Innehållsförteckning
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel
1.
Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner
Denna sida handlar om primitiva funktioner för trigonometriska funktioner och 1/x. Den förklarar hur man kan bestämma primitiva funktioner till cosinus och sinusfunktioner, samt hur man kan använda deriveringsregler "baklänges". Sidan innehåller också regler och exempel för att bestämma primitiva funktioner till olika uttryck som cos(kx) och sin(kx). Dessutom finns det exempel och lösningar på hur man kan bestämma specifika primitiva funktioner och använda dem för att beräkna integraler.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner
Sida av 5
Regel
Primitiva funktioner till cosinus- och sinusfunktioner
Med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus kan man bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom dessa deriveringsregler enbart gäller då argumenten anges i radianer måste de primitiva funktionernas argument också vara i radianer. Till att börja med kan man konstatera att derivatan av sin(x) är cos(x), vilket innebär att sin(x) måste vara en primitiv funktion till cos(x).
Regel
D^(-1)(cos(x))=sin(x) +CMan kan visa denna regel genom att derivera F(x)=sin(x)+C. Värdet på konstanten C spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir 0.
F(x)=sin(x)+C
Derive
Derivera funktion
F'(x)=D(sin(x))+D(C)
DeriveConst
D(a) = 0
F'(x)=D(sin(x))
DeriveSin
D( sin(v) ) = cos(v)
F'(x)=cos(x)
Derivatan blir cos(x), så sin(x) är en primitiv funktion till cos(x).
På samma sätt måste en primitiv funktion till sin(x) vara - cos(x), eftersom derivatan av cos(x) är - sin(x).
Regel
D^(- 1)(sin(x))=-cos(x)+CGenom att derivera F(x)=-cos(x)+C visar man denna regel.
F(x)=-cos(x) +C
Derive
Derivera funktion
F'(x)=- D(cos(x))+D(C)
DeriveConst
D(a) = 0
F'(x)=- D(cos(x))
DeriveCos
D( cos(v) ) = - sin(v)
F'(x)=- (-sin(x))
NegNeg
- (- a)=a
F'(x)=sin(x)
Eftersom man får sin(x) när man deriverar - cos(x) måste det vara en primitiv funktion.
Regel
D^(-1)(cos(kx))=sin(kx)/k+CMan kan motivera att detta är en primitiv funktion genom att derivera högerledet.
F(x)=sin(kx)/k+C
MoveNumRight
a/b=1/b* a
F(x)=1/k*sin(kx)+C
Derive
Derivera funktion
F'(x)=D(1/k*sin(kx))+D(C)
DeriveConst
D(a) = 0
F'(x)=D(1/k*sin(kx))
DeriveSinAmpFreq
D( asin(kv) ) = akcos(kv)
F'(x)=1/k* k * cos(kx)
FracMultDenomToNumber
a/k* k = a
F'(x)=cos(kx)
Derivatan blir cos(kx), så sin(kx)k+C är de primitiva funktionerna till cos(kx). Regeln gäller för k≠0.
Regel
D^(- 1)(sin(kx))=-cos(kx)/k+CÄven här deriverar man högerledet för att visa regeln.
F(x)=-cos(kx)/k+C
MoveNumRight
a/b=1/b* a
F(x)=-1/k*cos(kx)+C
Derive
Derivera funktion
F'(x)=- D(1/k*cos(kx))+D(C)
DeriveConst
D(a) = 0
F'(x)=- D(1/k*cos(kx))
DeriveCosAmpFreq
D( acos(kv) ) = - aksin(kv)
F'(x)=- ( - 1/k* k * sin(kx) )
NegNeg
- (- a)=a
F'(x)= 1/k* k * sin(kx)
FracMultDenomToNumber
a/k* k = a
F'(x)= sin(kx)
Eftersom derivatan är sin(kx) måste - cos(kx)k + C vara alla primitiva funktioner. Även den här regeln gäller så länge k≠0.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Primitiv funktion till 1/x
Derivatan av ln(x) är 1/x, vilket innebär att ln(x) måste vara en primitiv funktion till 1/x.
Regel
D^(- 1) (1/x)=ln(x)+CMan kan visa att regeln stämmer genom att derivera ln(x)+C.
F(x)=ln(x)+C
Derive
Derivera funktion
F'(x)=D(ln(x))+D(C)
DeriveConst
D(a) = 0
F'(x)=D(ln(x))
DeriveLn
D\left( \ln(x) \right) =\dfrac 1 x
F'(x)=1/x
Derivatan är 1/x, så ln(x)+C måste vara de primitiva funktionerna till 1/x. Regeln gäller för x> 0.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Memo
Regler för primitiva funktioner
| Funktion, f(x) | Primitiv funktion, F(x) |
|---|---|
| k | kx+C |
| x^n | x^(n+1)/n+1+C |
| e^x | e^x+C |
| e^(kx) | e^(kx)/k+C |
| a^x | a^x/ln(a)+C |
| a^(kx) | a^(kx)/kln(a)+C |
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm den specifika primitiva funktionen
Visa Lösning expand_more
Vi ska bestämma en viss specifik primitiv funktion till f(x), men för att göra det måste vi först bestämma alla primitiva funktioner.
f(x)=1/x+sin(7x)
AntiderivativeAll
Bestäm alla primitiva funktioner
F(x)=D^(- 1)(1/x)+D^(- 1)(sin(7x))+C
AntideriveDivOneByX
D^(- 1)(1/x)=ln(x)
F(x)=ln(x)+D^(- 1)(sin(7x))+C
AntideriveSinFreq
D^(- 1)(sin(kv))=-cos(kv)/k
F(x)=ln(x)+(-cos(7x)/7)+C
AddNeg
a+(- b)=a-b
F(x)=ln(x)-cos(7x)/7+C
Nu använder vi den givna informationen F(π)=4 för att bestämma C.
F(x)=ln(x)-cos(7x)/7+C
Substitute
x= π
F( π)=ln( π)-cos(7 π)/7+C
Substitute
F(π)= 4
4=ln(π)-cos(7π)/7+C
▼
Lös ekvationen
CosSubtractPeriod
Dra bort 3 3 1periodperioder
4=ln(π)-cos(π)/7+C
CosRad
\ifnumequal{180}{0}{\cos\left(0\right)=1}{}\ifnumequal{180}{30}{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{45}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{60}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{90}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{120}{\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=- \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{180}{135}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=- \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{180}{150}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{180}{180}{\cos\left(\pi\right)=- 1}{}\ifnumequal{180}{210}{\cos\left(\dfrac{7\pi}6\right)=- \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{225}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{240}{\cos\left(\dfrac{4\pi}3\right)=- \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{180}{270}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{180}{300}{\cos\left(\dfrac{5\pi}3\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{180}{315}{\cos\left(\dfrac{7\pi}4\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{180}{330}{\cos\left(\dfrac{11\pi}6\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{180}{360}{\cos\left(2\pi\right)=1}{}
4=ln(π)--1/7+C
RemoveNegFracAndNum
- - a/b= a/b
4=ln(π)+1/7+C
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
ln(π)+1/7+C=4
SubEqn
VL-1/7=HL-1/7
ln(π)+C=4-1/7
SubEqn
VL-ln(π)=HL-ln(π)
C=4-1/7-ln(π)
NumberToFrac
a = 7* a/7
C=28/7-1/7-ln(π)
SubFrac
Subtrahera bråk
C=27/7-ln(π)
Nu när vi känner till C kan vi ange den specifika primitiva funktionen: F(x)=ln(x)-cos(7x)/7+27/7-ln(π).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner
Uppgift 3.1
Beräkna ∫_0^(π/6)(2sin(x)+5)cos(x) d x
Nationella provet VT13 Ma4
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{11}{4}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna integralen måste vi hitta en primitiv funktion till integranden. Vi börjar dock med att förenkla den genom att multiplicera in cos(x) och sedan använda formeln för sinus av dubbla vinkeln baklänges. Vi betecknar integranden f(x).
Nu bestämmer vi en primitiv funktion till f(x).
Till sist beräknar vi själva integralen.
