Deriveringsregler för potensfunktioner

Begrepp

Derivera funktioner

Begreppet derivata kan syfta på lutningen i en viss punkt, men det kan också vara en funktion som beskriver hur derivatan beror på olika $x$ -värden. När man deriverar en funktion $f(x)$ får man derivatan $f'(x)$ som också är en funktion. Genom att sätta in ett $x$ -värde i $f'(x)$ kan man beräkna derivatans värde för detta $x.$ Exempelvis innebär $f'(2)$ att man beräknar derivatans värde för $f(x)$ när $x=2.$ Förutom skrivsättet $f'(x)$ kan derivatan till en funktion $f$ även skrivas som $D(f(x))$ som utläses "derivatan av $f(x)$ ": $f'(x) \quad \Leftrightarrow \quad D(f(x)).$

Detta är användbart om man vill se vilken funktion som deriveras. T.ex. kan derivatan av

f(x)=4x^2

skrivas

D\left(4x^2\right).

För att derivera en funktion kan man använda derivatans definition eller deriveringsregler. Deriveringsreglerna talar om hur olika typer av funktioner deriveras utan att man behöver använda definitionen för derivata.

Regel

Derivatan av en potensfunktion

För att derivera en potensfunktion $f(x)=x^n,$ där $n$ är en konstant, multiplicerar man $x^n$ med $n$ och minskar exponenten med $1.$

Derivera/Förenkla

f(x) = x^4

f(x) = x^2

f(x) = x^{\text{-}5}

Deriveringsregeln gäller för alla reella $n$ .

Regel
$D\left(x^n\right) = n x^{n-1}$

Man kan motivera regeln genom att visa att den exempelvis gäller då $n=2,$ alltså för funktionen $f(x)=x^2.$ Man gör detta med hjälp av derivatans definition.

f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}

f(x+h)={\color{#0000FF}{(x+h)^2}}

,

f(x)={\color{#009600}{x^2}}

f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{(x + h)^2}} - {\color{#009600}{x^2}}}{h}

Utveckla med första kvadreringsregeln

f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}

Förenkla termer

f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{2xh + h^2}{h}

Dela upp i faktorer

f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h\cdot 2x + h\cdot h}{h}

Bryt ut

h

f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h(2x + h)}{h}

Förenkla kvot

f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} (2x + h)

h \to 0

f'(x) = 2x

Deriveringsregeln gäller alltså när

n = 2,

och det går att visa det för alla

n

också.

Regel
$D(x)=1$

Även funktionen $f(x)=x$ går att derivera med deriveringsregeln för potensfunktioner, eftersom $x$ är en potens med graden $1.$ Ofta brukar man dock använda en snabbare väg, nämligen regeln som säger att $D(x)=1,$ som härleds här.

f(x)=x

a=a^1

f(x)=x^1

Derivera funktion

f'(x)=D\left(x^1\right)

D\left(x^n\right) = nx^{n-1}

f'(x)=1\cdot x^0

a^0=1

f'(x)=1

Derivera potensfunktionerna

Uppgift

Derivera potensfunktionerna. $\begin{aligned} f(x) &= x^7 \; &&g(x) = x^{2.3} \\ h(x) &= x^{\text{-}10} \; &&k(x) = x \end{aligned}$

Lösning

Detta är fyra funktioner som kan skrivas på formen $x^n,$ så vi använder deriveringsregeln för potensfunktioner. Den säger att en funktion på formen $f(x) = x^n$ har derivatan $f'(x) = nx^{n-1}.$ Man läser alltså av exponenten och sätter den som koefficient framför funktionen och minskar sedan exponenten med $1.$ Vi börjar med $f(x) = x^7.$

f(x) = x^7

Derivera funktion

f'(x)=D\left(x^7\right)

D\left(x^n\right) = nx^{n-1}

f'(x)=7x^{7-1}

Förenkla termer

7x^6

För $g(x) = x^{2.3}$ är exponenten inte ett heltal, men det påverkar inte hur man använder regeln. Man får derivatan $g'(x) = 2.3x^{2.3 - 1} = 2.3x^{1.3}.$ Nästa funktion har en negativ exponent, men vi kan fortfarande använda samma regel. Derivatan av $h(x) = x^{\text{-}10}$ är alltså $h'(x) = \text{-}10x^{\text{-}10 - 1} = \text{-}10x^{\text{-}11}.$ Till sist har vi $k(x) = x,$ som vi skulle kunna derivera på samma sätt genom att skriva om $x$ som $x^1.$ Men vi kan lika gärna använda specialregeln $D(x)=1$ : $k'(x) = 1.$

Visa lösning

Metod

Beräkna derivatans värde med deriveringsregler

Ofta vill man bestämma värdet för en funktions derivata i en specifik punkt. Exempelvis kan man bestämma

f'(5)

för

f(x)=x^4.

Det innebär att man ska bestämma derivatan när

x=5.

1

Derivera funktionen

Man börjar med att derivera funktionen med lämplig deriveringsregel. I det här fallet har man en potensfunktion så man använder därför deriveringsregeln för potensfunktioner.

f(x)=x^4

Derivera funktion

f'(x)=D\left(x^4\right)

D\left(x^n\right) = nx^{n-1}

f'(x)=4x^3

2

Sätt in

x

-värde

Sedan beräknas derivatans värde genom att man sätter in

x

-värdet i

f'(x).

f'(x)=4x^3

x={\color{#0000FF}{5}}

f'({\color{#0000FF}{5}})=4 \cdot {\color{#0000FF}{5}}^3

Beräkna potens

f'(5)=4 \cdot 125

Multiplicera faktorer

f'(5)=500

Derivatans värde är alltså

500

i när

x=5.

Metod

Skriv om och derivera potensfunktion

Rotuttryck och bråk där variabeln står i nämnaren kan ibland skrivas om på potensform. T.ex. kan

\sqrt{x}

skrivas om som en potens med exponenten

0.5

,

\sqrt{x}=x^{0.5},

och

\frac{1}{x^2}

kan skrivas som en potens med negativ exponent:

\dfrac{1}{x^2}=x^{\text{-} 2}.

Detta kan utnyttjas för att skriva om vissa funktioner till formen

f(x)=x^n

så att man kan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Detta gäller exempelvis funktionen

f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.

1

Finns det något rotuttryck som kan skrivas som en potens?

Om funktionen innehåller ett rotuttryck skriver man om det som en potens med ett bråk eller decimaltal i exponenten. Nämnaren i det här funktionsuttrycket, $\sqrt{x},$ kan skrivas som $x^{0.5},$ och funktionen kan därför skrivas $f(x)=\dfrac{1}{x^{0.5}}.$

2

Finns det något bråk som kan skrivas som en potens med negativ exponent?

Om funktionen är ett bråk på formen $\frac{1}{x^n}$ skriver man om det som potensen $x^{\text{-} n}$ . I det här fallet får man $f(x)=\dfrac{1}{x^{0.5}}=x^{\text{-} 0.5}.$

3

Använd deriveringsregeln för potensfunktioner

Nu kan man derivera funktionen med deriveringsregeln för potensfunktioner.

f(x)=x^{\text{-}0.5}

Derivera funktion

f'(x)=D\left(x^{\text{-}0.5}\right)

D\left(x^n\right) = nx^{n-1}

f'(x)=\text{-}0.5 x^{\text{-}1.5}

När man har kommit så här långt är man egentligen färdig med deriveringen, så det sista steget i metoden behöver inte alltid användas.

4

Skriv eventuellt derivatan på samma form som ursprungsfunktionen

I vissa fall kan det vara lämpligt att skriva om derivatan så att den står på liknande form som

f(x).

Det kan till exempel vara om det krävs i uppgiften eller om det blir enklare att räkna vidare med. För det här exemplet skulle man i så fall skriva om derivatan så den står på bråkform och innehåller ett rotuttryck.

f'(x)=\text{-}0.5 x^{\text{-} 1.5}

a^{\text{-} b}=\dfrac{1}{a^b}

f'(x)=\text{-}0.5 \cdot \dfrac{1}{x^{1.5}}

Skriv i bråkform

f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x^{3/2}}

Dela upp i faktorer

f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x^{3\cdot 1/2}}

a^{b\cdot c}=\left(a^{b}\right)^{c}

f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\left(x^3\right)^{1/2}}

a^{1/2}=\sqrt{a}

f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^3}}

Multiplicera bråk

f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2x^{3/2}}

I det här fallet kan man alltså skriva derivatan till funktionen $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ som $f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2x^{3/2}}.$

Deriveringsregler för potensfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Derivera funktioner

Derivatan av en potensfunktion

Regel

Regel

Exempel

Derivera potensfunktionerna

Beräkna derivatans värde med deriveringsregler

1

2

Skriv om och derivera potensfunktion

1

2

3

4

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Regler för derivator

Regel

Regel

Exempel

Derivera potensfunktionerna

1

2

1

2

3

4

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}