Andragradsekvationer och antal lösningar

Vi använder pq-formeln för att ta fram uttryck för ekvationens rötter.

Ekvationen har exakt en rot om diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet, är 0. Det ger oss en andragradsekvation med variabeln t.

I vänsterledet finns två termer som båda innehåller t. Det betyder att vi kan faktorisera och använda nollproduktmetoden.

Ekvationen har endast en rot om t=0 eller t=4.

Om det bara finns en lösning till andragradsekvationen måste denna lösning vara en dubbelrot. Det betyder att ekvationen kan skrivas på formen (x-a)^2=0, där x=a är dubbelroten. Vi utvecklar vänsterledet med andra kvadreringsregeln: x^2-2ax+a^2=0. Jämför detta med den givna ekvationen x^2+tx+t=0. Koefficienten framför x och konstanten har samma värde, t. Detta måste även gälla för den här ekvationen. I den är koefficienten t=- 2a och konstanten är t=a^2. Dessa är lika, vilket ger en ekvation.

Vi får två värden på a. Vi använder dessa för att hitta motsvarande värden på t. Vi vet att t=-2a och t=a^2 och vi kan använda någon av dem för att beräkna t. Vi väljer t=- 2a, men man hade lika gärna kunnat välja den andra. a=0 ⇒ &t=- 2* 0=0 a=-2 ⇒ &t=-2(-2)=4 Ekvationen har alltså endast en rot då t=0 eller t=4. Det är samma svar som vi fick i huvudlösningen.

Två grafer som skär inte skär varandra delar de ingen punkt. Det betyder att om man sätter deras funktionsuttryck lika kommer ekvationen inte att ha någon lösning. Vi får x^2+3,7=2x+m. Detta är en andragradsekvation så vi börjar med att skriva om den till pq-form.

Vi behöver inte lösa ekvationen, utan vi är endast intresserade för vilka m som den inte går att lösa. Antalet lösningar till en andragradsekvation avgörs av vilket tecknet på diskriminanten dvs. det som står under rottecknet i pq-formeln: (p/2)^2-q. Eftersom vår andragradsekvation är skriven på pq-form kan vi läsa av p- och q-värdena direkt: p=-2 och q=3,7-m.

För att ekvationen inte ska ha några lösningar ska diskriminanten vara mindre än 0. Det betyder att m inte får vara större än 2,7. Det kan vi skriva som m< 2,7

I punkten (0,- 2) är x=0 så den måste ligga på y-axeln. Eftersom funktionens konstant är - 2 vet vi att den skär y-axeln i (0,- 2) vilket innebär att påståendet stämmer. Vi kan även visa detta algebraiskt genom att sätta in x=0 i funktionen och beräkna.

När x är 0 är funktionsvärdet -2. Det betyder att grafen går genom punkten (0,-2), oavsett värde på b.

För att bestämma en funktions nollställen likställer man den med 0 och löser ut x. Vi ska alltså lösa ekvationen - 0,5x^2+bx-2=0. Vi skriver om den så att den står på pq-form.

Eftersom andragradsekvationen står lika med 0 kan vi identifiera dess p och q-värde som p=- 2b och q=4. En andragradsekvation kan ha 0, 1 eller 2 lösningar och om den har 1 lösning ska diskriminanten i pq-formeln vara lika med 0, dvs. (p/2)^2-q=0. Vi sätter in p- och q-värdena.

Det finns två möjliga värden på b som endast ger ett nollställe: b=2 och b=- 2.

Vi likställer funktionen med 0 och skriver om den på pq-form så att vi kan identifiera dess p- och q-värde.

Vi ser att p=- 2b och q=2c i ekvationen. Vi sätter in detta diskriminanten, sätter den lika med 0 och löser ut b.

Funktionen g får alltså ett nollställe om b antingen är lika med - sqrt(2c) eller sqrt(2c). Vi visar även hur man löser ut c.

För att funktionen ska ha ett nollställe gäller alltså b=±sqrt(2c) och c=b^2/2. Man får rätt oavsett vilket samband man svarar med.

Låt oss repetera hur vi kan hitta lösningarna till en ekvation av formen x^2=d genom att använda kvadratrötter. För detta kan vi ta kvadratroten av varje sida av ekvationen för att isolera x. Lägg märke till att det finns tre möjliga fall beroende på värdet av d.

