Regel

Primitiva funktioner till cosinus- och sinusfunktioner

Med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus kan man bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom dessa deriveringsregler enbart gäller då argumenten anges i radianer måste de primitiva funktionernas argument också vara i radianer. Till att börja med kan man konstatera att derivatan av

sin (x)

är

cos (x),

vilket innebär att

sin (x)

måste vara en primitiv funktion till

cos (x) .

Regel

D^{- 1} (cos (x)) = sin (x) + C

Man kan visa denna regel genom att derivera $F (x) = sin (x) + C .$ Värdet på konstanten $C$ spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir $0 .$

F (x) = sin (x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = D (sin (x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = D (sin (x))

DeriveSin

$D (sin (v)) = cos (v)$

F^{'} (x) = cos (x)

Derivatan blir $cos (x),$ så $sin (x)$ är en primitiv funktion till $cos (x) .$

På samma sätt måste en primitiv funktion till $sin (x)$ vara $- cos (x),$ eftersom derivatan av $cos (x)$ är $- sin (x) .$

Regel

D^{- 1} (sin (x)) = - cos (x) + C

Genom att derivera

F (x) = - cos (x) + C

visar man denna regel.

F (x) = - cos (x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = - D (cos (x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = - D (cos (x))

DeriveCos

$D (cos (v)) = - sin (v)$

F^{'} (x) = - (- sin (x))

NegNeg

$- (- a) = a$

F^{'} (x) = sin (x)

Eftersom man får

sin (x)

när man deriverar

- cos (x)

måste det vara en primitiv funktion.

Men vad blir den primitiva funktionen om det står en konstant framför

x,

som i

cos (2 x) ?

Då måste man kompensera för den inre derivatan genom att dividera med konstanten.

Regel

D^{- 1} (cos (k x)) = \frac{sin ( k x )}{k} + C

Man kan motivera att detta är en primitiv funktion genom att derivera högerledet.

F (x) = \frac{sin ( k x )}{k} + C

MoveNumRight

$\frac{a}{b} = \frac{1}{b} \cdot a$

F (x) = \frac{1}{k} \cdot sin (k x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = D (\frac{1}{k} \cdot sin (k x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = D (\frac{1}{k} \cdot sin (k x))

DeriveSinAmpFreq

$D (a sin (k v)) = a \cdot k cos (k v)$

F^{'} (x) = \frac{1}{k} \cdot k \cdot cos (k x)

FracMultDenomToNumber

$\frac{a}{k} \cdot k = a$

F^{'} (x) = cos (k x)

Derivatan blir

cos (k x),

så

\frac{s i n ( k x )}{k} + C

är de primitiva funktionerna till

cos (k x) .

Regeln gäller för

k \neq = 0 .

Regel

D^{- 1} (sin (k x)) = - \frac{cos ( k x )}{k} + C

Även här deriverar man högerledet för att visa regeln.

F (x) = - \frac{cos ( k x )}{k} + C

MoveNumRight

$\frac{a}{b} = \frac{1}{b} \cdot a$

F (x) = - \frac{1}{k} \cdot cos (k x) + C

Derive

Derivera funktion

F^{'} (x) = - D (\frac{1}{k} \cdot cos (k x)) + D (C)

DeriveConst

$D (a) = 0$

F^{'} (x) = - D (\frac{1}{k} \cdot cos (k x))

DeriveCosAmpFreq

$D (a cos (k v)) = - a k sin (k v)$

F^{'} (x) = - (- \frac{1}{k} \cdot k \cdot sin (k x))

NegNeg

$- (- a) = a$

F^{'} (x) = \frac{1}{k} \cdot k \cdot sin (k x)

FracMultDenomToNumber

$\frac{a}{k} \cdot k = a$

F^{'} (x) = sin (k x)

Eftersom derivatan är

sin (k x)

måste

- \frac{c o s ( k x )}{k} + C

vara alla primitiva funktioner. Även den här regeln gäller så länge

k \neq = 0 .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Regel

Regel

Regel

Regel