mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open

Hur härleds deriveringsregeln för potensfunktioner


Förklaring

Hur härleds deriveringsregeln för potensfunktioner?

För potensfunktioner gäller följande deriveringsregel.

Denna regel gäller för alla konstanter men har ett ganska invecklat bevis om den ska visas generellt. Därför gäller följande härledning bara för exponenter som är positiva heltal, men kan utvidgas till att gälla för alla Man sätter in i derivatans definition: Att utveckla kommer att resultera i ett långt och krångligt uttryck som kommer att innehålla fler termer ju större är. Man behöver dock bara titta på några av dessa för att kunna bestämma gränsvärdet. Först skriver man om som en multiplikation av stycken parenteser:

När man multiplicerar ihop dessa parenteser kommer varje term i den första parentesen multipliceras med alla i den andra parentesen, tredje parentesen och så vidare. När alla multipliceras med varandra får man termen

multiplikation av binom x+h

Sedan multipliceras från den första parentesen med från de resterande parenteser, vilket ger termen

multiplikation av binom x+h
Man kan få en likadan term om man multiplicerar från den andra parentesen med från alla de andra, och på samma sätt för från den tredje parentesen ända upp till den :te parentesen. Då får man totalt termer på formen vilket kan skrivas Resten av termerna man får av att multiplicera ihop parenteserna kommer att ha minst två multiplicerade med varandra, det vill säga Utvecklar man får man alltså och en stor mängd termer med eller högre exponent. Man kan skriva detta som där representerar alla termer med eller högre exponent. Man kan nu sätta in detta i derivatans definition och förenkla.
innehåller bara termer med eller högre exponent som alla kan divideras med och när de divideras sänks alla exponenter till med 1. Alla termer kommer dock fortfarande att innehålla minst en faktor så man kan skriva divisionen som där är en summa av termer som alla innehåller faktorn Då får man Den första termen i gränsvärdet innehåller inget så den kommer inte påverkas av att går mot Den andra termen, kommer däremot att försvinna helt eftersom alla termer den representerar innehåller minst en faktor När går mot kommer därför alla dessa termer gå mot och försvinner. Man får Detta betyder att när är ett positivt heltal.