Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner

F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)f(x) om derivatan F(x)F'(x) är lika med f(x).f(x). Exempelvis är x2x^2 en primitiv funktion till 2x2x eftersom derivatan av x2x^2 är just 2x.2x. Primitiva funktioner kallas också för obestämda integraler eller antiderivator och används bl.a. för att bestämma värden av integraler. För att bestämma primitiva funktioner kan man använda deriveringsreglerna "baklänges".
Regel

Primitiva funktioner till cosinus- och sinusfunktioner

Med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus kan man bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom dessa deriveringsregler enbart gäller då argumenten anges i radianer måste de primitiva funktionernas argument också vara i radianer. Till att börja med kan man konstatera att derivatan av sin(x)\sin(x) är cos(x),\cos(x), vilket innebär att sin(x)\sin(x) måste vara en primitiv funktion till cos(x).\cos(x).

Regel

info
D-1(cos(x))=sin(x)+CD^{\text{-1}}\left(\cos(x)\right)=\sin(x) +C

Man kan visa denna regel genom att derivera F(x)=sin(x)+C.F(x)=\sin(x)+C. Värdet på konstanten CC spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir 0.0.

F(x)=sin(x)+CF(x)=\sin(x)+C
F(x)=D(sin(x))+D(C)F'(x)=D(\sin(x))+D(C)
F(x)=D(sin(x))F'(x)=D(\sin(x))
F(x)=cos(x)F'(x)=\cos(x)

Derivatan blir cos(x),\cos(x),sin(x)\sin(x) är en primitiv funktion till cos(x).\cos(x).

På samma sätt måste en primitiv funktion till sin(x)\sin(x) vara -cos(x),\text{-} \text{cos}(x), eftersom derivatan av cos(x)\cos(x) är -sin(x).\text{-} \text{sin}(x).

Regel

info
D-1(sin(x))=-cos(x)+CD ^{\text{-}1}(\sin(x))=\text{-}\cos(x)+C
Genom att derivera F(x)=-cos(x)+CF(x)=\text{-}\cos(x)+C visar man denna regel.
F(x)=-cos(x)+CF(x)=\text{-}\cos(x) +C
F(x)=-D(cos(x))+D(C)F'(x)=\text{-} D(\cos(x))+D(C)
F(x)=-D(cos(x))F'(x)=\text{-} D(\cos(x))
F(x)=-(-sin(x))F'(x)=\text{-} (\text{-}\sin(x))
F(x)=sin(x)F'(x)=\sin(x)
Eftersom man får sin(x)\sin(x) när man deriverar -cos(x)\text{-} \text{cos}(x) måste det vara en primitiv funktion.
Men vad blir den primitiva funktionen om det står en konstant framför x,x, som i cos(2x)?\cos(2x)? Då måste man kompensera för den inre derivatan genom att dividera med konstanten.

Regel

info
D-1(cos(kx))=sin(kx)k+CD^{\text{-1}}\left(\cos(kx)\right)=\dfrac{\sin(kx)}{k}+C
Man kan motivera att detta är en primitiv funktion genom att derivera högerledet.
F(x)=sin(kx)k+CF(x)=\dfrac{\sin(kx)}{k}+C
F(x)=1ksin(kx)+CF(x)=\dfrac{1}{k}\cdot\sin(kx)+C
F(x)=D(1ksin(kx))+D(C)F'(x)=D\left(\dfrac{1}{k}\cdot\sin(kx)\right)+D(C)
F(x)=D(1ksin(kx))F'(x)=D\left(\dfrac{1}{k}\cdot\sin(kx)\right)
F(x)=1kkcos(kx)F'(x)=\dfrac{1}{k}\cdot k \cdot \cos(kx)
F(x)=cos(kx)F'(x)=\cos(kx)
Derivatan blir cos(kx),\cos(kx),sin(kx)k+C\frac{\sin(kx)}{k}+C är de primitiva funktionerna till cos(kx).\cos(kx). Regeln gäller för k0.k\neq0.

Regel

info
D-1(sin(kx))=-cos(kx)k+CD ^{\text{-}1}(\sin(kx))=\text{-}\dfrac{\cos(kx)}{k}+C
Även här deriverar man högerledet för att visa regeln.
F(x)=-cos(kx)k+CF(x)=\text{-}\dfrac{\cos(kx)}{k}+C
F(x)=-1kcos(kx)+CF(x)=\text{-}\dfrac{1}{k}\cdot\cos(kx)+C
F(x)=-D(1kcos(kx))+D(C)F'(x)=\text{-} D\left(\dfrac{1}{k}\cdot\cos(kx)\right)+D(C)
F(x)=-D(1kcos(kx))F'(x)=\text{-} D\left(\dfrac{1}{k}\cdot\cos(kx)\right)
F(x)=-(-1kksin(kx))F'(x)=\text{-} \left( \text{-} \dfrac{1}{k}\cdot k \cdot \sin(kx) \right)
F(x)=1kksin(kx)F'(x)= \dfrac{1}{k}\cdot k \cdot \sin(kx)
F(x)=sin(kx)F'(x)= \sin(kx)
Eftersom derivatan är sin(kx)\sin(kx) måste -cos(kx)k+C\text{-}\frac{\cos(kx)}{k} + C vara alla primitiva funktioner. Även den här regeln gäller så länge k0.k\neq0.
Regel

Primitiv funktion till 1x\frac{1}{x}

Derivatan av ln(x)\ln(x) är 1x,\frac{1}{x}, vilket innebär att ln(x)\ln(x) måste vara en primitiv funktion till 1x.\frac{1}{x}.

Regel

info
D-1(1x)=ln(x)+CD ^{\text{-}1}\left(\dfrac{1}{x}\right)=\ln(x)+C
Man kan visa att regeln stämmer genom att derivera ln(x)+C.\ln(x)+C.
F(x)=ln(x)+CF(x)=\ln(x)+C
F(x)=D(ln(x))+D(C)F'(x)=D(\ln(x))+D(C)
F(x)=D(ln(x))F'(x)=D(\ln(x))
F(x)=1xF'(x)=\dfrac{1}{x}

Derivatan är 1x,\frac{1}{x},ln(x)+C\ln(x)+C måste vara de primitiva funktionerna till 1x.\frac{1}{x}. Regeln gäller för x>0.x>0.

Uppgift

Bestäm den primitiva funktionen till f(x)=1x+sin(7x), f(x)=\dfrac{1}{x}+\sin(7x), givet att F(π)=4.F(\pi)=4.

Lösning
Vi ska bestämma en viss specifik primitiv funktion till f(x),f(x), men för att göra det måste vi först bestämma alla primitiva funktioner.
f(x)=1x+sin(7x)f(x)=\dfrac{1}{x}+\sin(7x)
F(x)=D-1(1x)+D-1(sin(7x))+CF(x)=D ^{\text{-}1}\left(\dfrac{1}{x}\right)+D ^{\text{-}1}(\sin(7x))+C
F(x)=ln(x)+D-1(sin(7x))+CF(x)=\ln(x)+D ^{\text{-}1}(\sin(7x))+C
F(x)=ln(x)+(-cos(7x)7)+CF(x)=\ln(x)+\left(\text{-}\dfrac{\cos(7x)}{7}\right)+C
F(x)=ln(x)cos(7x)7+CF(x)=\ln(x)-\dfrac{\cos(7x)}{7}+C
Nu använder vi den givna informationen F(π)=4F(\pi)=4 för att bestämma C.C.
F(x)=ln(x)cos(7x)7+CF(x)=\ln(x)-\dfrac{\cos(7x)}{7}+C
F(π)=ln(π)cos(7π)7+CF({\color{#0000FF}{\pi}})=\ln({\color{#0000FF}{\pi}})-\dfrac{\cos(7{\color{#0000FF}{\pi}})}{7}+C
4=ln(π)cos(7π)7+C{\color{#0000FF}{4}}=\ln(\pi)-\dfrac{\cos(7\pi)}{7}+C
Lös ekvationen
4=ln(π)cos(π)7+C4=\ln(\pi)-\dfrac{\cos(\pi)}{7}+C
4=ln(π)-17+C4=\ln(\pi)-\dfrac{\text{-}1}{7}+C
4=ln(π)+17+C4=\ln(\pi)+\dfrac{1}{7}+C
ln(π)+17+C=4\ln(\pi)+\dfrac{1}{7}+C=4
ln(π)+C=417\ln(\pi)+C=4-\dfrac{1}{7}
C=417ln(π)C=4-\dfrac{1}{7}-\ln(\pi)
C=28717ln(π)C=\dfrac{28}{7}-\dfrac{1}{7}-\ln(\pi)
C=277ln(π)C=\dfrac{27}{7}-\ln(\pi)
Nu när vi känner till CC kan vi ange den specifika primitiva funktionen: F(x)=ln(x)cos(7x)7+277ln(π). F(x)=\ln(x)-\dfrac{\cos(7x)}{7}+\dfrac{27}{7}-\ln(\pi).
info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward