Andragradsekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}


En andragradsekvation är en ekvation där det finns en x2x^2-term men inga termer av högre grad.

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

Villkor: a0a \neq 0

Dessa har noll, en eller två lösningar och det finns flera lösningsmetoder för att bestämma dem. Exempelvis finns det en för att lösa enkla andragradsekvationer som x2=144x^2=144 och för mer komplicerade ekvationer kan man använda nollproduktmetoden, pqpq-formeln eller kvadratkomplettering.
Metod

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller x2x^2-termer och konstanttermer, t.ex. 5x2500=0, 5x^2-500=0, går den att lösa med hjälp av kvadratrötter.

1

Lös ut x2x^2
Börja med att lösa ut x2x^2 så att det står ensamt.
5x2500=05x^2-500=0
5x2=5005x^2=500
x2=100x^2=100

2

Dra kvadratroten ur båda led

När x2x^2 står ensamt drar man kvadratroten ur båda led. Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv: x2=100x=±100.\begin{aligned} x^2=100 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm \sqrt{100}. \end{aligned} Kvadratroten ur 100100 är 10,10, så ekvationens lösningar är x=-10x=\text{-}10 och x=10.x=10.

Metod

Nollproduktmetoden

Om en ekvation är skriven som en produkt och är lika med 00 kan den lösas med hjälp av nollproduktmetoden. T.ex. kan ekvationen (3x9)(x+5)=0 (3x-9)(x+5)=0 lösas med denna metod, vilken motiveras av att minst en faktor måste vara 00 för att produkten ska bli 0.0.

1

Likställ varje faktor med 00

Genom att sätta varje faktor lika med 00 får man två nya, separata ekvationer: 3x9=0ochx+5=0. 3x-9=0 \quad \text{och} \quad x+5=0.

2

Lös ekvationerna

Man löser nu ekvationerna för att bestämma det eller de xx-värden som gör att någon av faktorerna blir 0,0, eftersom dessa värden även löser ursprungsekvationen. 3x9=0x=3x+5=0x=-5\begin{aligned} 3x-9=0\quad&\Leftrightarrow\quad x=3\\ x+5=0\quad&\Leftrightarrow\quad x=\text{-}5 \end{aligned}

Lösningarna är alltså x=3x=3 och x=-5.x=\text{-}5.

Om ekvationen inte är en produkt måste man faktorisera innan det går att använda nollproduktmetoden.
Uppgift

Lös ekvationen 2x2+7x=0. 2x^2+7x=0.

Lösning
Eftersom båda termerna innehåller ett xx kan vi bryta ut det.
2x2+7x=02x^2+7x=0
Dela upp i faktorer
x2x+x7=0x\cdot 2x+x\cdot7=0
x(2x+7)=0x(2x+7)=0
För att högerledet ska bli 00 måste antingen xx eller 2x+72x + 7 vara lika med noll.
x(2x+7)=0x(2x+7)=0
x=0(I)2x+7=0(II)\begin{array}{lc}x=0 & \text{(I)}\\ 2x+7=0 & \text{(II)}\end{array}
x=02x=-7\begin{array}{l}x=0 \\ 2x=\text{-}7 \end{array}
x1=0x2=-3.5\begin{array}{l}x_1=0 \\ x_2=\text{-}3.5 \end{array}
Ekvationens lösningar är alltså x=0x=0 och x=-3.5.x=\text{-}3.5.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av följande är andragradsekvationer? A: x=72B: x+8=15C: 10x28+2xD: x2=25E: y=x2+3F: x2+2x30=0\begin{aligned} \mathbf{A:} \ &x=7^2\\ \mathbf{B:} \ &x+8=15\\ \mathbf{C:} \ &10x^2-8+2x\\ \mathbf{D:} \ &x^2=25\\ \mathbf{E:} \ &y=x^2+3\\ \mathbf{F:} \ &x^2+2x-30=0 \end{aligned}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två av alternativen A – E visar en ekvation. Vilka två?

A. a2+b2\quad a^2+b^2
B. x2+6x5=2\quad x^2+6x-5=2
C. x22x9\quad x^2-2x-9
D. 20+50x\quad 20+50x
E. 3x+5x10=16\quad 3x+5x-10=16

Nationella provet VT15 2a
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna utan räknare.


a

x2=9x^2=9

b

2x2=322x^2=32

c

x2=14x^2=\dfrac{1}{4}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer.


a

3x2+9=93x^2+9=9

b

x2+x2=200x^2+x^2=200

c

2x22=1262x^2-2=126

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös andragradsekvationerna utan räknare och svara exakt.


a

3x2=753x^2=75

b

4x216=04x^2-16=0

c

x264=2\dfrac{x^2}{6}-4=2

d

x2=152x2x^2=15-2x^2

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös andragradsekvationen 3.4x2=6.53.4x^2=6.5 grafiskt med din räknare. Avrunda svaret till 11 decimal.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med nollproduktmetoden.


a

(x+1)(x3)=0(x+1)(x-3)=0

b

(x6)(x+5)=0(x-6)(x+5)=0

c

(x+3)(x+3)=0(x+3)(x+3)=0

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös andragradsekvationerna med nollproduktmetoden.


a

(x+4)(x5)=0(x+4)(x-5)=0

b

(x17)(25+x)=0(x-17)(25+x)=0

c

(9+x)(18+x)=0(9+x)(18+x)=0

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös andragradsekvationerna.


a

x(x+10)=0x(x+10)=0

b

x(9+10x)=0x(9+10x)=0

c

(2x+14)(5x25)=0(2x+14)(5x-25)=0

d

(2x5)(7+7x)=0(2x-5)(7+7x)=0

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Ta fram ett uttryck för arean av rektangeln.

