← Deriveringsregler för potensfunktioner

Metod

Skriv om och derivera potensfunktion

Rotuttryck och bråk där variabeln står i nämnaren kan ibland skrivas om på potensform. T.ex. kan

x

skrivas om som en potens med exponenten

0.5

x = x^{0.5},

och

\frac{1}{x ^{2}}

kan skrivas som en potens med negativ exponent:

\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2} .

Detta kan utnyttjas för att skriva om vissa funktioner till formen

f (x) = x^{n}

så att man kan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Detta gäller exempelvis funktionen

f (x) = \frac{1}{x} .

Finns det något rotuttryck som kan skrivas som en potens?

Om funktionen innehåller ett rotuttryck skriver man om det som en potens med ett bråk eller decimaltal i exponenten. Nämnaren i det här funktionsuttrycket,

x,

kan skrivas som

x^{0.5},

och funktionen kan därför skrivas

f (x) = \frac{1}{x ^{0.5}} .

Finns det något bråk som kan skrivas som en potens med negativ exponent?

Om funktionen är ett bråk på formen

\frac{1}{x ^{n}}

skriver man om det som potensen

x^{- n}

. I det här fallet får man

f (x) = \frac{1}{x ^{0.5}} = x^{- 0.5} .

Använd deriveringsregeln för potensfunktioner

Nu kan man derivera funktionen med deriveringsregeln för potensfunktioner.

f (x) = x^{- 0.5}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (x^{- 0.5})

DeriveMonom

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = - 0.5 x^{- 1.5}

När man har kommit så här långt är man egentligen färdig med deriveringen, så det sista steget i metoden behöver inte alltid användas.

Skriv eventuellt derivatan på samma form som ursprungsfunktionen

I vissa fall kan det vara lämpligt att skriva om derivatan så att den står på liknande form som

f (x) .

Det kan till exempel vara om det krävs i uppgiften eller om det blir enklare att räkna vidare med. För det här exemplet skulle man i så fall skriva om derivatan så den står på bråkform och innehåller ett rotuttryck.

f^{'} (x) = - 0.5 x^{- 1.5}

NegExponentToFrac

$a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}$

f^{'} (x) = - 0.5 \cdot \frac{1}{x ^{1.5}}

WriteAsFrac

Skriv i bråkform

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x ^{3 / 2}}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x ^{3 \cdot 1 / 2}}

ProdInExponent

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( x ^{3} ) ^{1 / 2}}

PowToSqrtSL

$a^{1 / 2} = a$

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x ^{3}}

MultFrac

Multiplicera bråk

f^{'} (x) = - \frac{1}{2 x ^{3 / 2}}

I det här fallet kan man alltså skriva derivatan till funktionen

f (x) = \frac{1}{x}

som

f^{'} (x) = - \frac{1}{2 x ^{3 / 2}} .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}