Integralens värde är alltså 11/4 = 2,75.
Man kan även hitta andra primitiva funktioner till integranden. Exempelvis kan vi identifiera att 1/4* (2sin(x)+5)^2 är en primitiv funktion eftersom denna deriveras till vår integrand (2sin(x)+5)cos(x).
Både den primitiva funktionen 1/4* (2sin(x)+5)^2 och den vi bestämde i huvudlösningen är giltiga primitiva funktioner till integranden. Vi beräknar integralen med den nya primitva funktionen för att se att vi kommer fram till samma svar.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Funktionen f(x) är definierad som f(x)=3sin(0,5x). Funktionen g(x) är definierad som g(x) = 3sin(0,5x),& x≤ 2π kx+m,& x > 2π. Bestäm k och m så att
- g(x) är kontinuerlig
- ∫_0^(4π)f(x) d x = ∫_0^(4π)g(x) d x .
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"ordermatters":true,"numinput":2,"listEditable":false,"hideNoSolution":true},"text":""},"formTextBefore":"k,m:","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\dfrac{6}{\\pi^2}","\\dfrac{12}{\\pi}"]}}
security
report
code
security
report
code
Det första kriteriet för funktionen g(x) är att den är kontinuerlig, så vänstergränsvärdet och högergränsvärdet måste vara lika. Detta ger ett samband mellan k och m. Låt oss börja med att bestämma vänstergränsvärdet.
Det vänstra gränsvärdet är 0. Vi sätter det högra gränsvärdet lika med 0 för att bestämma sambandet mellan k och m.
Det andra kriteriet för g(x) säger att ∫_0^(4π)f(x) d x = ∫_0^(4π)g(x) d x . Vi för nu in våra funktioner. Funktionen g(x) är definierad i två delar — vi måste skriva integralen i högerledet i två delar.
Låt oss bestämma värdet av vänsterledet. Vi börjar med att ta fram en primitiv funktion till integranden.
Vi bestämmer nu integralens värde.
Ekvationen kan nu skrivas som 0= ∫_0^(2π)3sin(0,5x) d x + ∫_(2π)^(4π)(kx+m ) d x . Låt oss nu fortsätta med att beräkna integralen på högerled från 0 till 2π. Vi har redan tagit fram en primitiv funktion till integranden och kan därför börja integralberäkningen direkt.
Om vi för in detta får vi likheten 0=12 + ∫_(2π)^(4π)(kx+m ) d x . Vi har nu en integral kvar i likheten. Vi bestämmer en primitiv funktion till integranden, som vi här kallar h(x).
Vi kan nu bestämma den sista integralen och undersöka ekvationen. Vi grupperar alla termer med k och alla med m för att förenkla uttrycket.
Vi fick här ett samband mellan k och m, men vi har ju redan bestämt att m=- 2π* k. Dessa två samband bildar tillsammans ett ekvationssystem vi kan använda för att bestämma k och m.
Med de här värdena på k och m är båda kraven i uppgiften uppfyllda, alltså svarar vi k = - 6/π^2, m = 12/π.
Det är även möjligt att lösa uppgiften på ett sätt som leder till att man slipper beräkna en av integralerna. Vi delar upp vår funktion f(x) i två delar så att den liknar g(x) så mycket som möjligt. Funktionen f(x) blir då
f(x) =
3sin(0,5x),& x ≤ 2π
3sin(0,5x),& x > 2π.
När vi nu sätter in funktionerna i det andra kriteriet,
∫_0^(4π)f(x) d x = ∫_0^(4π)g(x) d x ,
delar vi upp båda integralerna i två. Vi får då
Vi har redan tagit fram en primitiv funktion till integranden f(x) = 3sin(0,5x), som vi använder här för att beräkna integralen i vänsterledet.
Vänsterledet blir alltså - 12. Det ger oss likheten - 12= ∫_(2π)^(4π)(kx+m ) d x . Vi har nu kommit fram till samma likhet som tidigare, förutom att termen - 12 är i vänsterledet. Alltså ger detta samma lösningar som tidigare: k = - 6/π^2, m = 12/π.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll