Andragradsekvationer och antal lösningar

Vänsterledet består av två olika faktorer som båda innehåller x. Enligt nollproduktmetoden måste minst en av dessa vara 0 för att VL ska bli 0. Det betyder att det finns två rötter.

I det här fallet är vänsterledet två likadana faktorer. Om den ena blir 0 blir även den andra 0. Det betyder att det finns en lösning, även kallad dubbelrot.

Man kan skriva om ekvationen lite för att lättre se svaret.

Det finns inget reellt tal som upphöjt till 2 blir negativt. Det går alltså inte att hitta något värde på x så att vänsterledet blir negativt, och därför saknar ekvationen reella lösningar.

Eftersom funktionsvärdet är 0 där grafen skär x-axeln kommer funktionernas nollställen vara lösningarna till ekvationerna.

h(x)=0

Funktionen h(x) motsvaras av den gröna grafen. Den skär x-axeln två gånger så h(x)=0 har två lösningar. Ena roten bör motsvara det lägsta x-värdet eftersom grafen till h(x) skär x-axeln längst till vänster av alla grafer, dvs. x_1=-4. Den andra roten är positiv, och eftersom både den blå och röda grafen skär x-axeln längre till höger än den gröna måste den andra roten motsvara det lägsta positiva x-värdet: x_3=1.

g(x)=0

Den röda grafen representerar g(x). Den skär också x-axeln två gånger så även g(x)=0 har två lösningar. Av de lösningar som är kvar måste det vara den minsta och den största: x_2=-3 och x_5=4.

f(x)=0

Grafen till f(x) är blå. Den skär x-axeln på ett ställe så f(x)=0 har en rot. Vi ser att den ligger mellan de positiva nollställena till h(x) och g(x). Lösningen till f(x)=0 är alltså x_4=2.

Vi börjar med att förenkla parentesen i vänsterledet med första kvadreringsreglen och skriver därefter om ekvationen på pq-form.

Nu löser vi ekvationen med pq-formeln.

Som vi ser har ekvationen x^2+(x+2)^2=100 två lösningar, x=-8 och x=6. När vi sedan tolkar lösningarna kommer vi att förkasta, eller bortse från, den negativa roten då den är orimlig i sammanhanget. Det finns bara en lösning på problemet, då sträckor alltid är positiva. Men själva ekvationen har fortfarande 2 lösningar, eftersom vi inte får någon dubbelrot eller några icke-reella rötter.

Om värdet på diskriminanten är lika med 0 har ekvationen endast en reell lösning. Vi utgår från uttrycket för diskriminanten och söker värden på p och q som gör att den blir 0. Vi skriver om denna ekvation så att q står ensamt i ena ledet och uttrycket som innehåller p står i det andra ledet.

Nu väljer vi vilket värde som helst på p, t.ex. p = 4. Genom att sätta in detta får vi direkt ut vad värdet på q måste vara.

Vår ekvation blir alltså x^2+4x+4=0.

För att ekvationen ska ha 2 reella rötter måste diskriminanten vara positiv. Så istället för att sätta likhet i sambandet ( p2 )^2 - q = 0 ställer vi in olikhetstecknet så att vi undersöker när vänsterledet är större än 0.

Vi väljer t.ex. p=4 igen och får då ut ett villkor för q.

Om p=4 ska alltså q vara mindre än så, t.ex. 3. Detta ger oss ekvationen x^2+4x+3=0.

Slutligen ska vi bestämma p och q då ekvationen saknar lösningar. Vi ställer då upp motsvarande olikhet fast då diskriminanten är negativ, dvs. mindre än 0.

Vi väljer t.ex. p=4 igen och får då ut ett villkor på q.

q ska alltså vara större än 4, t.ex. 5. Detta ger oss ekvationen x^2+4x+5=0.

Om funktionerna skär varandra i en punkt betyder det att de har samma funktionsvärde i den punkten, dvs. det finns ett x-värde som uppfyller f(x)=g(x). Det ger oss en ekvation.

Vi vet att funktionerna skär varandra i exakt en punkt. Det betyder att ekvationen endast har en lösning. En andragradsekvation har en lösning om diskriminanten är 0. Det ger oss en ny ekvation med c som okänd.

c är alltså - 3,5.

För att bestämma skärningspunkten ska vi lösa ekvationen f(x)=g(x). Det var den vi ställde upp i förra deluppgiften och fick x=--1/2±sqrt((-1/2)^2-(-3+c/2)). Nu sätter vi in vårt c som vi beräknade och löser ekvationen helt.

Vi får alltså en rot: x=0,5. Det är inte så konstigt att vi bara fick en lösning — vi bestämde ju c så att diskriminanten skulle bli 0, och då får man bara en rot till ekvationen. Funktionerna skär alltså varandra när x är 0,5. För att beräkna y-koordinaten sätter vi in x-värdet i någon av funktionerna.

Skärningspunkten är alltså (0,5,-1,75). Kontrollera gärna med grafräknare att detta stämmer.

Figuren är en liksidig triangel, vilket innebär att den har tre lika långa sidor och tre lika stora vinklar. Om triangelns omkrets är 24m måste varje sida vara 243=8m. För att bestämma triangelns area behöver vi höjden, som går från översta hörnet och delar basen på mitten.

Med höjden inritad får vi två rätvinkliga trianglar med hypotenusan 8 och basen 4. Vi bestämmer höjden med hjälp av Pythagoras sats.

Nu känner vi till triangelns höjd och kan därmed beräkna arean, som är basen multiplicerad med höjden dividerat med två.

Arean av triangeln är ca 28 m^2.

Vi ska fördela 24m snöre mellan två kvadrater, så om det krävs xm för att göra den ena kvadraten kommer det att finnas 24 - xm över till den andra. Kvadrater har fyra lika långa sidor, vilket ger att sidlängderna blir x4 och 24-x4.

Arean för en kvadrat ges av dess sida upphöjt till två. Vi kvadrerar alltså sidorna och och adderar dem för att skapa ett uttryck för kvadraternas totala area. Detta kan ses som en funktion som beskriver kvadraternas area beroende på mängden snöre som används till en av dem, x. A=(24-x/4)^2+(x/4)^2 Frågan är alltså om A kan bli 17. Vi likställer därför funktionen med 17 och försöker lösa ut x ur den ekvation vi då får.

Om A=17 har en lösning får inte diskriminanten, alltså det som står under rottecknet i pq-formeln, vara negativ. Vi sätter in p och q i diskriminanten och beräknar dess värde.

Vi har en negativ diskriminant, vilket betyder att A=17 inte har några lösningar. Det inte finns alltså inte någon möjlig fördelning av snöret så kvadraterna tillsammans har en area på 17m^2.