Regel

Derivatan av en potensfunktion

För att derivera en potensfunktion f(x)=xn,f(x)=x^n, där nn är en konstant, multiplicerar man xnx^n med nn och minskar exponenten med 1.1.

Derivera/Förenkla

f(x)=x4f(x) = x^4

f(x)=x2f(x) = x^2

f(x)=x-5f(x) = x^{\text{-}5}

Deriveringsregeln gäller för alla reella nn. Ibland kan man dock behöva göra vissa omskrivningar för att kunna använda regeln.

Regel

D(xn)=nxn1D\left(x^n\right) = n x^{n-1}

Man kan motivera regeln genom att visa att den exempelvis gäller då n=2,n=2, alltså för funktionen f(x)=x2.f(x)=x^2. Man gör detta med hjälp av derivatans definition.

f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
f(x+h)=(x+h)2f(x+h)={\color{#0000FF}{(x+h)^2}}, f(x)=x2f(x)={\color{#009600}{x^2}}
f(x)=limh0(x+h)2x2hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{(x + h)^2}} - {\color{#009600}{x^2}}}{h}
f(x)=limh0x2+2xh+h2x2hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}
f(x)=limh02xh+h2hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{2xh + h^2}{h}
Dela upp i faktorer
f(x)=limh0h2x+hhhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h\cdot 2x + h\cdot h}{h}
f(x)=limh0h(2x+h)hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h(2x + h)}{h}
f(x)=limh0(2x+h)f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} (2x + h)
f(x)=2xf'(x) = 2x
Deriveringsregeln gäller alltså när n=2,n = 2, och det går att visa det för alla nn också.

Regel

D(x)=1D(x)=1

Även funktionen f(x)=xf(x)=x går att derivera med deriveringsregeln för potensfunktioner, eftersom xx är en potens med graden 1.1. Ofta brukar man dock använda en snabbare väg, nämligen regeln som säger att D(x)=1,D(x)=1, som härleds här.

f(x)=xf(x)=x
f(x)=x1f(x)=x^1
f(x)=D(x1)f'(x)=D\left(x^1\right)
f(x)=1x0f'(x)=1\cdot x^0
f(x)=1f'(x)=1

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}