Regel

Rationell exponent

Man kan skriva rötter som potenser med bråk i exponenten.

Regel

an=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}

Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex. (9)2=9. \left(\sqrt{9}\right)^2=9. Ur detta kan man lösa ut 9\sqrt{9} genom att höja upp båda led med 1/21/2 och använda potenslagarna.

(9)2=9\left(\sqrt{9}\right)^2=9
((9)2)1/2=91/2\left(\left(\sqrt{9}\right)^2\right)^{1/2}=9^{1/2}
(9)212=91/2\left(\sqrt{9}\right)^{2\cdot\frac{1}{2}}=9^{1/2}
(9)1=91/2\left(\sqrt{9}\right)^1=9^{1/2}
9=91/2\sqrt{9}=9^{1/2}
Kvadratroten ur 9 kan alltså skrivas 91/2.9^{1/2}. Denna regel brukar uttryckas som a=a1/2.\sqrt{a}=a^{1/2}. På liknande sätt kan man motivera att a3=a1/3,\sqrt[3]{a}=a^{1/3}, eller mer generellt an=a1/n.\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.

Regel

abn=ab/n\sqrt[n]{a^b}=a^{b/n}

En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är 11, t.ex. 82/5,8^{2/5}, kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens: 82/5=825=(85)2. 8^{2/5}=\sqrt[5]{8^2} = \left(\sqrt[5]{8}\right)^2. Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket.

Regel

abn=ab/n\sqrt[n]{a^b}=a^{b/n}
Man kan utgå från t.ex. 825\sqrt[5]{8^2} och visa hur täljaren i exponenten hamnar som exponent på talet under rottecknet genom att använda potenslagarna.
825\sqrt[5]{8^2}
(82)15\left(8^2\right)^{\frac 1 5}
82158^{2\cdot \frac 1 5}
8258^{\frac 2 5}
Rotuttrycket 825\sqrt[5]{8^2} kan alltså skrivas som 82/5.8^{2/5}. Med samma motivering som för abn=ab/n\sqrt[n]{a^b}=a^{b/n} kan man även visa omskrivningen (an)b=ab/n.\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=a^{b/n}.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}