Bevis

Derivatan av $\sin(x)$

När man deriverar $\sin(x)$ får man en annan trigonometrisk funktion, $\cos(x).$

Härledning		expand_more
$D(\sin(x))=\cos(x)$

För att härleda derivatan används derivatans definition: $f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.$ Eftersom $f(x)$ i det här fallet är $\sin(x)$ är $f(x+h)=\sin(x+h).$ När man har ställt upp gränsvärdet kan man använda additionsformeln för sinus för att utveckla täljaren.

$\displaystyle f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Sätt in uttryck

$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$

$\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)$

$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}$

Omarrangera termer

$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)\cos(h)-\sin(x)+\cos(x)\sin(h)}{h}$

Bryt ut $\sin(x)$

$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)+\cos(x)\sin(h)}{h}$

Dela upp bråk

$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\left(\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}\right)$

Dela upp gränsvärde

$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}$

I gränsvärdena finns nu både $\sin(x)$ och $\cos(x).$ Dessa förändras inte när $h$ går mot $0$ så de kan flyttas ut utanför gränsvärdena. $\begin{aligned} &\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(x)\sin(h)}{h}=\\ &\sin(x)\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(\cos(h)-1)}{h}+\cos(x)\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sin(h)}{h} \end{aligned}$ Nu har man två gränsvärden kvar och i dessa finns $\cos(h),$ $\sin(h)$ och $h.$ Man kan undersöka gränsvärdena numeriskt genom att sätta in mindre och mindre $h.$ Men ska räknaren vara inställd på grader eller radianer? För att kunna avgöra det undersöks båda.

$h$ (grader)	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$\to 0$
$\dfrac{\cos(h)-1}{h}$	$\sim \text{-}0.000015$	$\sim\text{-} 0.0000015$	$\sim\text{-}0.00000015$	$\to 0$
$\dfrac{\sin(h)}{h}$	$\sim0.0174532837$	$\sim0.0174532924$	$\sim0.0174532925$	$\to \sim0.0174532925$
$h$ (radianer)	$0.1$	$0.01$	$0.001$	$\to 0$
$\dfrac{\cos(h)-1}{h}$	$\sim \text{-}0.0499583472$	$\sim\text{-} 0.0049999583$	$\sim\text{-}0.00049999996$	$\to 0$
$\dfrac{\sin(h)}{h}$	$\sim0.9983341665$	$\sim0.9999833334$	$\sim0.9999998333$	$\to 1$

Man får olika gränsvärden beroende på om $h$ anges i grader eller radianer. Om vinkeln är i grader får man deriveringsregeln $D(\sin(x))\approx\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 0.0174532925=0.0174532925\cos(x)$ och om vinkeln anges i radianer får man istället regeln $D(\sin(x))=\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1=\cos(x).$ Eftersom derivatan är enklare om vinkeln uttrycks i radianer är det nästan uteslutande deriveringsregeln $D(\sin(x))=\cos(x)$ som används. Kom ihåg att vinklarna då alltid måste anges i radianer.