Bevis

Derivatan av cos(x)\cos(x)

Deriverar man cos(x)\cos(x) får man sinusfunktionen -sin(x).\text{-}\sin(x). Man kan bevisa detta t.ex. genom att skriva om cos(x)\cos(x) som en förskjuten sinusfunktion och sedan använda kedjeregeln.

Härledning

D(cos(x))=-sin(x)D(\cos(x))=\text{-} \sin(x)
Till att börja med kan man göra omskrivningen cos(x)=sin(x+π2). \cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right). Denna sinusfunktion kan deriveras med hjälp av kedjeregeln, där yttre funktionen är y=sin(u)y=\sin(u) och inre funktionen u=x+π2.u=x+\frac{\pi}{2}. Den yttre derivatan bestäms med deriveringsregeln för sin(x).\sin(x).
D(cos(x))=D(sin(x+π2))D(\cos(x))=D\left(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)
D(cos(x))=cos(x+π2)D(x+π2)D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot D\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)
D(cos(x))=cos(x+π2)(D(x)+D(π2))D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot \left(D(x)+D\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)
D(cos(x))=cos(x+π2)D(x)D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cdot D(x)
D(cos(x))=cos(x+π2)D(\cos(x))=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)
Med det trigonometriska sambandet cos(x+π2)=-sin(x) \cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) = \text{-} \sin(x) får man till sist deriveringsregeln D(cos(x))=-sin(x).D(\cos(x)) = \text{-} \sin(x).

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}