3. Andragradsekvationer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
3.
Andragradsekvationer
Denna lektion fokuserar på att lösa andragradsekvationer och bestämma reella lösningar och rötter. Andragradsekvationer är ekvationer som innehåller en x^2-term men inga termer av högre grad. Dessa ekvationer kan ha noll, en eller två lösningar, och det finns flera metoder för att bestämma dem. För enkla andragradsekvationer finns det en specifik metod, medan mer komplicerade ekvationer kan lösas med hjälp av nollproduktmetoden, kvadratkomplettering eller pq-formeln. Lektionenen ger också en inblick i hur man löser ekvationer som endast innehåller x-termer och konstanttermer med hjälp av kvadratrötter. Genom att förstå dessa metoder kan du effektivt lösa andragradsekvationer i olika sammanhang.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 30 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Andragradsekvationer
Sida av 7
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Andragradsekvation
- Lösa enkla andragradsekvationer
- Nollproduktmetoden
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Identifiera ekvationer med reella lösningar
Tänk på tre andragradsekvationer. Vilka av ekvationerna har lösningar som är reella tal?
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Andragradsekvation
En andragradsekvation är en ekvation där det finns en x^2-term men inga termer av högre grad.
ax^2+bx+c=0
Villkor: a ≠ 0
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Lösa enkla andragradsekvationer
När en andragradsekvation endast innehåller x^2-termer och konstanttermer, t.ex. 5x^2-500=0, går den att lösa med hjälp av kvadratrötter. Denna metod kallas också för kvadratrotsmetoden.
1
Lös ut x^2
expand_more 2
Dra kvadratroten ur båda led
expand_more När x^2 står ensamt drar man kvadratroten ur båda led.
x^2 = 100 ⇒ sqrt(x^2) = sqrt(100)
Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv:
sqrt(x^2) = sqrt(100) ⇔ x= ± sqrt(100).
Kvadratroten ur 100 är 10, så ekvationens lösningar är x=-10 och x=10.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Lösa enkla andragradsekvationer
Lös följande enkla andragradsekvationer genom att ta kvadratrötter. Om det behövs, avrunda lösningarna till två decimaler.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Nollproduktmetoden
Om en ekvation är skriven som en produkt och är lika med 0 kan den lösas med hjälp av nollproduktmetoden. T.ex. kan ekvationen (3x-9)(x+5)=0 lösas med denna metod, vilken motiveras av att minst en faktor måste vara 0 för att produkten ska bli 0.
1
Likställ varje faktor med 0
expand_more Genom att sätta varje faktor lika med 0 får man två nya, separata ekvationer: 3x-9=0 och x+5=0.
2
Lös ekvationerna
expand_more Man löser nu ekvationerna för att bestämma det eller de x-värden som gör att någon av faktorerna blir 0, eftersom dessa värden även löser ursprungsekvationen.
3x-9=0 &⇔ x=3 x+5=0 &⇔ x=-5
Lösningarna är alltså x=3 och x=-5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden
Lös ekvationen 2x^2+7x=0.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","-3,5"]}}
Ledtråd
Faktorisera ekvationens vänstra sida. Sätt sedan varje faktor lika med noll och lös för variabeln med hjälp av nollproduktmetoden.
Lösning
Eftersom båda termerna innehåller ett x kan vi bryta ut det.
För att högerledet ska bli 0 måste antingen x eller 2x + 7 vara lika med noll.
x(2x+7)=0
ZeroProdProp
Använd nollproduktmetoden
lcx=0 & (I) 2x+7=0 & (II)
SubEqn
(II): VL-7=HL-7
lx=0 2x=-7
DivEqn
(II): .VL /2.=.HL /2.
