Andragradsekvationer

En andragradsekvation är en ekvation där det finns en $x^2$ -term men inga termer av högre grad.

ax^2+bx+c=0

Villkor: $a \neq 0$

Dessa har noll, en eller två lösningar och det finns flera lösningsmetoder för att bestämma dem. Exempelvis finns det en för att lösa enkla andragradsekvationer som

x^2=144

och för mer komplicerade ekvationer kan man använda nollproduktmetoden,

pq

-formeln eller kvadratkomplettering.

Metod

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller

x^2

-termer och konstanttermer, t.ex.

5x^2-500=0,

går den att lösa med hjälp av kvadratrötter.

1

Lös ut

x^2

Börja med att lösa ut

x^2

så att det står ensamt.

5x^2-500=0

\text{VL}+500=\text{HL}+500

5x^2=500

\left.\text{VL}\middle/5\right.=\left.\text{HL}\middle/5\right.

x^2=100

2

Dra kvadratroten ur båda led

När $x^2$ står ensamt drar man kvadratroten ur båda led. Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv: $\begin{aligned} x^2=100 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm \sqrt{100}. \end{aligned}$ Kvadratroten ur $100$ är $10,$ så ekvationens lösningar är $x=\text{-}10$ och $x=10.$

Metod

Nollproduktmetoden

Om en ekvation är skriven som en produkt och är lika med

0

kan den lösas med hjälp av nollproduktmetoden. T.ex. kan ekvationen

(3x-9)(x+5)=0

lösas med denna metod, vilken motiveras av att minst en faktor måste vara

0

för att produkten ska bli

0.

1

Likställ varje faktor med

0

Genom att sätta varje faktor lika med $0$ får man två nya, separata ekvationer: $3x-9=0 \quad \text{och} \quad x+5=0.$

2

Lös ekvationerna

Man löser nu ekvationerna för att bestämma det eller de $x$ -värden som gör att någon av faktorerna blir $0,$ eftersom dessa värden även löser ursprungsekvationen. $\begin{aligned} 3x-9=0\quad&\Leftrightarrow\quad x=3\\ x+5=0\quad&\Leftrightarrow\quad x=\text{-}5 \end{aligned}$

Lösningarna är alltså $x=3$ och $x=\text{-}5.$

Om ekvationen inte är en produkt måste man faktorisera innan det går att använda nollproduktmetoden.

Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden

Uppgift

Lös ekvationen $2x^2+7x=0.$

Lösning

Eftersom båda termerna innehåller ett

x

kan vi bryta ut det.

2x^2+7x=0

Dela upp i faktorer

x\cdot 2x+x\cdot7=0

Bryt ut

x

x(2x+7)=0

För att högerledet ska bli

0

måste antingen

x

eller

2x + 7

vara lika med noll.

x(2x+7)=0

Använd nollproduktmetoden

\begin{array}{lc}x=0 & \text{(I)}\\ 2x+7=0 & \text{(II)}\end{array}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\text{VL}-7=\text{HL}-7

\begin{array}{l}x=0 \\ 2x=\text{-}7 \end{array}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\left.\text{VL}\middle/2\right.=\left.\text{HL}\middle/2\right.

\begin{array}{l}x_1=0 \\ x_2=\text{-}3.5 \end{array}

Ekvationens lösningar är alltså

x=0

och

x=\text{-}3.5.

Visa lösning

Andragradsekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Lösa enkla andragradsekvationer

1

2

Nollproduktmetoden

1

2

Exempel

Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Icke-linjära ekvationer

1

2

1

2

Exempel

Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}