Andragradsekvationer

En andragradsekvation kan skrivas på formen ax^2+bx+c=0, dvs. den innehåller en obekant, minst en x^2-term samt ett likhetstecken. Detta innebär att D: x^2=25 och F: x^2+2x-30=0 är andragradsekvationer. y=x^2+3 har två obekanta, x och y, och är därför en andragradsfunktion. I den första ekvationen är det inte en variabel i kvadrat utan talet 7 har kvadrerats vilket är ett annat sätt att skriva 49. 10x^2-8+2x är ett algebraiskt uttryck eftersom det saknar likhetstecken.

Vi löser ekvationen genom att dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte den negativa lösningen.

Här måste vi först dela båda led med 2 innan vi drar kvadratroten ur dem.

Vi fortsätter på samma sätt och drar kvadratroten ur båda led.

Börja med att dividera båda led med 3 enligt balansmetoden för att få x^2 ensamt. Glöm inte att vi får två lösningar.

Lösningarna är alltså x=5 och x= -5.

Addera först 16 till båda led för att få x^2-termen ensam.

Börja med att flytta över 4:an, därefter kan båda led multipliceras med 6 för att få loss x^2.

Här måste vi först samla alla x^2-termen på samma sida.

Vi börjar med att flytta över 81. Vi kommer då dra kvadratroten ur ett positivt tal.

Ekvationen har alltså två reella lösningar: x=9 och x= - 9.

Vår x^2-term står ensam i vänsterledet, så för att lösa ekvationen ska vi dra kvadratroten ur båda led. Men då måste vi dra kvadratroten ur det negativa talet -121. Eftersom det inte finns något reellt tal vars kvadrat blir negativ säger vi att ekvationen saknar reella lösningar.

När vi löser ut x^2 får vi x^2= - 1. Precis som i förra deluppgiften är detta en ekvation som saknar reella rötter, eftersom vi måste dra kvadratroten ur ett negativt tal för att lösa den.

Vi löser ut x^2 och undersöker om vi får ett positivt eller negativt tal som vi ska dra roten ur.

Denna ekvation har de reella lösningarna x=± 10.

Eftersom x^2 är ensamt i vänsterledet kan vi direkt dra roten ur båda led.

Ekvationen har alltså två lösningar. Svarar vi exakt är de x=sqrt(7) och x= - sqrt(7), och med två decimaler x ≈ 2,65 och x ≈ -2,65.

Här måste vi dividera med 2 innan vi drar roten ur båda led. Även här får vi två lösningar.

Vi löser ut x^2 innan vi drar roten ur leden.

Även här måste vi flytta om innan vi får ut x^2.

För att lösa ekvationen grafiskt ritar vi uttrycket i vänster- och högerled som separata funktioner i samma koordinatsystem, dvs. y=3,4x^2 och y=6,5.

Skriv in funktioner i räknaren

För att göra en grafisk lösning med räknaren börjar vi med att trycka på knappen Y= och skriver in funktionerna vid Y_1 och Y_2. För att ange x trycker vi på knappen X,T,θ,n, och upphöjt till två kan skrivas genom att trycka på knappen x^2.

Rita funktionerna

För att rita funktionerna trycker vi på knappen GRAPH. Vi ser att graferna skär varandra på två ställen, dvs. ekvationen kommer att ha två lösningar.

Hitta skärningspunkterna

Vi kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkterna mellan de två utritade graferna. Eventuellt måste vi justera inställningarna för koordinatsystemet. Verktyget som gör detta hittas genom att först trycka på CALC (2nd + TRACE) och sedan välja intersect i listan.

När vi har valt intersect visas graferna igen och genom att trycka på ENTER två gånger väljer vi graferna som vi ska bestämma skärningspunkten mellan. Efter det kommer räknaren att skriva ut Guess?. Vi ställer markören i närheten av ena skärningspunkten och trycker ENTER för att beräkna skärningspunkten för just denna.

För att hitta den andra skärningspunkten trycker vi återigen på CALC (2nd + TRACE) igen och gör om proceduren. Denna gång ställer vi dock markören närmare den andra skärningspunkten vilket talar om för räknaren att det nu är denna skärningspunkt som ska beräknas.

Lösningarna till ekvationen är alltså x ≈ ± 1,4.

Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med noll måste minst en av faktorerna vara lika med noll. Vi delar upp ekvationen i två, där vi undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli noll.

Ekvationens lösningar är alltså x=-1 och x=3.

Vi gör på samma sätt här, och får två lösningar.

Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden. Men vi lägger märke till att vi då får två likadana ekvationer: x+3=0. Denna ekvation har lösningen x=-3. Den andra ekvationen kommer få samma lösning eftersom den är likadan, vilket betyder att x=-3 är det enda värdet på x som löser andragradsekvationen. Detta kallas för en dubbelrot.

Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med 0 måste minst en av faktorerna vara lika med 0. Vi delar upp ekvationen i två stycken, och undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli 0.

Ekvationens lösningar är alltså x=-4 och x=5.

Vi gör på samma sätt här, och får två lösningar.

Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden.

Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med noll måste minst en av faktorerna vara lika med noll. Vi delar upp ekvationen i två, där vi undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli noll.

Ekvationens lösningar är alltså x=0 och x=- 10.

Vi gör på samma sätt här. I den ena ekvationen måste vi lösa ut x genom att dividera med 10.

Här måste vi lösa ut x ur båda ekvationerna, en i taget.

Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden.

Arean av en rektangel beräknas genom att multiplicera basen och höjden.

Arean är alltså 6x^2.

Vi beräknar x genom att sätta A=54 och lösa ekvationen.

Vi utesluter den negativa roten eftersom längder måste vara positiva. Det betyder att x=3 så 2x=2*3=6 och 3x=3* 3=9. Rektangelns sidlängder är alltså 6 och 9 le.

Vi löser ekvationen med nollproduktmetoden.

Ekvationen har alltså lösningarna x=-1 och x=2,3. Vår lösning ska representera hur långt en gullekatt kan hoppa, och därför förkastar vi det negativa värdet. Gullekattens maximala längdhopp är alltså 2,3 meter.