1. Primitiva funktioner till trigonometriska funktioner
Logga in
| | 4 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Om derivatan av en funktion F(x) är lika med f(x), säger man att F(x) hör ihop med f(x) på ett sätt som gör att derivering leder tillbaka till f(x). Till exempel blir derivatan av x2 just 2x. För att hitta sådana funktioner kan man använda deriveringsreglerna baklänges
.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
Med hjälp av deriveringsreglerna för sinus och cosinus kan man bestämma deras primitiva funktioner. Eftersom dessa deriveringsregler enbart gäller då argumenten anges i radianer måste de primitiva funktionernas argument också vara i radianer. Till att börja med kan man konstatera att derivatan av sin(x) är cos(x), vilket innebär att sin(x) måste vara en primitiv funktion till cos(x).
Man kan visa denna regel genom att derivera F(x)=sin(x)+C. Värdet på konstanten C spelar ingen roll eftersom derivatan av den blir 0.
Derivera funktion
D(a)=0
D(sin(v))=cos(v)
Derivatan blir cos(x), så sin(x) är en primitiv funktion till cos(x).
På samma sätt måste en primitiv funktion till sin(x) vara −cos(x), eftersom derivatan av cos(x) är −sin(x).
Derivera funktion
D(a)=0
D(cos(v))=−sin(v)
−(−a)=a
ba=b1⋅a
Derivera funktion
D(a)=0
D(asin(kv))=akcos(kv)
ka⋅k=a
ba=b1⋅a
Derivera funktion
D(a)=0
D(acos(kv))=−aksin(kv)
−(−a)=a
ka⋅k=a
Derivatan av ln(x) är x1, vilket innebär att ln(x) måste vara en primitiv funktion till x1.
Derivera funktion
D(a)=0
D(ln(x))=x1
Derivatan är x1, så ln(x)+C måste vara de primitiva funktionerna till x1. Regeln gäller för x>0.
Bestäm alla primitiva funktioner
D-1(x1)=ln(x)
D-1(sin(kv))=−kcos(kv)
a+(−b)=a−b
x=π
F(π)=4
{Dra bort 3 }\ifnumequal{3}{1}{period}{perioder}
−b-a=ba
Omarrangera ekvation
VL−71=HL−71
VL−ln(π)=HL−ln(π)
a=77⋅a
Subtrahera bråk
För att beräkna integralen måste vi hitta en primitiv funktion till integranden. Vi börjar dock med att förenkla den genom att multiplicera in cos(x) och sedan använda formeln för sinus av dubbla vinkeln baklänges. Vi betecknar integranden f(x).
Nu bestämmer vi en primitiv funktion till f(x).
Till sist beräknar vi själva integralen.
Integralens värde är alltså 11/4 = 2.75.
Man kan även hitta andra primitiva funktioner till integranden. Exempelvis kan vi identifiera att 14* (2sin(x)+5)^2 är en primitiv funktion eftersom denna deriveras till vår integrand (2sin(x)+5)cos(x).
Både den primitiva funktionen 14* (2sin(x)+5)^2 och den vi bestämde i huvudlösningen är giltiga primitiva funktioner till integranden. Vi beräknar integralen med den nya primitva funktionen för att se att vi kommer fram till samma svar.
Det första kriteriet för funktionen g(x) är att den är kontinuerlig. Vi kan uppfylla detta genom att bestämma k och m så att kx + m för x = 2π har samma värde som g(2π). Detta ger ett samband mellan k och m. Vi sätter in x=2π i funktionen och får att g(2π)=3sin(0.5* 2π)=3sin(π)=0. Funktionen y=kx+m måste alltså också ha värdet 0 då x=2π. Det betyder att 0=k* 2π +m ⇔ m=- 2π * k. Det andra kriteriet för g(x) säger att ∫_0^(4π)f(x) d x = ∫_0^(4π)g(x) d x . Vi för nu in våra funktioner. Funktionen g(x) är definierad i två delar — vi måste skriva integralen i högerledet i två delar: ∫_0^(4π)3sin(0.5x) d x &= = ∫_0^(2π)3sin(0.5x) d x &+ ∫_(2π)^(4π)(kx+m ) d x . Låt oss bestämma värdet av vänsterledet. Vi börjar med att ta fram en primitiv funktion till integranden.
Vi bestämmer nu integralens värde.
Ekvationen kan nu skrivas som 0= ∫_0^(2π)3sin(0.5x) d x + ∫_(2π)^(4π)(kx+m ) d x . Låt oss nu fortsätta med att beräkna värdet av integralen ∫_0^(2π)3sin(0.5x) d x . Vi har redan tagit fram en primitiv funktion till integranden och kan därför börja integralberäkningen direkt.
Om vi för in detta får vi likheten 0=12 + ∫_(2π)^(4π)(kx+m ) d x . Vi har nu en integral kvar i likheten. Vi bestämmer en primitiv funktion till integranden, som vi här kallar h(x).
Vi kan nu bestämma den sista integralen och undersöka ekvationen. Vi grupperar alla termer med k och alla med m för att förenkla uttrycket.
Vi fick här ett samband mellan k och m, men vi har ju redan bestämt att m=- 2π* k. Dessa två samband bildar tillsammans ett ekvationssystem vi kan använda för att bestämma k och m.
Med de här värdena på k och m är båda kraven i uppgiften uppfyllda, alltså svarar vi
k = - 6/π^2, m = 12/π.
Det är även möjligt att lösa uppgiften på ett sätt som leder till att man slipper beräkna en av integralerna. Vi delar upp vår funktion f(x) i två delar så att den liknar g(x) så mycket som möjligt. Funktionen f(x) blir då f(x) = 3sin(0.5x),& x ≤ 2π 3sin(0.5x),& x > 2π. När vi nu sätter in funktionerna i det andra kriteriet, ∫_0^(4π)f(x) d x = ∫_0^(4π)g(x) d x , delar vi upp båda integralerna i två. Vi får då ∫_0^(2π)3sin(0.5x) d x &+ ∫_(2π)^(4π)3sin(0.5x) d x = = ∫_0^(2π)3sin(0.5x) d x &+ ∫_(2π)^(4π)(kx+m ) d x . Eftersom termen ∫_0^(2π)3sin(0.5x) d x förekommer i båda leden kan vi subtrahera bort den för att få ekvationen ∫_(2π)^(4π)3sin(0.5x) d x = ∫_(2π)^(4π)(kx+m ) d x . Vi har redan tagit fram en primitiv funktion till integranden f(x) = 3sin(0.5x), som vi använder här för att beräkna integralen i vänsterledet.
Vänsterledet blir alltså - 12. Det ger oss likheten - 12= ∫_(2π)^(4π)(kx+m ) d x . Vi har nu kommit fram till samma likhet som tidigare, förutom att termen - 12 är i vänsterledet. Alltså ger detta samma lösningar som tidigare: k = - 6/π^2, m = 12/π.