$\cos(90^\circ-(u+v))$

Ta bort parentes & byt tecken

$\cos(90^\circ-u-v)$

Lägg till parentes

$\cos((90^\circ-u)-v)$

Nu kan subtraktionsformeln för cosinus användas.

$\cos((90^\circ-u)-v)$

$\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)$

$\cos(90^\circ-u)\cos(v)+\sin(90^\circ-u)\sin(v)$

$\cos(90^\circ-v)=\sin(v)$

$\sin(u)\cos(v)+\sin(90^\circ-u)\sin(v)$

$\sin(90^\circ-v)=\cos(v)$

$\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)$

Sinusvärdet av en summa kan alltså skrivas $\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v).$

Q.E.D.

Bevis
$\sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v)$

Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om subtraktionen $u-v$ som en addition med ett negativt tal.

$\sin(u-v)$

$a-b = a+(\text{-} b)$

$\sin(u+ (\text{-} v))$

$\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)$

$\sin(u)\cos(\text{-} v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)$

Uttrycket kan nu förenklas med sambanden $\cos(\text{-} v)=\cos(v)$ och $\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v).$

$\sin(u)\cos(\text{-} v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)$

$\cos(\text{-} v)=\cos(v)$

$\sin(u)\cos(v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)$

$\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)$

$\sin(u)\cos(v) + \cos(u)\left( \text{-} \sin(v)\right)$

$a(\text{-} b)=\text{-} a \cdot b$

$\sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)$

Sinusvärdet av en differens kan alltså skrivas som $\sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v).$

Q.E.D.