Deriveringsregler för potensfunktioner

Som funktionsuttrycket är skrivet kan vi inte använda deriveringsregeln för potensfunktioner, men om vi förenklar bråket får vi ett uttryck där det är möjligt att göra det.

Nu är det inga problem att använda regeln för att derivera funktionen.

I det här fallet måste vi skriva om rotuttrycket som en potens innan vi kan använda deriveringsregeln.

För den här funktionen måste vi börja med att flytta upp x-termen till täljaren, vilket man får göra om man byter tecken på exponenten.

För att kunna använda deriveringsregeln för potensfunktioner måste vi först skriva om uttrycket. Eftersom det är ett bråk med en potens i nämnaren kan det kan skrivas om som en potens med negativ exponent: f(x) = 1/x^5 = x^(-5). Med funktionen skriven på den här formen går det bra att använda standardregeln för derivering av potensfunktioner.

Derivatan är alltså f'(x) = -5 x^(-6), och vi är klara. Men man kan om man vill skriva om derivatan så att den ser mer ut som funktionen vi började med, dvs. som ett bråk.

Derivatan kan alltså även skrivas som f'(x) = - 5x^6.

Den här gången innehåller funktionen ett rotuttryck, men det kan vi skriva om som en potens med exponenten 0,5. Därefter deriverar vi funktionen.

Derivatan är alltså g'(x) = 0,5 x^(- 0,5). Vi kan avsluta med att skriva potensen som ett bråk och sedan skriva om x^(0,5) som ett rotuttryck.

I vissa sammanhang är det vanligt att skriva derivatan av sqrt(x) som 12sqrt(x). Vi kan visa att detta gäller genom att fortsätta omskrivningen ovan några steg till.

Det här fallet är nästan likadant som första uppgiften, med enda skillnaden att exponenten är ett decimaltal. Det påverkar dock inget, och vi kan göra på precis samma sätt.

Vi kan sedan skriva om detta som ett bråk för att få tillbaka det på en form som liknar det vi började med.

Grafens lutning i en viss punkt är samma sak som derivatans värde i denna punkt. Vi ska alltså bestämma för vilka x derivatan är lika med 5, och börjar med att derivera funktionen.

Vi likställer derivatan med 5.

Grafen till f(x) har alltså lutningen 5 i punkterna där x=- 1 och x=1.

Vi gör på liknande sätt här, men skriver om funktionen som en potens innan vi deriverar.

Nu likställer vi g'(x) med 5 och löser ut x.

Grafen till g(x) har lutningen 5 i punkterna där x=- sqrt(0,2) och x=sqrt(0,2).

För att kunna använda deriveringsregeln för potensfunktioner, D(x^n )=nx^(n-1), måste vi skriva 1 som en potens med basen x. Vi vet att en potens med exponenten 0 är lika med 1 enligt potenslagen a^0=1. Genom att använda denna baklänges kan vi skriva om funktionen y=1 som potensfunktionen y=x^0 och sedan derivera.

Vi skriver om funktionen innan vi deriverar den.

Nu kan vi derivera med deriveringsregeln för potensfunktioner.

Nu har vi derivatan, men väljer att skriva om den så att den står på liknande form som ursprungsfunktionen.

Innan vi deriverar skriver vi om funktionen som en potens.

Derivatan är alltså g'(x)=-1.5x^(-2.5). Om man vill kan man skriva om uttrycket så att det står på liknande form som ursprungsfunktionen.

Derivatans definition för funktionen f(x) i ett godtyckligt x-värde är f'(x)=lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h. Vi tar fram ett uttryck för f(x+h) genom att ersätta x med x+h i f(x) och förenklar.

Nu sätter vi in detta i derivatans definition.

Derivatan blir alltså f'(x)=3x^2 dvs. samma som om man använder deriveringsregeln för potensfunktioner.