Integralkalkylens huvudsats

Man kan motivera detta samband med ett exempel där

f (x) = 0.5 x + 2 .

Integralen

\int_{2}^{6} (0.5 x + 2) d x

representeras då av den markerade arean i figuren.

Integralen kan därför beräknas genom att bestämma arean av området. I det här fallet kan man dela upp det i en rektangel med arean

4 \cdot 3 = 12

och en triangel med arean

\frac{4 \cdot 2}{2} = 4 .

Den totala arean och därmed integralens värde blir alltså

\int_{2}^{6} (0.5 x + 2) d x = 12 + 6 = 16 .

Nu kan man jämföra detta resultat med regeln om man använder

F (x) = 0.25 x^{2} + 2 x,

en primitiv funktion till

f (x) .

Uttrycket

F (b) - F (a)

blir då

0.25 b^{2} + 2 b - (0.25 a^{2} + 2 a) .

För att beräkna värdet av detta sätter man in integrationsgränserna

a = 2

och

b = 6 .

0.25 b^{2} + 2 b - (0.25 a^{2} + 2 a)

$b = 6$ , $a = 2$

0.25 \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6 - (0.25 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2)

Beräkna potens

0.25 \cdot 36 + 2 \cdot 6 - (0.25 \cdot 4 + 2 \cdot 2)

Multiplicera faktorer

9 + 12 - (1 + 4)

Ta bort parentes & byt tecken

9 + 12 - 1 - 4

Förenkla termer

16

Integralens värde blir alltså samma i båda fallen och man kan även visa att detta samband alltid gäller. Om

F (x)

är primitiv funktion till

f (x)

och

a

och

b

är integrationsgränser kan man ställa upp integralkalkylens huvudsats:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a) .

Mittensteget

[F (x)]_{a}^{b}

kan användas för att förtydliga vilken primitiv funktion man använder.

{{ article.displayTitle }}

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}