Regel

Integralkalkylens huvudsats

Integralen av en funktion f(x),f(x),intervallet axb,a\leq x \leq b, kan beräknas med någon av funktionens primitiva funktioner F(x).F(x). För att beräkna integralen bestämmer man differensen av den primitiva funktionens värde för den övre integrationsgränsen och motsvarande värde för den undre gränsen.

Regel

abf(x)dx=F(b)F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,\text{d}x=F(b)-F(a)

Man kan motivera detta samband med ett exempel där f(x)=0.5x+2.f(x)=0.5x+2. Integralen 26(0.5x+2)dx \displaystyle\int_{2}^{6}\left(0.5x+2 \right) \, \text d x representeras då av den markerade arean i figuren.

Integralen kan därför beräknas genom att bestämma arean av området. I det här fallet kan man dela upp det i en rektangel med arean 43=124\cdot3=12 och en triangel med arean 422=4.\frac{4 \cdot 2}{2}=4. Den totala arean och därmed integralens värde blir alltså 26(0.5x+2)dx=12+6=16. \int_2^6 (0.5x+2)\,\text{d}x=12+6=16. Nu kan man jämföra detta resultat med regeln om man använder F(x)=0.25x2+2x,F(x)=0.25x^2+2x, en primitiv funktion till f(x).f(x). Uttrycket F(b)F(a)F(b)-F(a) blir då 0.25b2+2b(0.25a2+2a). 0.25b^2+2b-\left(0.25a^2+2a\right). För att beräkna värdet av detta sätter man in integrationsgränserna a=2a=2 och b=6.b=6.

0.25b2+2b(0.25a2+2a)0.25b^2+2b-\left(0.25a^2+2a\right)
0.2562+26(0.2522+22)0.25\cdot{\color{#0000FF}{6}}^2+2\cdot{\color{#0000FF}{6}}-\left(0.25\cdot{\color{#009600}{2}}^2+2\cdot{\color{#009600}{2}}\right)
0.2536+26(0.254+22)0.25\cdot36+2\cdot6-(0.25 \cdot 4+2\cdot2)
9+12(1+4)9+12-(1+4)
9+12149+12-1-4
1616

Integralens värde blir alltså samma i båda fallen och man kan även visa att detta samband alltid gäller. Om F(x)F(x) är primitiv funktion till f(x)f(x) och aa och bb är integrationsgränser kan man ställa upp integralkalkylens huvudsats: abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a). \int_a^b f(x)\,\text dx=\left[F(x)\right]^b_a=F(b)-F(a). Mittensteget [F(x)]ab\left[F(x)\right]^b_a kan användas för att förtydliga vilken primitiv funktion man använder.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}