2. Polynomekvationer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
2.
Polynomekvationer
Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 0 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Polynomekvationer
Sida av 9
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Polynomekvation
- Lösa polynomekvationer algebraiskt
- Nollproduktmetoden
- Variabelsubstitution
- Kvadratrotsmetoden
- Kvadratkomplettering
- Lösning av potesekvationen x^n = a
- Lösa polynomekvationer grafiskt
- Hitta nollställe med räknare
Koncept
Dela
Rapportera fel
Polynomekvation
En polynomekvation är en ekvation där både höger- och vänsterledet är polynom, t.ex. x^3 - x = 7x^2 + 3. En sådan ekvation har maximalt lika många reella lösningar som gradtalet för det polynom man får om man flyttar över alla termer till ena ledet. Skriver man exempelvis ekvationen ovan som x^3 - 7x^2 - x - 3 = 0
vet man att den har maximalt 3 lösningar. För att lösa polynomekvationer finns det algebraiska metoder som pq-formeln, nollproduktmetoden och variabelsubstitution. Dessa går bara att använda i vissa specifika fall, medan en grafisk lösning fungerar på alla polynomekvationer.Metod
Dela
Rapportera fel
Lösa polynomekvationer algebraiskt
Det kan vara svårt att hitta generella algebraiska metoder för att lösa polynomekvationer av grad 3 eller högre men vissa går att lösa med metoderna nedan.
Metod
NollproduktmetodenFör att kunna använda nollproduktmetoden måste polynomet i ekvationen först faktoriseras. Man kan t.ex. lösa ekvationen
x^3+8x^2=20x
på detta sätt.
1
Flytta över alla termer till vänsterledet
expand_more Nollproduktmetoden kräver att ekvationens ena led är lika med 0, så man subtraherar 20x från båda led: x^3+8x^2-20x=0.
2
Dela upp vänsterledet i faktorer
expand_more Använd en lämplig metod för att faktorisera vänsterledet. Här kan man bryta ut x.
3
Använd nollproduktmetoden
expand_more Nu kan man använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i flera delekvationer av lägre grad.
4
Lös ekvationerna
expand_more I det här fallet får man ut en lösning direkt, x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pq-formeln.
Ekvationen har alltså lösningarna x=0, x=-10 och x=2.
Metod
VariabelsubstitutionDen här metoden är lämplig för fjärdegradsekvationer på formen ax^4+bx^2+c=0, alltså de som saknar tredje- och förstagradstermer. Idén är att med hjälp av variabelsubstitution skriva om fjärdegradsekvationen till en andragradsekvation för att sedan lösa den med pq-formeln. Ekvationen 2x^4-36x^2+160=0
kan exempelvis lösas med denna metod.
1
Skriv på formen x^4+px^2+q=0
expand_more Man börjar med att skriva ekvationen på något som liknar pq-form, dvs. så att koefficienten framför x^4 är 1 och högerledet är lika med 0. I detta fall divideras ekvationen med 2, vilket ger x^4-18x^2+80=0.
2
Substituera x^2 med t
expand_more Låt x^2=t. Mittentermen blir då -18t och genom att skriva om x^4-termen som (x^2)^2 ser man också att x^4=t^2.
Nu har man en andragradsekvation, vilket var det man var ute efter.
3
Lös andragradsekvationen
expand_more För att lösa denna andragradsekvation kan man använda pq-formeln.
4
Byt tillbaka till x^2
expand_more Nu måste man byta tillbaka variabeln eftersom det är värden på x, inte t, som löser ursprungsekvationen. I början gjordes variabelbytet x^2=t, och för lösningarna t=8 och t=10 ger det att x^2=8 och x^2=10.
5
Lös ekvationerna och ange rötterna till ursprungsekvationen
expand_more Metod
KvadratrotsmetodenOm en andragradsekvation bara innehåller x^2-termer och en konstant, som
2x^2 - 50 = 0
kan den lösas med kvadratrotsmetoden.