Exercise1099 1.svg
b

Bestäm sidlängderna om arean är 5454 ae.

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande andragradsekvationer och svara exakt.


a

x2=81x^2=81

b

2x23=472x^2-3=47

c

x2=90x^2=90

1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Schrödinger är kattforskare och har ägnat sitt liv åt att undersöka hur långt olika kattraser kan hoppa. Hon har undersökt rasen gullekatts maximala längdhopp och är nästan klar, hon ska bara lösa andragradsekvationen (x+1)(x2.3)=0(x+1)(x-2.3)=0 där xx är hopplängden i meter. Antag att Schrödinger har rätt och beräkna hur långt en gullekatt kan hoppa.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara exakt.


a

4x240=04x^2-40=0

b

9x2=499x^2=\dfrac{4}{9}

c

x3=2x3,x-3=\dfrac{2}{x}-3, x0\quad \quad x \neq 0

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara exakt.


a

(2x+3)(8x9)=0(2x+3)(8x-9)=0

b

(5x4)(3x1)=0(5x-4)(3x-1)=0

c

(5x+8)(92x)(6+x)=0(5x+8)(9-2x)(6+x)=0

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

2x22x=02x^2-2x=0

b

3x2+2x=03x^2+2x=0

c

8x2=4x8x^2=4x

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rektangel har mått enligt figuren nedan.

Rektangel 409 1.svg

Bestäm rektangelns bas och höjd om


a

omkretsen är 3838 cm.

b

arean är 66 cm2^2.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lottas mamma är matematiker och gillar att göra saker extra kluriga. När någon frågar henne hur gammal Lotta är säger hon att om man tar tre gånger kvadraten av Lottas ålder så får man ett tal som är 12 högre än hennes, mammans, ålder.


a

Om Lottas ålder är xx, ställ upp ett uttryck för mammans ålder.

b

Hur gammal är Lotta om mamman är 36 år?

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

En cirkel har arean 3030 cm2.^2. Bestäm dess radie. Avrunda till två decimaler.

b

I en rektangel är den ena sidan tre gånger längre än den andra. Arean är 363363 cm2.^2. Hur lång är den längsta sidan?

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ge ett exempel på en andragradsekvation som har lösningen


a

x=2x=2 och x=9.x=9.

b

x=-12x=\text{-}12 och x=8.x=8.

c

x=11x=11 och x=0.x=0.

d

x=5.x=5.

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen ff gäller att f(x)=x2.f(x)=x^2. Bestäm alla värden på aa så att f(2a)=a.f(2a)=a.

Nationella provet HT13 2a
2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös andragradsekvationerna.

a

(x3)2=16(x-3)^2=16

b

(x+6)2=9(x+6)^2=9

c

(2x4)2=64(2x-4)^2=64

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna för x0.x\neq0. Svara exakt.


a

x3=5x\dfrac{x}{3}=\dfrac{5}{x}

b

3x68x=0\dfrac{3x}{6}-\dfrac{8}{x}=0

c

52x13x=x6\dfrac{5}{2x}-\dfrac{1}{3x}=\dfrac{x}{6}

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Antal besökare på en hemsida ökar procentuellt lika mycket varje år, två år i rad. Bestäm den årliga ökningen i procent då den totala ökningen är 37%37 \, \% under tvåårsperioden.

Nationella provet VT12 1b/1c
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rektangels bas är 30 % längre än dess höjd.

Exercise661 1.svg

Om höjden ökar med 20 % och basen minskar med 10 % så ökar arean med 8.23 areaenheter. Bestäm den ursprungliga rektangelns bas och höjd.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

x34x2=0x^3-4x^2=0

b

4x4=x24x^4=x^2

c

x1000x999=0x^{1000}-x^{999}=0

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ekvationen 2x2ax+b=02x^2-ax+b=0 har lösningarna x=-3x=\text{-}3 och x=4.x=4. Vad är konstanterna aa och b?b?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

x(x4)+2(x4)=0x(x-4)+2(x-4)=0

b

3(5+x)=8x(5+x)3(5+x)=8x(5+x)

c

8(83x)=3x(83x)8(8-3x)=3x(8-3x)

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Zlatan skjuter en fotboll i en båge över planen rakt in i motståndarnas mål. Bollens bana beskrivs av funktionen h(t)=at2+bt h(t)=at^2+bt där h(t)h(t) är höjden över marken tt sekunder efter skottögonblicket och aa och bb är konstanter. Hur lång tid tar det för bollen att nå marken inne i målburen?

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Följande bråk beskriver samma tal: 18+b2boch32b3b. \dfrac{18+b}{2b} \quad \text{och} \quad \dfrac{32-b}{3b}. Bestäm talet.

3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rätvinklig triangels hörn har koordinaterna (-2,0),(\text{-}2, 0), (6,0)(6, 0) och (0,a),(0, a), där a>0.a>0. Bestäm det exakta värdet på a.a.

Nationella provet HT13 2a
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}