Man kan motivera detta samband med ett exempel där
f(x)=0.5x+2. Integralen
∫26(0.5x+2)dx
representeras då av den markerade arean i figuren.
Integralen kan därför beräknas genom att bestämma arean av området. I det här fallet kan man dela upp det i en rektangel med arean
4⋅3=12 och en triangel med arean
24⋅2=4. Den totala arean och därmed integralens värde blir alltså
∫26(0.5x+2)dx=12+6=16.
Nu kan man jämföra detta resultat med regeln om man använder
F(x)=0.25x2+2x, en primitiv funktion till
f(x). Uttrycket
F(b)−F(a) blir då
0.25b2+2b−(0.25a2+2a).
För att beräkna värdet av detta sätter man in
a=2 och
b=6. 0.25b2+2b−(0.25a2+2a)
0.25⋅62+2⋅6−(0.25⋅22+2⋅2)
0.25⋅36+2⋅6−(0.25⋅4+2⋅2)
9+12−(1+4)
9+12−1−4
16
Integralens värde blir alltså samma i båda fallen och man kan även visa att detta samband alltid gäller. Om
F(x) är primitiv funktion till
f(x) och
a och
b är integrationsgränser kan man ställa upp
integralkalkylens huvudsats:
∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a).
Mittensteget
[F(x)]ab kan användas för att förtydliga vilken primitiv funktion man använder.