1
Lös ut x^2
expand_more 2
Dra kvadratroten ur båda led
expand_more Ta kvadratroten ur båda led: kom ihåg att både positiva och negativa tal har samma kvadrat.
x^2=100 ⇔ x=± 10
Räknare visar vanligtvis bara den positiva roten, så glöm inte den negativa. Om x^2 är lika med ett negativt tal har ekvationen inga reella lösningar.
x^2 = 25
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
x = ±sqrt(25)
CalcRoot
Beräkna rot
x = ±5
StateSol
Ange lösningar
lx=5 x=-5
Metod
KvadratkompletteringKvadratkomplettering används för att lösa andragradsekvationer som innehåller x^2-, x- och konstantterm, t.ex.
3x^2 + 18x - 21 = 0.
Målet är att skriva om ekvationen i formen (x + a)^2 = b så att vi kan lösa ut x genom att ta roten ur båda led.
1
Flytta om termer och gör koefficienten framför x^2 till 1
expand_more Flytta konstanten till högerledet: 3x^2 + 18x = 21. Dividera med 3: x^2 + 6x = 7.
2
Komplettera till en kvadrat
expand_more Titta på koefficienten framför x (här 6). Halva den är 3, och 3^2 = 9. Lägg till 9 i båda led: x^2 + 6x + 9 = 7 + 9 ⇒ (x + 3)^2 = 16
3
Lös ekvationen
expand_more Ta kvadratroten ur båda led och kom ihåg ±: x + 3 = ± 4 ⇒ x =- 3 ± 4 Lösningarna blir: x =1 och x = - 7
Metod
Lösning av potesekvationen x^n = aEn potensekvation har formen x^n = a. Man löser den genom att ta den rot som tar ut exponenten.
x^2 = a ⇒ x = ±sqrt(a)
Potensekvationer av högre grad löses på samma sätt. I en tredjegradsekvation tar man tredje roten ur båda leden, eftersom
Det viktiga är att ta den rot som motsvarar ekvationens grad. Om exponenten är udda har ekvationen alltid en reell lösning, även om högerledet är negativt. Är exponenten jämn får man oftast två lösningar, men inga reella lösningar om högerledet är negativt.
tredje roten uroch
upphöjt till 3tar ut varandra. Tänk dig till exempel att vi ska lösa följande ekvation: 2x^3 = 128 Den här ekvationen löses i två steg:
1
Isolera potensen
expand_more Dela båda sidor med 2: 2x^3 = 128 ⇒ x^3=64
2
Ta motsvarande rot
expand_more Cube root of both sides: x = sqrt(64) ⇒ x = 4
Exempel
Dela
Rapportera fel
Lös polynomekvationen med nollproduktmetoden
Lös ekvationen
2x(3x+5)(x-7)=0.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","-\\dfrac{5}{3}","7"]}}
Ledtråd
Sätt varje faktor lika med noll och lös de resulterande ekvationerna.
Lösning
Vänsterledet är en produkt av tre faktorer och högerledet är lika med 0. Det betyder att vi kan använda nollproduktmetoden.
Ekvationen har tre rötter: x=0, x=- .5 /3. och x=7.
2x(3x+5)(x-7)=0
ZeroProdProp
Använd nollproduktmetoden
2x=0 & (I) 3x+5=0 & (II) x-7=0 & (III)
DivEqn
(I): .VL /2.=.HL /2.
x=0 3x+5=0 x-7=0
SubEqn
(II): VL-5=HL-5
x=0 3x=- 5 x-7=0
DivEqn
(II): .VL /3.=.HL /3.
x=0 x=- .5 /3. x-7=0
AddEqn
(III):VL+7=HL+7
x_1=0 x_2=- .5 /3. x_3=7
Exempel
Dela
Rapportera fel
Lös polynomekvationen med variabelsubstitution
Lös ekvationen
3x^4 - 15x^2 + 12 = 0.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["2","-2","1","-1"]}}
Ledtråd
Skriv om ekvationen så att koefficienten framför x^4 är 1. Använd variabelsubstitution för att bilda en andragradsekvation och lös den med pq-formeln.
Lösning
Börja med att dividera ekvationen med 2, så att koefficienten framför x^4 blir 1.
x^4 - 5x^2 + 4 = 0
Resultatet är en fjärdegradsekvation på formen x^4 + bx^2 + c = 0, så använd variabelsubstitution för att lösa den.
