Regel

Derivatan av en potensfunktion

För att derivera en potensfunktion $f(x)=x^n,$ där $n$ är en konstant, multiplicerar man $x^n$ med $n$ och minskar exponenten med $1.$

Derivera/Förenkla

$f(x) = x^4$

$f(x) = x^2$

$f(x) = x^{\text{-}5}$

Deriveringsregeln gäller för alla reella $n$. Ibland kan man dock behöva göra vissa omskrivningar för att kunna använda regeln.

Regel
$D\left(x^n\right) = n x^{n-1}$

Man kan motivera regeln genom att visa att den exempelvis gäller då $n=2,$ alltså för funktionen $f(x)=x^2.$ Man gör detta med hjälp av derivatans definition.

$f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x+h)={\color{#0000FF}{(x+h)^2}}$, $f(x)={\color{#009600}{x^2}}$

$f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{(x + h)^2}} - {\color{#009600}{x^2}}}{h}$

Utveckla med första kvadreringsregeln

$f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$

Förenkla termer

$f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{2xh + h^2}{h}$

Dela upp i faktorer

$f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h\cdot 2x + h\cdot h}{h}$

Bryt ut $h$

$f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h(2x + h)}{h}$

Förenkla kvot

$f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} (2x + h)$

$h \to 0$

$f'(x) = 2x$

Deriveringsregeln gäller alltså när $n = 2,$ och det går att visa det för alla $n$ också.

Regel
$D(x)=1$

Även funktionen $f(x)=x$ går att derivera med deriveringsregeln för potensfunktioner, eftersom $x$ är en potens med graden $1.$ Ofta brukar man dock använda en snabbare väg, nämligen regeln som säger att $D(x)=1,$ som härleds här.

$f(x)=x$

$a=a^1$

$f(x)=x^1$

Derivera funktion

$f'(x)=D\left(x^1\right)$

$D\left(x^n\right) = nx^{n-1}$

$f'(x)=1\cdot x^0$

$a^0=1$

$f'(x)=1$