Bevis

Derivatan av sin(x)\sin(x)

När man deriverar sin(x)\sin(x) får man en annan trigonometrisk funktion, cos(x).\cos(x).

Härledning

D(sin(x))=cos(x)D(\sin(x))=\cos(x)
För att härleda derivatan används derivatans definition: f(x)=limh0f(x+h)f(x)h. f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}. Eftersom f(x)f(x) i det här fallet är sin(x)\sin(x) är f(x+h)=sin(x+h).f(x+h)=\sin(x+h). När man har ställt upp gränsvärdet kan man använda additionsformeln för sinus för att utveckla täljaren.
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h\displaystyle f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
f(x)=limh0sin(x+h)sin(x)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}
f(x)=limh0sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)sin(x)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}
f(x)=limh0sin(x)cos(h)sin(x)+cos(x)sin(h)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)\cos(h)-\sin(x)+\cos(x)\sin(h)}{h}
f(x)=limh0sin(x)(cos(h)1)+cos(x)sin(h)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)+\cos(x)\sin(h)}{h}
f(x)=limh0(sin(x)(cos(h)1)h+cos(x)sin(h)h)f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}\right)
f(x)=limh0sin(x)(cos(h)1)h+limh0cos(x)sin(h)hf'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}
I gränsvärdena finns nu både sin(x)\sin(x) och cos(x).\cos(x). Dessa förändras inte när hh går mot 00 så de kan flyttas ut utanför gränsvärdena. limh0sin(x)(cos(h)1)h+limh0cos(x)sin(h)h=sin(x)limh0(cos(h)1)h+cos(x)limh0sin(h)h\begin{aligned} &\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}=\\ &\sin(x)\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(\cos(h)-1)}{h}+\cos(x)\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(h)}{h} \end{aligned} Nu har man två gränsvärden kvar och i dessa finns cos(h),\cos(h), sin(h)\sin(h) och h.h. Man kan undersöka gränsvärdena numeriskt genom att sätta in mindre och mindre h.h. Men ska räknaren vara inställd på grader eller radianer? För att kunna avgöra det undersöks båda.
hh (grader) 0.10.1 0.010.01 0.0010.001 0\to 0
cos(h)1h\dfrac{\cos(h)-1}{h} -0.000015\sim \text{-}0.000015 -0.0000015\sim\text{-} 0.0000015 -0.00000015\sim\text{-}0.00000015 0\to 0
sin(h)h\dfrac{\sin(h)}{h} 0.0174532837\sim0.0174532837 0.0174532924\sim0.0174532924 0.0174532925\sim0.0174532925 0.0174532925\to \sim0.0174532925
hh (radianer) 0.10.1 0.010.01 0.0010.001 0\to 0
cos(h)1h\dfrac{\cos(h)-1}{h} -0.0499583472\sim \text{-}0.0499583472 -0.0049999583\sim\text{-} 0.0049999583 -0.00049999996\sim\text{-}0.00049999996 0\to 0
sin(h)h\dfrac{\sin(h)}{h} 0.9983341665\sim0.9983341665 0.9999833334\sim0.9999833334 0.9999998333\sim0.9999998333 1\to 1

Man får olika gränsvärden beroende på om hh anges i grader eller radianer. Om vinkeln är i grader får man deriveringsregeln D(sin(x))sin(x)0+cos(x)0.0174532925=0.0174532925cos(x) D(\sin(x))\approx\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 0.0174532925=0.0174532925\cos(x) och om vinkeln anges i radianer får man istället regeln D(sin(x))=sin(x)0+cos(x)1=cos(x). D(\sin(x))=\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1=\cos(x). Eftersom derivatan är enklare om vinkeln uttrycks i radianer är det nästan uteslutande deriveringsregeln D(sin(x))=cos(x)D(\sin(x))=\cos(x) som används. Kom ihåg att vinklarna då alltid måste anges i radianer.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}