Metod

Bestämma gränsvärde när $x$ går mot ett tal

En vanlig algebraisk metod för att bestämma ett gränsvärde är att förenkla funktionsuttrycket så att man kan sätta in värdet på

x .

Man kan exempelvis bestämma gränsvärdet

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

med denna metod.

Kontrollera vad som händer om

x

sätts in

Börja med att fundera över vad som skulle hända om $x = 2$ sätts in i funktionsuttrycket. Ibland kan gränsvärdet nämligen beräknas direkt, utan förenkling. I det här fallet blir dock nämnaren $0$ om $x = 2,$ så denna insättning är inte tillåten eftersom man då får nolldivision.

Förenkla funktionsuttrycket

Genom att förenkla funktionsuttrycket kan man förhoppningsvis få något där uttrycket inte blir odefinierat när

x

är

2 .

Här kan täljaren faktoriseras med konjugatregeln. Då ser man att faktorn

(x - 2)

kommer att kunna förkortas bort.

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

WritePow

Skriv som potens

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 2 ^{2}}{x - 2}

FacDiffSquares

Faktorisera med konjugatregeln

x \to 2 lim \frac{( x + 2 ) ( x - 2 )}{x - 2}

ReduceFrac

Förkorta med $(x - 2)$

x \to 2 lim (x + 2)

Nu är uttrycket förenklat så långt som möjligt och nämnaren har förkortats bort, vilket var målet.

Sätt in

x -

värdet

Slutligen låter man

x

gå mot talet i fråga, i det här fallet

2 .

Detta steg skrivs

x \to 2

och innebär rent praktiskt att man plockar bort

x \to 2 lim

samt byter ut alla

x

i funktionsuttrycket mot

2 .

x \to 2 lim (x + 2)

$x \to 2$

2 + 2

AddTerms

Addera termerna

4

Gränsvärdet för

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

då

x \to 2

är alltså

4 .

Rekommenderade uppgifter