Bevis

Additions- och subtraktionsformler

Sinus- eller cosinusvärdet av en summa eller differens av vinklar kan delas upp som en kombination av de enskilda vinklarnas sinus- och cosinusvärden. Dessa formler kan vara lätta att blanda ihop, men det finns minnesregler.

  • cos ger couscous: Båda cosinusformler börjar med cos(u)cos(v).\cos(u)\cos(v). Sinusformlerna börjar istället med sin(u)cos(v).\sin(u)\cos(v).
  • Sinus minus ger minus: Båda sinusformler bevarar tecknet: Är det minus i parentesen ska det även vara minus mellan produkterna. Cosinusformlerna byter tecknet istället.
  • sin-byte i halvtid: Efter mittentecknet skrivs samma sak igen, men sin\sin byts mot cos\cos och cos\cos byts mot sin.\sin.
Vilken vinkel som hamnar var är det lättaste: Behåll bara ordningen de har i första parentesen!

Bevis

cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, uu och v,v, i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas PP och Q.Q. Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Avståndet, d,d, mellan punkterna PP och QQ kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för d.d.
d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
d=(cos(u)cos(v))2+(sin(u)sin(v))2d=\sqrt{(\cos(u)-\cos(v))^2+(\sin(u)-\sin(v))^2}
d=cos2(u)2cos(u)cos(v)+cos2(v)+sin2(u)2sin(u)sin(v)+sin2(v)d=\sqrt{\cos^2(u)-2\cos(u)\cos(v)+\cos^2(v)+\sin^2(u)-2\sin(u)\sin(v)+\sin^2(v)}
d=sin2(u)+cos2(u)+sin2(v)+cos2(v)2cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)d=\sqrt{\sin^2(u)+\cos^2(u)+\sin^2(v)+\cos^2(v)-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}
d=1+12cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)d=\sqrt{1+1-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}
d=22cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)d=\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}
Medelpunktsvinkeln mellan PP och QQ är skillnaden mellan uu och v,v, dvs. uv.u-v.

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i PP hamnar på xx-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet dd är fortfarande samma. Låt PP' och QQ' beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.

Nu kan man beräkna dd med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för PP' och Q.Q'.
d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
d=(cos(uv)1)2+(sin(uv)0)2d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+(\sin(u-v)-0)^2}
d=(cos(uv)1)2+sin2(uv)d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+\sin^2(u-v)}
d=cos2(uv)2cos(uv)1+12+sin2(uv)d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cdot\cos(u-v)\cdot 1+1^2+\sin^2(u-v)}
d=cos2(uv)2cos(uv)+1+sin2(uv)d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cos(u-v)+1+\sin^2(u-v)}
d=sin2(uv)+cos2(uv)+12cos(uv)d=\sqrt{\sin^2(u-v)+\cos^2(u-v)+1-2\cos(u-v)}
d=1+12cos(uv)d=\sqrt{1+1-2\cos(u-v)}
d=22cos(uv)d=\sqrt{2-2\cos(u-v)}
De två uttrycken för längden dd kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd.
22cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)=22cos(uv)\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}=\sqrt{2-2\cos(u-v)}
22cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)=22cos(uv)2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=2-2\cos(u-v)
-2cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)=-2cos(uv)\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=\text{-} 2\cos(u-v)
-2cos(uv)=-2cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)\text{-} 2\cos(u-v)=\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)
2cos(uv)=2cos(u)cos(v)+2sin(u)sin(v)2\cos(u-v)= 2\cos(u)\cos(v)+2\sin(u)\sin(v)
cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)\cos(u-v)= \cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)
Cosinusvärdet av en differens är alltså cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v). \cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v).
Q.E.D.

Bevis

cos(u+v)=cos(u)cos(v)sin(u)sin(v)\cos(u+v)=\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v)
Man kan bevisa denna formel med utgångspunkt i subtraktionsformeln för cosinus. För att kunna använda den behöver man först skriva om summan u+vu+v som en differens mellan ett positivt och ett negativt tal.
cos(u+v)\cos(u+v)
cos(u(-v))\cos(u-(\text{-} v))
cos(u)cos(-v)+sin(u)sin(-v)\cos(u)\cos(\text{-} v) + \sin(u)\sin(\text{-} v)
Uttrycket kan förenklas med de trigonometriska sambanden cos(-v)=cos(v)ochsin(-v)=-sin(v). \cos(\text{-} v)=\cos(v)\quad\text{och}\quad\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v).
cos(u)cos(-v)+sin(u)sin(-v)\cos(u)\cos(\text{-} v) + \sin(u)\sin(\text{-} v)
cos(u)cos(v)+sin(u)sin(-v)\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(\text{-} v)
cos(u)cos(v)+sin(u)(-sin(v))\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\left( \text{-} \sin(v)\right)
cos(u)cos(v)sin(u)sin(v)\cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v)
Cosinusvärdet av en summa kan alltså skrivas som cos(u+v)=cos(u)cos(v)sin(u)sin(v). \cos(u+v)=\cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v).
Q.E.D.

Bevis

sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)

Beviset för detta grundar sig i subtraktionsformeln för cosinus. Dessutom används sambanden

sin(v)=cos(90v)\sin(v)=\cos(90^\circ-v)     och     cos(v)=sin(90v)\cos(v)=\sin(90^\circ-v).
Med hjälp av det första sambandet kan sin(u+v)\sin(u+v) skrivas om som cosinus av en differens.
sin(u+v)\sin(u+v)
cos(90(u+v))\cos(90^\circ-(u+v))
cos(90uv)\cos(90^\circ-u-v)
cos((90u)v)\cos((90^\circ-u)-v)
Nu kan subtraktionsformeln för cosinus användas.
cos((90u)v)\cos((90^\circ-u)-v)
cos(90u)cos(v)+sin(90u)sin(v)\cos(90^\circ-u)\cos(v)+\sin(90^\circ-u)\sin(v)
sin(u)cos(v)+sin(90u)sin(v)\sin(u)\cos(v)+\sin(90^\circ-u)\sin(v)
sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)
Sinusvärdet av en summa kan alltså skrivas sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v). \sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v).
Q.E.D.

Bevis

sin(uv)=sin(u)cos(v)cos(u)sin(v)\sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v)
Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om subtraktionen uvu-v som en addition med ett negativt tal.
sin(uv)\sin(u-v)
sin(u+(-v))\sin(u+ (\text{-} v))
sin(u)cos(-v)+cos(u)sin(-v)\sin(u)\cos(\text{-} v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)
Uttrycket kan nu förenklas med sambanden cos(-v)=cos(v)\cos(\text{-} v)=\cos(v) och sin(-v)=-sin(v).\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v).
sin(u)cos(-v)+cos(u)sin(-v)\sin(u)\cos(\text{-} v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)
sin(u)cos(v)+cos(u)sin(-v)\sin(u)\cos(v) + \cos(u)\sin(\text{-} v)
sin(u)cos(v)+cos(u)(-sin(v))\sin(u)\cos(v) + \cos(u)\left( \text{-} \sin(v)\right)
sin(u)cos(v)cos(u)sin(v)\sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)
Sinusvärdet av en differens kan alltså skrivas som sin(uv)=sin(u)cos(v)cos(u)sin(v). \sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v).
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}