• Fall d > 0. I detta fall, eftersom sqrt(d)≠ - sqrt(d), har ekvationen x^2=d två reella lösningar, x = ± sqrt(d).
• Fall d=0. I detta fall, eftersom sqrt(0)=- sqrt(0), har ekvationen x^2=d en reell lösning, x = 0.
• Fall d < 0. I detta fall, eftersom sqrt(d) inte är ett reellt tal, har ekvationen x^2=d inga reella lösningar.

Med detta i åtanke kan vi fullborda övningens mening.

Ekvationen x^2=d har två reella lösningar när d > 0.

Låt oss börja med att granska hur vi kan hitta lösningarna till en ekvation av formen x^2=d genom att använda kvadratrötter. För detta kan vi ta kvadratroten av varje sida av ekvationen för att isolera x. Observera att det finns tre möjliga fall beroende på värdet av d.

• Fall d > 0. I detta fall, eftersom sqrt(d)≠ - sqrt(d), har ekvationen x^2=d två reella lösningar, x = ± sqrt(d).
• Fall d=0. I detta fall, eftersom sqrt(0)=- sqrt(0), har ekvationen x^2=d en reell lösning, x = 0.
• Fall d < 0. I detta fall, eftersom sqrt(d) inte är ett reellt tal, har ekvationen x^2=d inga reella lösningar.

Låt oss först betrakta vad som händer när c=0. ax^2+0=0 ⇔ x=0 Om c=0, har den givna ekvationen bara en lösning. Därför kommer vi att betrakta värden på c som skiljer sig från 0. Låt oss skriva om ekvationen ax^2 + c = 0 i formen x^2 =d. Detta gör att vi kan hitta de villkor som a och c måste uppfylla för att ekvationen ska ha två reella lösningar.

Observera att vi dividerade med a och därför måste det vara a≠ 0. Av de skäl som redan nämnts ovan har ekvationen x^2 = - ca två lösningar när - ca > 0. Vi kan skriva om detta villkor i en enklare form. - c/a > 0 ⇔ c/a < 0 Därför har den ursprungliga ekvationen två lösningar när ca är negativ. För detta måste a och b ha olika tecken.

Ekvationen ax^2 +c =0 har två reella lösningar när a och c är reella tal som inte är noll med motsatta tecken.

I del A, för värden på a som inte är noll, fann vi att vi kunde skriva om ekvationen som ges i övningen enligt nedan. ax^2 +c =0 ⇔ x^2 = - c/a Detta är i formen x^2=d, som har en reell lösning när d =0. Därför har ax^2 +c =0, bara en reell lösning om - ca=0. Observera att detta händer när c=0 och a är vilket reellt tal som helst som skiljer sig från 0.

Ekvationen ax^2 +c =0 har en reell lösning när c=0 och a är vilket reellt tal som helst som inte är noll.

I del A, för värden på a som inte är noll, fann vi att vi kunde skriva om ekvationen som ges i övningen enligt nedan. ax^2 +c =0 ⇔ x^2 = - c/a Kom ihåg att i del B såg vi att om c=0, har ekvationen bara en lösning. Följaktligen kommer vi bara att betrakta värden på c som inte är noll. Ovanstående ekvation är i formen x^2=d, som inte har några reella lösningar när d < 0. Därför har ax^2 +c =0 inga reella lösningar om - ca < 0. Vi kan skriva om detta villkor i en enklare form. - c/a < 0 ⇔ c/a > 0 Därför behöver vi att uttrycket ca ska vara positivt, vilket händer om a och c har samma tecken.

Ekvationen ax^2 +c =0 har inga reella lösningar när a och c är reella tal som inte är noll med samma tecken.

Två funktioner skär varandra om deras grafer har gemensamma punkter. Detta händer när båda funktionerna har samma x- och y-värden. Med tanke på de givna funktionerna kan vi använda den transitiva egenskapen för likhet för att skapa en ekvation i termer av x. y=x^2 och y=9 ⇓ x^2=9 För att lösa denna ekvation kommer vi att isolera x-variabeln genom att ta kvadratrötter på båda sidor.

Observera att vi har två lösningar för x-variabeln, x= - 3 och x= 3. Detta innebär att funktionerna kommer att skära varandra vid punkter med dessa x-koordinater. Eftersom en av de givna funktionerna är y= 9, vet vi att y-koordinaten för dessa punkter är 9.

Funktionerna y=x^2 och y=9, skär varandra i punkterna ( - 3, 9) och ( 3, 9).