lx_1=0 x_2=-3,5
Ekvationens lösningar är alltså x=0 och x=-3,5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Andragradsekvationer
Uppgifter
Vilka av följande är andragradsekvationer? A: & x=7^2 B: & x+8=15 C: & 10x^2-8+2x D: & x^2=25 E: & y=x^2+3 F: & x^2+2x-30=0
{"type":"multichoice","form":{"alts":["A","B","C","D","E","F"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[3,5]}
security
report
code
security
report
code
En andragradsekvation kan skrivas på formen ax^2+bx+c=0, dvs. den innehåller en obekant, minst en x^2-term samt ett likhetstecken. Detta innebär att D: x^2=25 och F: x^2+2x-30=0 är andragradsekvationer. y=x^2+3 har två obekanta, x och y, och är därför en andragradsfunktion. I den första ekvationen är det inte en variabel i kvadrat utan talet 7 har kvadrerats vilket är ett annat sätt att skriva 49. 10x^2-8+2x är ett algebraiskt uttryck eftersom det saknar likhetstecken.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Två av alternativen A – E visar en ekvation. Vilka två?
A& a^2+b^2
B& x^2+6x-5=2
C& x^2-2x-9
D& 20+50x
E& 3x+5x-10=16
Nationella provet VT15 2a
{"type":"multichoice","form":{"alts":["A","B","C","D","E"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[1,4]}
security
report
code
security
report
code
En ekvation är en likhet mellan två uttryck. Den måste alltså innehålla ett likhetstecken och det är bara två av alternativen som gör det. B och E är alltså ekvationer.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["3","-3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["4","-4"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0,5","-0,5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser ekvationen genom att dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte den negativa lösningen.
Här måste vi först dela båda led med 2 innan vi drar kvadratroten ur dem.
Vi fortsätter på samma sätt och drar kvadratroten ur båda led.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["10","-10"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["8","-8"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att få 3x^2 ensamt genom att subtrahera båda led med 9. Därefter kan vi isolera x^2 genom att dela båda led med 3. Slutligen drar vi roten ur för att lösa ut x.
Alltså löser x=0 ekvationen. Observera att x=-0 och x=+0 är samma tal så det finns bara en lösning: x=0.
I vänsterledet har vi två identiska termer, dvs. x^2. Detta innebär att summan kan skrivas om som produkten 2x^2. Genom att dela båda led med 2 får vi x^2 ensamt och kan dra kvadratroten ur båda led.
Både x=-10 och x=10 löser ekvationen.
Vi börjar med att få x^2 ensamt, och avslutar med att dra kvadratroten ur.
Både x=-8 och x=8 löser ekvationen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["5","-5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["2","-2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["6","-6"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\sqrt{5}","-\\sqrt{5}"]}}
security
report
code
security
report
code
Börja med att dividera båda led med 3 enligt balansmetoden för att få x^2 ensamt. Glöm inte att vi får två lösningar.
Lösningarna är alltså x=5 och x= -5.
Addera först 16 till båda led för att få x^2-termen ensam.
Börja med att flytta över 4:an, därefter kan båda led multipliceras med 6 för att få loss x^2.
Här måste vi först samla alla x^2-termen på samma sida.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Lös andragradsekvationen 3,4x^2=6,5 grafiskt med din räknare. Avrunda svaret till 1 decimal.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["1,4","-1,4"]}}
security
report
code
security
report
code
För att lösa ekvationen grafiskt ritar vi uttrycket i vänster- och högerled som separata funktioner i samma koordinatsystem, dvs. y=3,4x^2 och y=6,5.
Skriv in funktioner i räknaren
För att göra en grafisk lösning med räknaren börjar vi med att trycka på knappen Y= och skriver in funktionerna vid Y_1 och Y_2. För att ange x trycker vi på knappen X,T,θ,n, och upphöjt till två kan skrivas genom att trycka på knappen x^2.
Rita funktionerna
För att rita funktionerna trycker vi på knappen GRAPH. Vi ser att graferna skär varandra på två ställen, dvs. ekvationen kommer att ha två lösningar.
Hitta skärningspunkterna
Vi kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkterna mellan de två utritade graferna. Eventuellt måste vi justera inställningarna för koordinatsystemet. Verktyget som gör detta hittas genom att först trycka på CALC (2nd + TRACE) och sedan välja intersect i listan.
När vi har valt intersect visas graferna igen och genom att trycka på ENTER två gånger väljer vi graferna som vi ska bestämma skärningspunkten mellan. Efter det kommer räknaren att skriva ut Guess?
. Vi ställer markören i närheten av ena skärningspunkten och trycker ENTER för att beräkna skärningspunkten för just denna.
