body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Regel

Derivatan av en potensfunktion

För att derivera en potensfunktion

f (x) = x^{n},

där

n

är en konstant, multiplicerar man

x^{n}

med

n

och minskar exponenten med

1 .

Deriveringsregeln gäller för alla reella

n .

Ibland kan man dock behöva göra vissa omskrivningar för att kunna använda regeln.

Regel

D (x^{n}) = n x^{n - 1}

Man kan motivera regeln genom att visa att den exempelvis gäller då $n = 2,$ alltså för funktionen $f (x) = x^{2} .$ Man gör detta med hjälp av derivatans definition.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

SubstituteII

$f (x + h) = (x + h)^{2}$ och $f (x) = x^{2}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{( x + h ) ^{2} - x ^{2}}{h}

ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{x ^{2} + 2 x h + h ^{2} - x ^{2}}{h}

SimpTerms

Förenkla termer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{2 x h + h ^{2}}{h}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{h \cdot 2 x + h \cdot h}{h}

FactorOut

Bryt ut $h$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{h ( 2 x + h )}{h}

SimpQuot

Förenkla kvot

f^{'} (x) = h \to 0 lim (2 x + h)

$h \to 0$

f^{'} (x) = 2 x

Deriveringsregeln gäller alltså när

n = 2,

och det går att visa det för alla

n

också.

Regel

D (x) = 1

Även funktionen $f (x) = x$ går att derivera med deriveringsregeln för potensfunktioner, eftersom $x$ är en potens med graden $1 .$ Ofta brukar man dock använda en snabbare väg, nämligen regeln som säger att $D (x) = 1,$ som härleds här.

f (x) = x

NumberToExponentOne

$a = a^{1}$

f (x) = x^{1}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (x^{1})

DeriveMonom

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 1 \cdot x^{0}

ExponentZero

$a^{0} = 1$

f^{'} (x) = 1

Övningar

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.