För potensfunktioner gäller följande deriveringsregel.

Denna regel gäller för alla konstanter n, men har ett ganska invecklat bevis om den ska visas generellt. Därför gäller följande härledning bara för exponenter n som är positiva heltal, men kan utvidgas till att gälla för alla n. Man sätter in f(x) = x^n i derivatans definition: f'(x) = lim _(h → 0)f(x+h) - f(x)/h = lim _(h → 0)(x+h)^n - x^n/h. Att utveckla (x+n)^n kommer att resultera i ett långt och krångligt uttryck som kommer att innehålla fler termer ju större n är. Man behöver dock bara titta på några av dessa för att kunna bestämma gränsvärdet. Först skriver man om (x+n)^n som en multiplikation av n stycken parenteser:

(x+h)(x+h)(x+h)... När man multiplicerar ihop dessa parenteser kommer varje term i den första parentesen multipliceras med alla i den andra parentesen, tredje parentesen och så vidare. När alla x multipliceras med varandra får man termen x^n.

Sedan multipliceras h från den första parentesen med x från de resterande n-1 parenteser, vilket ger termen h * x^(n - 1).

Man kan få en likadan term om man multiplicerar h från den andra parentesen med x från alla de andra, och på samma sätt för h från den tredje parentesen ända upp till den n:te parentesen. Då får man totalt n termer på formen h * x^(n - 1), vilket kan skrivas n * h * x^(n - 1). Resten av termerna man får av att multiplicera ihop parenteserna kommer att ha minst två h multiplicerade med varandra, det vill säga h^2 * x^(n - 2), h^3 * x^(n - 3) osv. Utvecklar man (x + h)^n får man alltså x^n, nhx^(n-1) och en stor mängd termer med h^2 eller högre exponent. Man kan skriva detta som (x+h)^n = x^n + nhx^(n-1) + O(h^2), där O(h^2) representerar alla termer med h^2 eller högre exponent. Man kan nu sätta in detta i derivatans definition och förenkla. O(h^2) innehåller bara termer med h^2 eller högre exponent som alla kan divideras med h, och när de divideras sänks alla exponenter till h med 1. Alla termer kommer dock fortfarande att innehålla minst en faktor h, så man kan skriva divisionen som O(h^2)/h = O(h), där O(h) är en summa av termer som alla innehåller faktorn h. Då får man lim _(h → 0)( nx^(n-1) + O(h^2)/h ) = lim _(h → 0)( nx^(n-1) + O(h) ). Den första termen i gränsvärdet innehåller inget h, så den kommer inte påverkas av att h går mot 0. Den andra termen, O(h), kommer däremot att försvinna helt eftersom alla termer den representerar innehåller minst en faktor h. När h går mot 0 kommer därför alla dessa termer gå mot 0 och O(h) försvinner. Man får lim_(h → 0)( nx^(n-1) + O(h) ) = nx^(n-1). Detta betyder att f'(x) = nx^(n-1) när n är ett positivt heltal.