För att hitta den andra skärningspunkten trycker vi återigen på CALC (2nd + TRACE) igen och gör om proceduren. Denna gång ställer vi dock markören närmare den andra skärningspunkten vilket talar om för räknaren att det nu är denna skärningspunkt som ska beräknas.
Lösningarna till ekvationen är alltså x ≈ ± 1,4.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1","3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-5","6"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-3"]}}
security
report
code
security
report
code
Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med noll måste minst en av faktorerna vara lika med noll. Vi delar upp ekvationen i två, där vi undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli noll.
Ekvationens lösningar är alltså x=-1 och x=3.
Vi gör på samma sätt här, och får två lösningar.
Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden. Men vi lägger märke till att vi då får två likadana ekvationer: x+3=0. Denna ekvation har lösningen x=-3. Den andra ekvationen kommer få samma lösning eftersom den är likadan, vilket betyder att x=-3 är det enda värdet på x som löser andragradsekvationen. Detta kallas för en dubbelrot.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-4","5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["17","-25"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-9","-18"]}}
security
report
code
security
report
code
Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med 0 måste minst en av faktorerna vara lika med 0. Vi delar upp ekvationen i två stycken, och undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli 0.
Ekvationens lösningar är alltså x=-4 och x=5.
Vi gör på samma sätt här, och får två lösningar.
Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","-10"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","-0,9"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["5","-7"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["2,5","-1"]}}
security
report
code
security
report
code
Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med noll måste minst en av faktorerna vara lika med noll. Vi delar upp ekvationen i två, där vi undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli noll.
Ekvationens lösningar är alltså x=0 och x=- 10.
Vi gör på samma sätt här. I den ena ekvationen måste vi lösa ut x genom att dividera med 10.
Här måste vi lösa ut x ur båda ekvationerna, en i taget.
Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"A=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6x^2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["3"]}}
security
report
code
security
report
code
Arean av en rektangel beräknas genom att multiplicera basen och höjden.
Arean är alltså 6x^2.
Vi beräknar x genom att sätta A=54 och lösa ekvationen.
Vi utesluter den negativa roten eftersom längder måste vara positiva. Det betyder att x=3 så 2x=2*3=6 och 3x=3* 3=9. Rektangelns sidlängder är alltså 6 och 9 le.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["9","-9"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["5","-5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"0","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["3\\sqrt{10}","-3\\sqrt{10}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att lösa ekvationen måste vi dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att vi även får en negativ lösning eftersom produkten av två negativa tal är positiv.
Både x=-9 och x=9 löser ekvationen.
Innan vi drar roten ur förenklar vi så långt som möjligt, dvs. så x^2 står ensamt i VL. Ta för vana att dra roten ur sist (om det går).
Både x=- 5 och x=5 löser ekvationen.
Man kan dra roten ur innan man adderar 3 eller innan man dividerar med 2 men lösningen blir lite krångligare. Vi provar att dra roten ur innan vi dividerar med 2. Viktigt att komma ihåg är att du måste dra roten ur hela VL.
Vi fick samma svar även om det blev mer omständligt.
Vi drar roten ur båda led: x=±sqrt(90). Både x=- sqrt(90) och x=sqrt(90) löser ekvationen. Men vi ska förenkla så långt som möjligt, så vi skriver om 90 som 9*10 och förenklar.
Lösningen är alltså x=±3sqrt(10).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Schrödinger är kattforskare och har ägnat sitt liv åt att undersöka hur långt olika kattraser kan hoppa. Hon har undersökt rasen gullekatts maximala längdhopp och är nästan klar, hon ska bara lösa andragradsekvationen (x+1)(x-2,3)=0, där x är hopplängden i meter. Antag att Schrödinger har rätt och beräkna hur långt en gullekatt kan hoppa.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["2,3"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser ekvationen med nollproduktmetoden.
Ekvationen har alltså lösningarna x=-1 och x=2,3. Vår lösning ska representera hur långt en gullekatt kan hoppa, och därför förkastar vi det negativa värdet. Gullekattens maximala längdhopp är alltså 2,3 meter.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Andragradsekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll