body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

3b

Kurs 3b Visa detaljer

1. Deriveringsregler för potensfunktioner

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel 3

1.

Deriveringsregler för potensfunktioner

Innehållet handlar om deriveringsregler för potensfunktioner. Den förklarar hur man kan använda dessa regler för att derivera olika typer av funktioner, inklusive de som innehåller bråk och rotuttryck. Sidan ger en detaljerad genomgång av hur man kan omvandla dessa uttryck till potensform och sedan använda deriveringsreglerna för att hitta derivatan. Dessutom innehåller sidan flera exempel och steg-för-steg-lösningar för att hjälpa läsaren att förstå och tillämpa koncepten. Detta är en utmärkt lektionen för studenter som vill förbättra sina färdigheter i derivering och förstå hur man kan tillämpa dessa tekniker på olika typer av funktioner.

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Deriveringsregler för potensfunktioner

Sida av 5

Begrepp

Derivera funktioner

Begreppet derivata kan syfta på lutningen i en viss punkt, men det kan också vara en funktion som beskriver hur derivatan beror på olika

x

-värden. När man deriverar en funktion

f (x)

får man derivatan

f^{'} (x)

som också är en funktion. Genom att sätta in ett

x

-värde i

f^{'} (x)

kan man beräkna derivatans värde för detta

x .

Exempelvis innebär

f^{'} (2)

att man beräknar derivatans värde för

f (x)

när

x = 2 .

Förutom skrivsättet

f^{'} (x)

kan derivatan till en funktion

f

även skrivas som

D (f (x))

som utläses "derivatan av

f (x)

":

f^{'} (x) \Leftrightarrow D (f (x)) .

Detta är användbart om man vill se vilken funktion som deriveras. T.ex. kan derivatan av

f (x) = 4 x^{2}

skrivas

D (4 x^{2}) .

För att derivera en funktion kan man använda derivatans definition eller deriveringsregler. Deriveringsreglerna talar om hur olika typer av funktioner deriveras utan att man behöver använda definitionen för derivata.

Regel

Derivatan av en potensfunktion

För att derivera en potensfunktion $f (x) = x^{n},$ där $n$ är en konstant, multiplicerar man $x^{n}$ med $n$ och minskar exponenten med $1 .$

Derivera/Förenkla

f (x) = x^{4}

f (x) = x^{2}

f (x) = x^{- 5}

Deriveringsregeln gäller för alla reella $n$ .

Regel

D (x^{n}) = n x^{n - 1}

Man kan motivera regeln genom att visa att den exempelvis gäller då $n = 2,$ alltså för funktionen $f (x) = x^{2} .$ Man gör detta med hjälp av derivatans definition.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

$f (x + h) = (x + h)^{2}$ och $f (x) = x^{2}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{( x + h ) ^{2} - x ^{2}}{h}

ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{x ^{2} + 2 x h + h ^{2} - x ^{2}}{h}

Förenkla termer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{2 x h + h ^{2}}{h}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{h \cdot 2 x + h \cdot h}{h}

Bryt ut $h$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{h ( 2 x + h )}{h}

Förenkla kvot

f^{'} (x) = h \to 0 lim (2 x + h)

$h \to 0$

f^{'} (x) = 2 x

Deriveringsregeln gäller alltså när

n = 2,

och det går att visa det för alla

n

också.

Regel

D (x) = 1

Även funktionen $f (x) = x$ går att derivera med deriveringsregeln för potensfunktioner, eftersom $x$ är en potens med graden $1 .$ Ofta brukar man dock använda en snabbare väg, nämligen regeln som säger att $D (x) = 1,$ som härleds här.

f (x) = x

NumberToExponentOne

$a = a^{1}$

f (x) = x^{1}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (x^{1})

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 1 \cdot x^{0}

$a^{0} = 1$

f^{'} (x) = 1

Derivera potensfunktionerna

fullscreen

Derivera potensfunktionerna.

f (x) h (x) = x^{7} = x^{- 10} g (x) = x^{2.3} k (x) = x

Visa Lösning

Detta är fyra funktioner som kan skrivas på formen $x^{n},$ så vi använder deriveringsregeln för potensfunktioner. Den säger att en funktion på formen $f (x) = x^{n}$ har derivatan $f^{'} (x) = n x^{n - 1} .$ Man läser alltså av exponenten och sätter den som koefficient framför funktionen och minskar sedan exponenten med $1 .$ Vi börjar med $f (x) = x^{7} .$

f (x) = x^{7}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (x^{7})

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 7 x^{7 - 1}

Subtrahera term

7 x^{6}

För

g (x) = x^{2.3}

är exponenten inte ett heltal, men det påverkar inte hur man använder regeln. Man får derivatan

g^{'} (x) = 2.3 x^{2.3 - 1} = 2.3 x^{1.3} .

Nästa funktion har en negativ exponent, men vi kan fortfarande använda samma regel. Derivatan av

h (x) = x^{- 10}

är alltså

h^{'} (x) = - 10 x^{- 10 - 1} = - 10 x^{- 11} .

Till sist har vi

k (x) = x,

som vi skulle kunna derivera på samma sätt genom att skriva om

x

som

x^{1} .

Men vi kan lika gärna använda specialregeln

D (x) = 1

:

k^{'} (x) = 1 .

Metod

Beräkna derivatans värde med deriveringsregler

Ofta vill man bestämma värdet för en funktions derivata i en specifik punkt. Exempelvis kan man bestämma

f^{'} (5)

för

f (x) = x^{4} .

Det innebär att man ska bestämma derivatan när

x = 5 .

1

Derivera funktionen

Man börjar med att derivera funktionen med lämplig deriveringsregel. I det här fallet har man en potensfunktion så man använder därför deriveringsregeln för potensfunktioner.

f (x) = x^{4}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (x^{4})

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 4 x^{3}

2

Sätt in

x

-värde

Sedan beräknas derivatans värde genom att man sätter in

x

-värdet i

f^{'} (x) .

f^{'} (x) = 4 x^{3}

$x = 5$

f^{'} (5) = 4 \cdot 5^{3}

Beräkna potens

f^{'} (5) = 4 \cdot 125

Multiplicera faktorer

f^{'} (5) = 500

Derivatans värde är alltså

500

i när

x = 5 .

Metod

Skriv om och derivera potensfunktion

Rotuttryck och bråk där variabeln står i nämnaren kan ibland skrivas om på potensform. T.ex. kan

x

skrivas om som en potens med exponenten

0.5

,

x = x^{0.5},

och

\frac{1}{x ^{2}}

kan skrivas som en potens med negativ exponent:

\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2} .

Detta kan utnyttjas för att skriva om vissa funktioner till formen

f (x) = x^{n}

så att man kan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Detta gäller exempelvis funktionen

f (x) = \frac{1}{x} .

1

Finns det något rotuttryck som kan skrivas som en potens?

Om funktionen innehåller ett rotuttryck skriver man om det som en potens med ett bråk eller decimaltal i exponenten. Nämnaren i det här funktionsuttrycket,

x,

kan skrivas som

x^{0.5},

och funktionen kan därför skrivas

f (x) = \frac{1}{x ^{0.5}} .

2

Finns det något bråk som kan skrivas som en potens med negativ exponent?

Om funktionen är ett bråk på formen

\frac{1}{x ^{n}}

skriver man om det som potensen

x^{- n}

. I det här fallet får man

f (x) = \frac{1}{x ^{0.5}} = x^{- 0.5} .

3

Använd deriveringsregeln för potensfunktioner

Nu kan man derivera funktionen med deriveringsregeln för potensfunktioner.

f (x) = x^{- 0.5}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (x^{- 0.5})

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = - 0.5 x^{- 1.5}

När man har kommit så här långt är man egentligen färdig med deriveringen, så det sista steget i metoden behöver inte alltid användas.

4

Skriv eventuellt derivatan på samma form som ursprungsfunktionen

I vissa fall kan det vara lämpligt att skriva om derivatan så att den står på liknande form som

f (x) .

Det kan till exempel vara om det krävs i uppgiften eller om det blir enklare att räkna vidare med. För det här exemplet skulle man i så fall skriva om derivatan så den står på bråkform och innehåller ett rotuttryck.

f^{'} (x) = - 0.5 x^{- 1.5}

NegExponentToFrac

$a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}$

f^{'} (x) = - 0.5 \cdot \frac{1}{x ^{1.5}}

Skriv i bråkform

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x ^{3 / 2}}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x ^{3 \cdot 1 / 2}}

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( x ^{3} ) ^{1 / 2}}

$a^{1 / 2} = a$

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x ^{3}}

Multiplicera bråk

f^{'} (x) = - \frac{1}{2 x ^{3 / 2}}

I det här fallet kan man alltså skriva derivatan till funktionen

f (x) = \frac{1}{x}

som

f^{'} (x) = - \frac{1}{2 x ^{3 / 2}} .

Deriveringsregler för potensfunktioner

Övningar

Walter har deriverat

f (x) = x^{3}

till

f^{'} (x) = 3 x^{2} .

Hans gode vän Hank säger "Det är fel. Derivatan är ju noll!" Vem har rätt? Motivera!

Vi undersöker en persons påstående i taget. Walter verkar syfta på den generella derivatan man får när funktionen f(x)=x^3 deriveras med deriveringsregeln för potensfunktioner.

Walter påstående stämmer alltså. Men hur kan Hank ha menat? Jo, han skulle kunna ha beräknat derivatan av f(x)=x^3 för ett specifikt x-värde, istället för att ange den generella derivatan. Sätter vi in x=0 får vi just värdet 0 på derivatan.

Även Hanks påstående stämmer. Derivatan av f(x)=x^3 kan alltså syfta på både den generella derivatan och derivatan för funktionen i ett visst x-värde. Båda kan alltså ha rätt.

Derivera funktionen.

f (x) = x^{π}

Vi skriver om funktionen som en potens innan vi deriverar.

Nu kan vi derivera.

Vi skriver nu om derivatan med potenslagar.

Derivatan av f(x)=sqrt(x^(π)) är alltså f'(x)= π sqrt(x^(π))2x.

Bestäm för vilka

x

det gäller att

g^{'} (x) = f^{'} (x)

givet att

f (x) g (x) = x^{2} = x^{3} .

Svara exakt.

Vi ska bestämma när funktionernas derivator är lika stora. Vi börjar därför med att derivera funktionerna.

Vi deriverar även g(x).

Nu har vi uttryck för båda derivator så vi likställer dem och löser ut x.

Derivatorna är lika stora i x=0 och x= 23.

Vad betyder det att derivatorna är lika stora? Derivata anger en funktions lutning så i de x-värden där g'(x)=f'(x) måste funktionernas lutning vara lika stora. Drar vi tangenter till funktionerna i x=0 kommer dessa att vara parallella. På samma sätt kommer tangenterna till funktionerna i x= 23 vara parallella.

Deriveringsregler för potensfunktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll