MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
3b
Kurs 3b Visa detaljer
1. Deriveringsregler för potensfunktioner
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 3b , Ma 3c ) /
Kapitel 3
1. 

Deriveringsregler för potensfunktioner

Innehållet handlar om deriveringsregler för potensfunktioner. Den förklarar hur man kan använda dessa regler för att derivera olika typer av funktioner, inklusive de som innehåller bråk och rotuttryck. Sidan ger en detaljerad genomgång av hur man kan omvandla dessa uttryck till potensform och sedan använda deriveringsreglerna för att hitta derivatan. Dessutom innehåller sidan flera exempel och steg-för-steg-lösningar för att hjälpa läsaren att förstå och tillämpa koncepten. Detta är en utmärkt lektionen för studenter som vill förbättra sina färdigheter i derivering och förstå hur man kan tillämpa dessa tekniker på olika typer av funktioner.
Visa mer expand_more
Inställningar & verktyg för lektion
5 sidor teori
17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Deriveringsregler för potensfunktioner
Sida av 5
Begrepp

Derivera funktioner

Begreppet derivata kan syfta på lutningen i en viss punkt, men det kan också vara en funktion som beskriver hur derivatan beror på olika -värden. När man deriverar en funktion får man derivatan
som också är en funktion. Genom att sätta in ett -värde i kan man beräkna derivatans värde för detta Exempelvis innebär att man beräknar derivatans värde för när Förutom skrivsättet kan derivatan till en funktion även skrivas som som utläses "derivatan av ":
Detta är användbart om man vill se vilken funktion som deriveras. T.ex. kan derivatan av skrivas För att derivera en funktion kan man använda derivatans definition eller deriveringsregler. Deriveringsreglerna talar om hur olika typer av funktioner deriveras utan att man behöver använda definitionen för derivata.
Regel

Derivatan av en potensfunktion

För att derivera en potensfunktion där är en konstant, multiplicerar man med och minskar exponenten med

Derivera/Förenkla

Deriveringsregeln gäller för alla reella .

Regel

Man kan motivera regeln genom att visa att den exempelvis gäller då alltså för funktionen Man gör detta med hjälp av derivatans definition.

SubstituteII

och

ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

SimpTerms

Förenkla termer

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

FactorOut

Bryt ut

SimpQuot

Förenkla kvot

To

Deriveringsregeln gäller alltså när och det går att visa det för alla också.

Regel

Även funktionen går att derivera med deriveringsregeln för potensfunktioner, eftersom är en potens med graden Ofta brukar man dock använda en snabbare väg, nämligen regeln som säger att som härleds här.

NumberToExponentOne

Derive

Derivera funktion

DeriveMonom

ExponentZero

Exempel

Derivera potensfunktionerna

 fullscreen
Derivera potensfunktionerna.
Visa Lösning expand_more

Detta är fyra funktioner som kan skrivas på formen så vi använder deriveringsregeln för potensfunktioner. Den säger att en funktion på formen har derivatan Man läser alltså av exponenten och sätter den som koefficient framför funktionen och minskar sedan exponenten med Vi börjar med

Derive

Derivera funktion

DeriveMonom

SubTerm

Subtrahera term

För är exponenten inte ett heltal, men det påverkar inte hur man använder regeln. Man får derivatan
Nästa funktion har en negativ exponent, men vi kan fortfarande använda samma regel. Derivatan av är alltså
Till sist har vi som vi skulle kunna derivera på samma sätt genom att skriva om som Men vi kan lika gärna använda specialregeln :
Metod

Beräkna derivatans värde med deriveringsregler

Ofta vill man bestämma värdet för en funktions derivata i en specifik punkt. Exempelvis kan man bestämma för Det innebär att man ska bestämma derivatan när
1
Derivera funktionen
expand_more
Man börjar med att derivera funktionen med lämplig deriveringsregel. I det här fallet har man en potensfunktion så man använder därför deriveringsregeln för potensfunktioner.
Derive

Derivera funktion

DeriveMonom

2
Sätt in -värde
expand_more
Sedan beräknas derivatans värde genom att man sätter in -värdet i
Substitute

CalcPow

Beräkna potens

Multiply

Multiplicera faktorer

Derivatans värde är alltså i när
Metod

Skriv om och derivera potensfunktion

Rotuttryck och bråk där variabeln står i nämnaren kan ibland skrivas om på potensform. T.ex. kan skrivas om som en potens med exponenten ,
och kan skrivas som en potens med negativ exponent:
Detta kan utnyttjas för att skriva om vissa funktioner till formen så att man kan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Detta gäller exempelvis funktionen
1
Finns det något rotuttryck som kan skrivas som en potens?
expand_more
Om funktionen innehåller ett rotuttryck skriver man om det som en potens med ett bråk eller decimaltal i exponenten. Nämnaren i det här funktionsuttrycket, kan skrivas som och funktionen kan därför skrivas
2
Finns det något bråk som kan skrivas som en potens med negativ exponent?
expand_more
Om funktionen är ett bråk på formen skriver man om det som potensen . I det här fallet får man
3
Använd deriveringsregeln för potensfunktioner
expand_more
Nu kan man derivera funktionen med deriveringsregeln för potensfunktioner.
Derive

Derivera funktion

DeriveMonom

När man har kommit så här långt är man egentligen färdig med deriveringen, så det sista steget i metoden behöver inte alltid användas.
4
Skriv eventuellt derivatan på samma form som ursprungsfunktionen
expand_more
I vissa fall kan det vara lämpligt att skriva om derivatan så att den står på liknande form som Det kan till exempel vara om det krävs i uppgiften eller om det blir enklare att räkna vidare med. För det här exemplet skulle man i så fall skriva om derivatan så den står på bråkform och innehåller ett rotuttryck.
NegExponentToFrac

WriteAsFrac

Skriv i bråkform

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

ProdInExponent

PowToSqrtSL

MultFrac

Multiplicera bråk

I det här fallet kan man alltså skriva derivatan till funktionen som
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Deriveringsregler för potensfunktioner
Övningar

Derivera funktionen.

För att derivera en potensfunktion multiplicerar vi funktionsuttrycket, dvs. x^2, med exponenten samt minskar exponenten med 1.


Vi gör på samma sätt igen, dvs. multiplicerar funktionsuttrycket, x^5, med exponenten samt minskar exponenten med 1.


Vi fortsätter på samma sätt.


Vi deriverar på samma sätt ännu en gång.


Vi gör samma sak igen.


Derivera funktionen.

Vi använder deriveringsregeln för potensfunktioner. Det betyder att 4:an placeras framför x och att exponenten minskas med 1.


Vi gör på samma sätt. 105 flyttas ner och exponenten minskas med 1.


Derivatan av x är lika med 1 enligt deriveringsregeln för potensfunktioner.


Derivera funktionen.

Vi använder deriveringsregeln för potensfunktioner. ´


Vi fortsätter på samma sätt och deriverar med deriveringsregeln för potensfunktioner.


Inget nytt. Vi fortsätter som vanligt.


För funktionen bestäm derivatan i följande -värde.

För att bestämma derivatan måste vi först derivera funktionen.


Genom att sätta in x=2 i derivatan bestämmer vi derivatans värde i punkten med denna x-koordinat.

Derivatan i punkten där x=2 är alltså 32.


Samma sak igen. Vi har redan deriverat funktionen så vi sätter helt enkelt in x=- 100 i derivatan.


Derivatan är - 4 000 000 i punkten där x=- 100.

Bestäm för funktionen.

Vi börjar med att derivera g(x) med deriveringsregeln för potensfunktioner för att bestämma g'(x).


Nu kan vi sätta in x = 3 för att bestämma derivatan för det x-värdet.



Vi gör på samma sätt för den här funktionen och börjar med att bestämma g'(x) med hjälp av deriveringsregeln för potensfunktioner.


Vi sätter sedan in x=3 och beräknar g'(3).


Vi gör på samma sätt ännu en gång. Först deriverar vi funktionen g(x) = x^(11).


Till sist sätter vi in x=3.


Bestäm för funktionen.

Vi deriverar funktionen med deriveringsregeln för potensfunktioner och sätter sedan in x=3.

Nu sätter vi in x=3 och beräknar.

f'(3) är alltså lika med 108.


Vi gör på samma sätt och börjar med att derivera och sätter sedan in y=3.


inget nytt. Vi fortsätter på samma sätt.

Innan vi sätter in z=3 skriver vi om uttrycket till ett bråk för att det ska bli enklare att beräkna.


Derivera funktionen.

Vi använder deriveringsregeln för potensfunktioner, dvs. vi multiplicerar funktionsuttrycket med exponenten samt minskar exponenten med 1.


Vi använder samma deriveringsregel även här.


Vi gör på samma sätt igen.


Deriveringsregler för potensfunktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Laddar innehåll