Andragradsekvationer

En andragradsekvation kan skrivas på formen ax^2+bx+c=0, dvs. den innehåller en obekant, minst en x^2-term samt ett likhetstecken. Detta innebär att D: x^2=25 och F: x^2+2x-30=0 är andragradsekvationer. y=x^2+3 har två obekanta, x och y, och är därför en andragradsfunktion. I den första ekvationen är det inte en variabel i kvadrat utan talet 7 har kvadrerats vilket är ett annat sätt att skriva 49. 10x^2-8+2x är ett algebraiskt uttryck eftersom det saknar likhetstecken.

En ekvation är en likhet mellan två uttryck. Den måste alltså innehålla ett likhetstecken och det är bara två av alternativen som gör det. B och E är alltså ekvationer.

Vi löser ekvationen genom att dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte den negativa lösningen.

Här måste vi först dela båda led med 2 innan vi drar kvadratroten ur dem.

Vi fortsätter på samma sätt och drar kvadratroten ur båda led.

Vi börjar med att få 3x^2 ensamt genom att subtrahera båda led med 9. Därefter kan vi isolera x^2 genom att dela båda led med 3. Slutligen drar vi roten ur för att lösa ut x.

Alltså löser x=0 ekvationen. Observera att x=-0 och x=+0 är samma tal så det finns bara en lösning: x=0.

I vänsterledet har vi två identiska termer, dvs. x^2. Detta innebär att summan kan skrivas om som produkten 2x^2. Genom att dela båda led med 2 får vi x^2 ensamt och kan dra kvadratroten ur båda led.

Både x=-10 och x=10 löser ekvationen.

Vi börjar med att få x^2 ensamt, och avslutar med att dra kvadratroten ur.

Både x=-8 och x=8 löser ekvationen.

Börja med att dividera båda led med 3 enligt balansmetoden för att få x^2 ensamt. Glöm inte att vi får två lösningar.

Lösningarna är alltså x=5 och x= -5.

Addera först 16 till båda led för att få x^2-termen ensam.

Börja med att flytta över 4:an, därefter kan båda led multipliceras med 6 för att få loss x^2.

Här måste vi först samla alla x^2-termen på samma sida.

För att lösa ekvationen grafiskt ritar vi uttrycket i vänster- och högerled som separata funktioner i samma koordinatsystem, dvs. y=3,4x^2 och y=6,5.

Skriv in funktioner i räknaren

För att göra en grafisk lösning med räknaren börjar vi med att trycka på knappen Y= och skriver in funktionerna vid Y_1 och Y_2. För att ange x trycker vi på knappen X,T,θ,n, och upphöjt till två kan skrivas genom att trycka på knappen x^2.

Rita funktionerna

För att rita funktionerna trycker vi på knappen GRAPH. Vi ser att graferna skär varandra på två ställen, dvs. ekvationen kommer att ha två lösningar.

Hitta skärningspunkterna

Vi kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkterna mellan de två utritade graferna. Eventuellt måste vi justera inställningarna för koordinatsystemet. Verktyget som gör detta hittas genom att först trycka på CALC (2nd + TRACE) och sedan välja intersect i listan.

När vi har valt intersect visas graferna igen och genom att trycka på ENTER två gånger väljer vi graferna som vi ska bestämma skärningspunkten mellan. Efter det kommer räknaren att skriva ut Guess?. Vi ställer markören i närheten av ena skärningspunkten och trycker ENTER för att beräkna skärningspunkten för just denna.

För att hitta den andra skärningspunkten trycker vi återigen på CALC (2nd + TRACE) igen och gör om proceduren. Denna gång ställer vi dock markören närmare den andra skärningspunkten vilket talar om för räknaren att det nu är denna skärningspunkt som ska beräknas.

Lösningarna till ekvationen är alltså x ≈ ± 1,4.

Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med noll måste minst en av faktorerna vara lika med noll. Vi delar upp ekvationen i två, där vi undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli noll.

Ekvationens lösningar är alltså x=-1 och x=3.

Vi gör på samma sätt här, och får två lösningar.

Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden. Men vi lägger märke till att vi då får två likadana ekvationer: x+3=0. Denna ekvation har lösningen x=-3. Den andra ekvationen kommer få samma lösning eftersom den är likadan, vilket betyder att x=-3 är det enda värdet på x som löser andragradsekvationen. Detta kallas för en dubbelrot.

Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med 0 måste minst en av faktorerna vara lika med 0. Vi delar upp ekvationen i två stycken, och undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli 0.

Ekvationens lösningar är alltså x=-4 och x=5.

Vi gör på samma sätt här, och får två lösningar.

Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden.

Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med noll måste minst en av faktorerna vara lika med noll. Vi delar upp ekvationen i två, där vi undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli noll.

Ekvationens lösningar är alltså x=0 och x=- 10.

Vi gör på samma sätt här. I den ena ekvationen måste vi lösa ut x genom att dividera med 10.

Här måste vi lösa ut x ur båda ekvationerna, en i taget.

Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden.

Arean av en rektangel beräknas genom att multiplicera basen och höjden.

Arean är alltså 6x^2.

Vi beräknar x genom att sätta A=54 och lösa ekvationen.

Vi utesluter den negativa roten eftersom längder måste vara positiva. Det betyder att x=3 så 2x=2*3=6 och 3x=3* 3=9. Rektangelns sidlängder är alltså 6 och 9 le.

För att lösa ekvationen måste vi dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att vi även får en negativ lösning eftersom produkten av två negativa tal är positiv.

Både x=-9 och x=9 löser ekvationen.

Innan vi drar roten ur förenklar vi så långt som möjligt, dvs. så x^2 står ensamt i VL. Ta för vana att dra roten ur sist (om det går).

Både x=- 5 och x=5 löser ekvationen.

Man kan dra roten ur innan man adderar 3 eller innan man dividerar med 2 men lösningen blir lite krångligare. Vi provar att dra roten ur innan vi dividerar med 2. Viktigt att komma ihåg är att du måste dra roten ur hela VL.

Vi fick samma svar även om det blev mer omständligt.

Vi drar roten ur båda led: x=±sqrt(90). Både x=- sqrt(90) och x=sqrt(90) löser ekvationen. Men vi ska förenkla så långt som möjligt, så vi skriver om 90 som 9*10 och förenklar.

Lösningen är alltså x=±3sqrt(10).

Vi löser ekvationen med nollproduktmetoden.

Ekvationen har alltså lösningarna x=-1 och x=2,3. Vår lösning ska representera hur långt en gullekatt kan hoppa, och därför förkastar vi det negativa värdet. Gullekattens maximala längdhopp är alltså 2,3 meter.