{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Hur härleds deriveringsregeln för potensfunktioner *Why*
tune
{{ topic.label }}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Förklaring

Hur härleds deriveringsregeln för potensfunktioner?

För potensfunktioner gäller följande deriveringsregel.

Denna regel gäller för alla konstanter n, men har ett ganska invecklat bevis om den ska visas generellt. Därför gäller följande härledning bara för exponenter n som är positiva heltal, men kan utvidgas till att gälla för alla n. Man sätter in i derivatans definition:
Att utveckla kommer att resultera i ett långt och krångligt uttryck som kommer att innehålla fler termer ju större n är. Man behöver dock bara titta på några av dessa för att kunna bestämma gränsvärdet. Först skriver man om som en multiplikation av n stycken parenteser:
När man multiplicerar ihop dessa parenteser kommer varje term i den första parentesen multipliceras med alla i den andra parentesen, tredje parentesen och så vidare. När alla x multipliceras med varandra får man termen
multiplikation av binom x+h

Sedan multipliceras h från den första parentesen med x från de resterande n1 parenteser, vilket ger termen

multiplikation av binom x+h
Man kan få en likadan term om man multiplicerar h från den andra parentesen med x från alla de andra, och på samma sätt för h från den tredje parentesen ända upp till den n:te parentesen. Då får man totalt n termer på formen vilket kan skrivas Resten av termerna man får av att multiplicera ihop parenteserna kommer att ha minst två h multiplicerade med varandra, det vill säga
Utvecklar man får man alltså och en stor mängd termer med h2 eller högre exponent. Man kan skriva detta som
där representerar alla termer med h2 eller högre exponent. Man kan nu sätta in detta i derivatans definition och förenkla.
innehåller bara termer med h2 eller högre exponent som alla kan divideras med h, och när de divideras sänks alla exponenter till h med 1. Alla termer kommer dock fortfarande att innehålla minst en faktor h, så man kan skriva divisionen som
där är en summa av termer som alla innehåller faktorn h. Då får man
Den första termen i gränsvärdet innehåller inget h, så den kommer inte påverkas av att h går mot 0. Den andra termen, kommer däremot att försvinna helt eftersom alla termer den representerar innehåller minst en faktor h. När h går mot 0 kommer därför alla dessa termer gå mot 0 och försvinner. Man får
Detta betyder att
när n är ett positivt heltal.
close
Community