Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner

Vi använder beteckningen f(x) för de funktioner vars andraderivata är f''(x)=3sin(x)+e^(2x). Följande samband gäller mellan f(x) och f''(x).

För att hitta samtliga funktioner f(x) måste vi först bestämma f'(x). Det gör vi genom att ta reda på samtliga primitiva funktioner till f''(x).

Vi har fört in en godtycklig konstant C_1. Vi går nu vidare genom att ta reda på samtliga primitiva funktioner till f'(x).

Vi är nu klara. För att kunna skriva ett uttryck för samtliga funktioner f(x) som har f''(x)=3sin(x)+e^(2x) som andraderivata behövde vi införa de godtyckliga konstanterna C och D. Alla funktioner som har andraderivatan f''(x) kan alltså beskrivas av f(x)=- 3 sin(x)+ e^(2x)/4 + C* x + D.

För att beräkna integralens värde behöver vi först hitta en primitiv funktion till vår integrand, f(x)=cos(- x). Vi kan dock göra arbetet lite lättare för oss genom att förenkla den först. Vi använder då det trigonometriska sambandet f(x)=cos(- x)=cos(x). Nu söker vi en primitiv funktion till f(x)=cos(x).

Vi är nu redo att beräkna integralen.

Vårt svar är alltså att ∫_(- π/3)^(2π) cos(x) dx=sqrt(3)/2.

På samma sätt som i förra uppgiften börjar vi med att skriva om integranden så att det blir lättare att ta fram en primitiv funktion. Om vi multiplicerar in sin(2x) i parentesen kan vi sedan använda trigonometriska ettan. Vi kallar integranden f(x).

Nu kan vi använda de vanliga reglerna för att bestämma en primitiv funktion till integranden.

Vi använder nu den primitiva funktionen för att bestämma värdet på integralen.

Integralen är alltså lika med ln(3).

Vi kan beräkna det markerade områdets area genom att dela in det i tre delområden och bestämma arean för var och en av dessa delområden.

När vi beräknar arean med hjälp av integral kommer vi ha olika övre funktion för olika delar av området. Delområdet mellan x_1 och x_2 har en övre funktion som är en konstant funktion. Till höger och till vänster finns delområden vars övre funktion är en sinusfunktion. Vi tar reda på funktionsuttrycket för den trigonometriska funktionen genom att ansätta ett generellt uttryck för en sinusfunktion, f(x)=Asin(B(x+C))+D. Vi ser att jämviktslinjen är x-axeln och att grafen skär origo. Funktionen är alltså varken förskjuten i x- eller y-led så konstanterna C och D är båda 0. Det ger oss f(x)=Asin(Bx). Vidare ser vi att amplituden är 4, vilket betyder att A=4. Funktionen kan vi då skriva som f(x)=4sin(Bx). Grafen skär origo och en periodlängd senare skär den x-axeln i x=4π. Perioden, P, är alltså 4π lång. Vi använder det för att bestämma konstanten B: B=2π/P=2π/4π=0.5. Med konstanten B=0.5 får vi att sinusfunktionen vars graf vi fått i uppgiften kan skrivas som f(x)=4sin(0.5x). Funktionen till den röda grafen är en konstant funktion som går genom y-värdet 2 så vi kan skriva den som g(x)=2. Låt oss nu titta närmare på området vars area vi skall bestämma.

För att beräkna arean kan vi teckna en integral för varje delområde. Vi behöver då känna till start- och slutpunkt för varje integral. Två av dessa punkter, 0 respektive 2π, kan vi läsa av direkt. Mellan dessa har vi ytterligare två punkter, x_1 och x_2. Vi hittar dessa om vi löser ekvationen 4sin(0.5x)=2.

Den räta linjen skär sinuskurvan oändligt antal gånger, men vi är bara intresserade av de två första positiva lösningarna. De får vi när n=0, vilket ger oss gränserna x_1= π3 och x_2= 5π3.

Nu kan vi beräkna varje delområdes area.

Område I

Arean av område I får vi genom att beräkna \begin{aligned} A_\text{I}=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 4\sin(0.5x) \, \text {d}x. \end{aligned} Vi bestämmer en primitiv funktion till integranden.

Vi beräknar nu integralens värde.

Vi vet nu arean för delområde I och den är A_\text{I}=8-4 \cdot \sqrt{3}.

Område II

Vi skulle kunna beräkna arean av område II med integralen A_(II)= ∫_(π3)^(5π3) 2 dx. Men ytan är en rektangel med basen 5π3- π3= 4π3 och höjden 2. Arean blir därför A_(II)=b* h= 4π/3* 2=8π/3.

Område III

Arean av område III beräknar vi med \begin{aligned} A_\text{I}=\displaystyle\int_{\frac{5\pi}{3}}^{2\pi} 4\sin(0.5x) \, \text {d}x. \end{aligned} Vi har redan tidigare, när vi bestämde arean för område I, tagit fram en primitiv funktion till vår integrand: F(x)=- 8cos(0.5x). Vi beräknar nu arean för område III.

Arean för område III är alltså A_\text{I}=8-4\sqrt{3}.

Hela området

Vi beräknar nu arean av hela området genom att addera de tre delområdenas areor.

Vi får hela områdets area till A=16 +8π/3 -8 sqrt(3) ae.

Låt oss starta med att rita funktionen för att se hur den area vi skall bestämma ser ut.

Arean består av 9 stycken delar som ligger under x-axeln och 10 som ligger ovanför, varav 2 inte är helt ifyllda. Vi vill undvika att beräkna var och en av dessa delareor för sig. Eftersom cosinusfunktionen är symmetrisk vet vi att samtliga 17 delområden som är helt ifyllda är lika stora. Låt oss bestämma storleken av ett av dessa.

Vi väljer att beräkna arean av det delområde som är markerat i koordinatsystemet. För att ta reda på var detta delområde börjar och slutar löser vi ekvationen cos(3x)=0.

De två nollställen vi söker är de som ligger närmast origo, dvs. x=- π6 och x= π6. Vi tar nu fram den primitiva funktionen till integranden.

Vi ställer upp en integral och beräknar arean med hjälp av den.

Ett delområde har alltså arean A=2/3 a.e. Vi har 17 stycken sådana delområden.

Vi kan beräkna den totala arean av dessa genom att multiplicera arean av ett delområde med 17. Den sammanlagda arean av dessa blir alltså 17 * A=17* 2/3=34/3 a.e. I ytterändarna har vi på båda sidor delområden som endast är delvis ifyllda.

Det ser ut som om det är ett halvt delområde i vardera ända. Vi undersöker detta genom att se om yttergränserna sammanfaller med funktionens maximipunkter. Om funktionsvärdena är 1 där vet vi att de är maximipunkter.

Det högra området är alltså precis fyllt till hälften. Vi testar nu det vänstra området.

Vi vet nu att vi har ett halvt delområde i vardera ytterände. Deras gemensamma area är därför samma som ett helt delområde, dvs. 23 a.e. Vi adderar nu de 17 hela delareorna och de två halva och får att hela ytans area blir A_(tot)=34/3+2/3=36/3=12 a.e.