Metod

Skriv om och derivera potensfunktion

Rotuttryck och bråk där variabeln står i nämnaren kan ibland skrivas om på potensform. T.ex. kan x\sqrt{x} skrivas om som en potens med exponenten 0.50.5, x=x0.5, \sqrt{x}=x^{0.5}, och 1x2\frac{1}{x^2} kan skrivas som en potens med negativ exponent: 1x2=x-2. \dfrac{1}{x^2}=x^{\text{-} 2}. Detta kan utnyttjas för att skriva om vissa funktioner till formen f(x)=xnf(x)=x^n så att man kan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Detta gäller exempelvis funktionen f(x)=1x. f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.

1

Finns det något rotuttryck som kan skrivas som en potens?

Om funktionen innehåller ett rotuttryck skriver man om det som en potens med ett bråk eller decimaltal i exponenten. Nämnaren i det här funktionsuttrycket, x,\sqrt{x}, kan skrivas som x0.5,x^{0.5}, och funktionen kan därför skrivas f(x)=1x0.5. f(x)=\dfrac{1}{x^{0.5}}.

2

Finns det något bråk som kan skrivas som en potens med negativ exponent?

Om funktionen är ett bråk på formen 1xn\frac{1}{x^n} skriver man om det som potensen x-nx^{\text{-} n}. I det här fallet får man f(x)=1x0.5=x-0.5. f(x)=\dfrac{1}{x^{0.5}}=x^{\text{-} 0.5}.

3

Använd deriveringsregeln för potensfunktioner
Nu kan man derivera funktionen med deriveringsregeln för potensfunktioner.
f(x)=x-0.5f(x)=x^{\text{-}0.5}
f(x)=D(x-0.5)f'(x)=D\left(x^{\text{-}0.5}\right)
f(x)=-0.5x-1.5f'(x)=\text{-}0.5 x^{\text{-}1.5}
När man har kommit så här långt är man egentligen färdig med deriveringen, så det sista steget i metoden behöver inte alltid användas.

4

Skriv eventuellt derivatan på samma form som ursprungsfunktionen
I vissa fall kan det vara lämpligt att skriva om derivatan så att den står på liknande form som f(x).f(x). Det kan till exempel vara om det krävs i uppgiften eller om det blir enklare att räkna vidare med. För det här exemplet skulle man i så fall skriva om derivatan så den står på bråkform och innehåller ett rotuttryck.
f(x)=-0.5x-1.5f'(x)=\text{-}0.5 x^{\text{-} 1.5}
f(x)=-0.51x1.5f'(x)=\text{-}0.5 \cdot \dfrac{1}{x^{1.5}}
f(x)=-121x3/2f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x^{3/2}}
f(x)=-121x31/2f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x^{3\cdot 1/2}}
f(x)=-121(x3)1/2f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\left(x^3\right)^{1/2}}
f(x)=-121x3f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^3}}
f(x)=-12x3/2f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2x^{3/2}}

I det här fallet kan man alltså skriva derivatan till funktionen f(x)=1xf(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} som f(x)=-12x3/2. f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2x^{3/2}}.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}