Gränsvärden

Vi börjar med att multiplicera in tvåan i nämnaren. Därefter förkortar vi bråket med den potens som har högst grad, i det här fallet x^7.

Om man nu låter x gå mot oändligheten kommer både 3x^7 och 10x^7 att gå mot 0 eftersom nämnarna blir större och större medan täljarna är konstanta.

Gränsvärdet är alltså 1.

Vi börjar med ett uttryck som inte är definierat när x=-4. Man får aldrig dela med 0 så vi skapar ett bråk där nämnaren är 0 om x=-4. Ett exempel är 1/x+4. Vad händer nu om x närmar sig -4? Vi gör en tabell där vi beräknar funktionsvärdet för x väldigt nära -4.

Funktionsvärdet verkar gå mot oändligheten, och alltså inte 8. Ett sätt att säkerställa att ett gränsvärde existerar är att se till att man kan förkorta det rationella uttrycket så att kvoten blir definierad för x=-4. Det kan vi göra genom att ha faktorn (x+4) även i täljaren: lim _(x→ -4)x+4/x+4 = lim _(x→ -4) 1 = 1. Nu existerar det ett gränsvärde, men det är inte 8. Det kan man lösa genom att multiplicera x+4x+4 med 8. Ett exempel på en funktion som uppfyller villkoren är alltså f(x)=8(x+4)/x+4.

f(-1) är funktionens värde då x=-1. Vi ser att funktionen har delats upp i två delar: f(x) = x^3+x^2+1, & x ≠ -1 0.5, & x=-1. Funktionsvärdet beräknas alltså på olika sätt beroende på vilket x som sätts in. Om x inte är -1 används formeln x^3+x^2+1, men just för x=-1 blir funktionsvärdet 0.5, utan att något behöver beräknas. Alltså är f(-1) = 0.5.

Vi vet att funktionsvärdet då x=-1 är 0.5. Eftersom gränsvärdet vi ska bestämma gäller just detta x kan man kanske tro att även gränsvärdet blir 0.5. Det kan man dock inte anta, utan man måste undersöka vad gränsvärdet faktiskt blir. För att få en tydligare bild av hur funktionen ser ut ritar vi den. f(-1)=0.5 motsvarar punkten (-1,0.5), men för alla andra x följer funktionen kurvan x^3+x^2+1.

Det är nödvändigt att sätta en tom ring i kurvan där x=-1 för att visa att funktionen inte går genom den punkten. Det kan inte finnas två olika funktionsvärden för x=-1, och det är (-1,0.5) som gäller. Detta "hopp" vid x=-1 innebär att gränsvärdet och funktionsvärdet faktiskt kommer vara olika här. Gränsvärdet är det funktionsvärde som f(x) närmar sig då x kommer väldigt nära -1. Eftersom kurvan går mot den vita punkten är det den vita punktens y-värde som kommer vara gränsvärdet.

Gränsvärdet är alltså 1, vilket också kan kontrolleras med en insättning av x=-1 i x^3 + x^2 + 1: (-1)^3 + (-1)^2 + 1 = 1.

Att 0 < a < 1 betyder att a är ett decimaltal mellan 0 och 1 och höjer man upp ett sådant tal med en positiv exponent blir värdet mindre än a. Vi visar för några x-värden med en potens där a är ett decimaltal mellan 0 och 1, exempelvis 0.5^x.

Värdet minskar desto större x man sätter in i potensen. Dock kommer en potens med positiv bas aldrig bli noll eller negativ oavsett hur stort x man sätter in. Istället planar den ut längs med x-axeln som grafen nedan.

Detta betyder att när x→ ∞ så går funktionsvärdet mot noll, dvs. gränsvärdet är lim _(x→∞) f(x)=0. Vad händer om x går mot - ∞, dvs. om vi sätter in negativa x-värden i exponenten? Potenser med negativ exponent kan skrivas om enligt regeln a^(- b)=1/a^b. Som vi redan visat går a^x mot noll när 0 < a < 1 och delar vi 1 med ett tal som ligger nära noll blir kvoten stor. Om då x→ - ∞ så närmare sig nämnaren 0 och kvoten 1a^x går då mot oändligheten. Detta betyder att gränsvärdet lim _(x→ -∞) f(x) inte existerar.

När a>1 så växer a^x ju större x-värden man sätter in. Vi visar för några x-värden med en potens där a är ett tal större än 1, exempelvis 1.2^x.

Värdet ökar desto större x man sätter in i potensen precis som i nedanstående graf.

Detta betyder att när x→ ∞ så kommer även funktionsvärdet gå mot oändligheten, dvs. gränsvärdet lim _(x→ ∞) f(x) existerar inte. Vad händer då när x→ - ∞? Som förklarats tidigare kan a^(- b) skrivas om som 1a^b. När x går mot - ∞ kommer nämnaren i bråket 1a^x bli väldigt stor vilket betyder att kvoten går mot 0. Eftersom kvoten går mot noll går även funktionsvärdet mot noll vilket innebär att gränsvärdet är lim _(x→ - ∞) f(x)=0.

Det kan till en början vara svårt att avgöra vad definitionsmängden är för f(a), men om vi förenklar funktionsuttrycket blir det lättare att se vilka a som är tillåtna. Funktionsuttrycket lim _(x → a) x^2 - a^2/x - a är ett gränsvärde där x går mot a. Om vi provar att direkt sätta in a får vi nolldivision, vilket inte är tillåtet, så vi måste skriva om uttrycket för att beräkna gränsvärdet. Täljaren går att faktorisera med konjugatregeln, och gör vi det kan vi förkorta bort nämnaren.

Det går nu bra att sätta in a för att bestämma gränsvärdet.

Funktionsuttrycket kan alltså förenklas till 2a, vilket ger att f(a) = 2a. Här kan vi sätta in vilket a som helst, så definitionsmängden för f(a) är alla a.

Uttrycket anger det funktionsvärde som e^x+7 närmar sig när x går mot 0 . Eftersom funktionen är definierad i x=0 får vi gränsvärdet genom att sätta in x=0 i uttrycket.

När x går mot 0 närmar sig funktionen 8.

Här är det inte lika enkelt att hitta gränsvärdet. Men fundera på vad som händer om x är väldigt stort, säg 1 000 000. Då kommer 4x bli mycket större än 9. Det betyder att 9:an blir försumbar när x→∞ och kan därför plockas bort.

Gränsvärdet är lika med 2.

Man kan även förkorta bråket med x.

När x går mot oändligheten kommer nämnaren i 9/x bli väldigt stor. Det betyder att 9/x går mot 0.

Gränsvärdet är 2.