Låt x^2 = t. Använd detta för att skriva om ekvationen.
Detta ger en andragradsekvation som kan lösas med pq-formeln.
Substituera därefter tillbaka till den ursprungliga variabeln, eftersom lösningarna är värden på t och inte x. Byt ut t mot x^2, vilket ger ekvationerna:
x^2 = 4 och x^2 = 1.
Ta kvadratroten ur båda sidor i varje ekvation för att få lösningarna till den ursprungliga fjärdegradsekvationen.
x = ± 2 och x = ± 1
Dessa är de fyra lösningarna till ekvationen.
x^4 - 5x^2 + 4 = 0
ProdInExponent
a^(b* c)=(a^b)^c
( x^2 )^2 - 5x^2 + 4 = 0
Substitute
x^2= t
t^2 - 5t + 4 = 0
t^2 - 5t +4 = 0
▼
Lös ut t
UsePQ
Använd pq-formeln: p = -5, q= 4
t=- -5/2± sqrt((-5/2)^2-( 4))
RemoveNegFracAndNum
- - a/b= a/b
t = 5/2 ± sqrt((-5/2)^2 - (4))
RemovePar
Ta bort parentes
t = 5/2 ± sqrt((-5/2)^2 - 4)
PowQuot
(a/b)^c=a^c/b^c
t = 5/2 ± sqrt((-5)^2/2^2 - 4)
CalcPow
Beräkna potens
t = 5/2 ± sqrt(25/4 - 4)
NumberToFrac
a = 4* a/4
t = 5/2 ± sqrt(25/4 - 16/4)
SubFrac
Subtrahera bråk
t = 5/2 ± sqrt(9/4)
SqrtQuot
sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)
t = 5/2 ± sqrt(9)/sqrt(4)
CalcRoot
Beräkna rot
t = 5/2 ± 3/2
StateSol
Ange lösningar
lt = .5 /2. + .3 /2. t = .5 /2. - .3 /2.
(I), (II): Lägg ihop bråk
lt = 4 t = 1
Exempel
Dela
Rapportera fel
Lös polynomekvationen med kvadratkomplettering
Lös ekvationen 2x^2 + 8x -10 = 0 med hjälp av kvadratkomplettering.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["2","-2","1","-1"]}}
Ledtråd
Skriv om ekvationen så att koefficienten framför x^2 är 1. Isolera variabeltermerna på vänster sida och konstanten på höger sida. Lägg till kvadraten av halva koefficienten framför x på båda sidor. Skriv sedan om vänster sida som en binom i kvadrat.
Lösning
Börja med att dividera hela ekvationen med 2, så att koefficienten framför x^2 blir 1.
2x^2 + 8x -10 = 0 ⇒ x^2 + 4x - 5 = 0
Flytta nu konstanttermen till höger sida.
x^2 + 4x = 5
Koefficienten framför x är 4, hälften av den är 2, och 2^2 är 4.
4/2= 2 ⇒ 2^2=4 Fortsätt kvadratkompletteringen genom att lägga till 4 på båda sidor av ekvationen för att fullborda kvadraten, och skriv om vänster sida som en binom i kvadrat.
Ta slutligen kvadratroten ur båda sidor och lös ekvationen med avseende på x.
Lösningarna till ekvationen är x = 1 och x = -5.
x^2 + 4x = 5
AddEqn
VL+4=HL+4
x^2 + 4x + 4 = 5 + 4
AddTerms
Addera termerna
x^2 + 4x + 4 = 9
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
x^2 + 2x * 2 + 2 * 2=3 * 3
WritePow
Skriv som potens
x^2 + 2x * 2 + 2^2 = 3^2
FacPosPerfectSquare
Faktorisera med första kvadreringsregeln
(x + 2)^2 = 9^2
(x + 2)^2 = 9^2
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
x + 2 = ± 3
StateSol
Ange lösningar
lx + 2 = 3 x + 2 = -3
(I), (II): VL-2=HL-2
lx = 1 x = -5
Metod
Dela
Rapportera fel
Lösa polynomekvationer grafiskt
För att hitta eventuella rötter till polynomekvationer som är svåra att lösa algebraiskt kan man göra en grafisk lösning. Exempelvis kan man lösa ekvationen
x^4+2x^3+8=9x^2+2x
på detta sätt.
1
Flytta över alla termer till vänsterledet
expand_more Genom att skriva om ekvationen så att högerledet är 0 kan man rita upp vänsterledet som en funktion och identifiera funktionens nollställen för att hitta rötterna: x^4+2x^3-9x^2-2x+8=0. Man skulle också kunna använda höger- och vänsterledets funktioner och undersöka när de skär varandra, men det kan vara lite mer komplicerat.
2
Rita grafen till funktionen
expand_more Rita funktionens graf, exempelvis med hjälp av grafritare. Det kan vara nödvändigt att ändra på koordinatsystemets inställningar för att kunna se hela grafen.
3
Hitta nollställena
expand_more För att hitta nollställena kan man använda räknarens verktyg för detta. I det här fallet kan man läsa av dem direkt i figuren.
Nollställena är x=-4, x=-1, x=1 och x=2, och dessa löser även ursprungsekvationen.
Räknaren har ett inbyggt verktyg för att hitta nollställen till en funktion. För att använda det måste man först rita ut grafen, så man börjar med att skriva in funktionsuttrycket.
Trycker man sedan på GRAPH visas grafen.
Genom att trycka på CALC (2nd + TRACE) visas en meny med olika beräkningar som kan göras.
För att bestämma nollställen väljer man det andra alternativet, zero
. Den utritade grafen visas nu igen med en markör som man kan röra med vänster- och högerknapparna.
Man anger den vänstra och högra gränsen för området där räknaren ska leta efter ett nollställe samt en gissning. Det gör man genom att flytta på markören och trycka på ENTER för att välja punkter. Det går också att skriva in ett x-värde och trycka på ENTER.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Lös polynomekvationen med digitalt verktyg
Lös ekvationen x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0 med hjälp av ett digitalt verktyg. 
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-2","1","3"]}}
Ledtråd
Sätt högerledet i ekvationen lika med 0, och grafritar sedan vänsterledet som en funktion på en grafräknare. Identifiera funktionens nollställen — dessa är lösningarna till ekvationen.
Lösning
Ekvationen kommer att lösas med hjälp av en grafräknare. Eftersom högerledet i ekvationen är 0, kan vänsterledet grafritas som en funktion, och funktionens nollställen kan identifieras för att hitta rötterna. Börja med att trycka på Y= och mata in ekvationens vänsterled.
Tryck sedan på GRAPH för att visa grafen. Det kan vara nödvändigt att justera fönsterinställningarna för att se alla nollställen.
Tryck nu på 2nd och därefter TRACE för att komma åt menyn CALC. Denna meny innehåller olika beräkningsalternativ.
Tryck på 2 för att välja alternativet zero
. Grafen visas igen med en markör som kan flyttas med vänster- och högerpilarna.
Ange det vänstra och högra gränsvärdet för det område där räknaren ska söka efter ett nollställe, samt en gissning. Gör detta genom att flytta markören och trycka på ENTER för att välja punkter. Alternativt kan du skriva in ett x-värde och trycka på ENTER.
Upprepa denna process för varje nollställe i funktionen tills alla tre nollställen har hittats. I detta fall är nollställena x = -2, x = 1 och x = 3. Dessa är också lösningarna till ekvationen.
Alternativ lösning
Lösa ekvationen med GeoGebraEkvationen kan också lösas med ett ekvationslösningsverktyg som GeoGebra. I GeoGebra används kommandot NLös(ekvation)
, där ekvationen skrivs inom parentesen.
NLös(x^3-2x^2-5x+6=0)
= { x = -2, x = 1, x=3 }
Lösningen stämmer överens med resultatet som erhölls tidigare. Detta innebär att lösningarna till polynomekvationen är x = -2, x = 1 och x = 3.
Polynomekvationer
Övningar
Polynomekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll