7. Gränsvärden
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
8.
Gränsvärden
Denna lektion förklarar konceptet med gränsvärden och lim i matematik. Gränsvärden används för att bestämma vad funktionsvärdet närmar sig när x-värdet går mot ett specifikt tal eller mot oändligheten. Gränsvärden skrivs med hjälp av lim, en förkortning av det latinska ordet limes (gräns). Gränsvärden kan beräknas direkt om funktionen är kontinuerlig för det x-värde som sätts in. Om funktionen är odefinierad för det värde som x går mot, måste gränsvärdet undersökas på andra sätt, till exempel numeriskt eller genom omskrivningar av uttrycket.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 11 sidor teori |
| | 22 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Gränsvärden
Sida av 11
Vissa funktioner är odefinierade för specifika x-värden, vilket gör att man inte kan bestämma funktionsvärdet just där. Exempelvis kan man inte bestämma funktionsvärdet då x=2 för den rationella funktionen f(x)= 5xx-2 eftersom nämnaren är lika med 0 då. Men vad händer med funktionsvärdet om man kommer väldigt nära x=2? Detta är en typ av fråga som man kan besvara med hjälp av så kallade gränsvärden.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Gränsvärden
- När existerar inte gränsvärde
- Bestämma gränsvärde numeriskt
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Att titta på funktionsvärden nära en odefinierad punkt
Betrakta följande funktion. f(x) = x^2-16/x-4 Denna funktion är inte definierad vid x = 4, eftersom nämnaren blir 0 vid den punkten. Den givna grafen, tillsammans med värdetabellen, visar hur funktionsvärdena beter sig när x närmar sig 4 — både från värden som är något mindre än 4 och från värden som är något större än 4. En cirkel på grafen markerar punkten där x = 4.
Tänk nu på följande frågor.
- Vad lägger du märke till med funktionsvärdena när x närmar sig 4?
- Verkar funktionen närma sig ett specifikt värde?
- Vad tyder detta på om funktionens beteende nära x = 4?
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Gränsvärde
I koordinatsystemet visas grafen till funktionen f(x)=5-9^(.1 /x.). Om man testar olika x-värden kan man se att funktionsvärdet verkar närma sig y-värdet 4 då x blir större och större.
lim, en förkortning av det latinska ordet limes (gräns). Nedanför lim skriver man vad x går mot genom att använda en pil. Därefter skriver man funktionsuttrycket samt vad gränsvärdet är.
Begrepp
Gränsvärde för definierade uttryckDen enklaste sortens gränsvärde är det då funktionen är definierad för det värde som x går mot. Då kan gränsvärdet beräknas direkt genom en insättning:
lim _(x → 1) (x^2+x+5) =1^2+1+5=7.
Detta fungerar bara om funktionen är kontinuerlig för det x-värde som sätts in.
Begrepp
Gränsvärde för odefinierade uttryckOfta går insättningen inte att göra direkt pga. att funktionen är odefinierad för det värde som x går mot. Ett återkommande fall är gränsvärden av rationella funktioner, som t.ex.
lim _(x → 2) x^2-4x-2.
Sätter man in x=2 direkt får man nolldivision. Gränsvärdet måste därför undersökas på andra sätt, t.ex. numeriskt eller genom omskrivningar av uttrycket.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Vad är sant och vad är falskt om gränsvärden?
Vilka av följande påståenden om gränsvärden är sanna? A.& Omxgår mot ett specifikt tal är gränsvärdet det & y-värde funktionen närmar sig. B.&Gränsvärde är alltid samma sak som funktionsvärde. C.& Gränsvärdet för funktioneny=2x-1närxgår mot & 5är9skrivs lim _(x=5) (2x-1) → 9. D. &Omx → ∞så är gränsvärdet oändligt stort. E.& Gränsvärden kan användas för att ange vilket värde ett &rationellt uttryck går mot för ett givetx-värde för vilket &funktionen ej är definierad.
{"type":"multichoice","form":{"alts":["A","B","C","D","E"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,4]}
Ledtråd
Ett gränsvärde beskriver vilket värde en funktion närmar sig när x går mot en viss punkt — även om funktionen inte är definierad där. Det här värdet är inte alltid detsamma som funktionens värde i den punkten.
Lösning
Vi går igenom påståendena ett i taget.
Påstående A
Sant, detta är i princip definitionen av ett gränsvärde.
Påstående B
Falskt. Ett funktionsvärde tillhör alltid en funktions värdemängd. Ett gränsvärde liknar ett funktionsvärde men det tillhör inte nödvändigtvis funktionens värdemängd. Exempelvis är gränsvärdet lim _(x→ ∞) (5-9^(.1 /x.)) = 4, men funktionen närmar sig bara detta värde: det kommer aldrig bli 4.
Påstående C
Falskt. I påståendet står det att x ska gå mot 5, inte vara lika med 5 som det står i notationen. I notationen står det också att gränsvärdet går mot 9, vilket är fel eftersom ett gränsvärde inte är "rörligt" utan alltid lika med någonting. Slutsatsen är alltså att pilen och likhetstecknet ska byta plats, så det istället står lim _(x→ 5) (2x-1) = 9.
Påstående D
Falskt. Vi visade exempelvis att gränsvärdet för f(x)=5-9^(.1 /x.) då x → ∞ var 4, vilket inte är detsamma som oändligheten.
Påstående E
Sant. Istället för att bara konstatera att exempelvis g(x)= x^2-4x-2 är odefinierad för x=2 kan man i vissa fall använda gränsvärden för att ta reda på vad funktionen närmar sig för detta x.
Sammanfattning
Vi sammanfattar svaren i en tabell.
| Påstående | S/F |
|---|---|
| A | S |
| B | F |
| C | F |
| D | F |
| E | S |
Dela
Rapportera fel
Översätt
Förklaring
När existerar inte gränsvärden?
Det finns två olika fall då man säger att gränsvärden saknas, eller inte existerar.
Förklaring
Oegentligt gränsvärdeDet ena är om funktionsvärdet går mot oändligheten (∞) eller minus oändligheten (- ∞) för ett visst x-värde, dvs. om funktionsvärdet blir oändligt stort eller oändligt litet. Detta kallas oegentligt gränsvärde.
Förklaring
Höger- och vänstergränsvärde är olikaDet andra är om en funktion går mot olika y-värden för samma x-värde. För x=5 närmar sig funktionen f(x) värdet y=1 från vänster, och y=3 om man kommer från höger.
Man säger då att vänstergränsvärdet lim _(x → 5^-)f(x) är 1 och högergränsvärdet lim _(x → 5^+)f(x) är 3. Eftersom de är olika innebär det att gränsvärdet inte existerar för f(x) när x→ 5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Bestämma gränsvärde numeriskt
Att bestämma ett gränsvärde med numerisk metod innebär att man provar sig fram till vad gränsvärdet för en funktion är när den går mot ett specifikt x-värde. Exempelvis kan gränsvärdet lim _(x→ 1) x^2+4x-5/x-1 bestämmas med denna metod.
1
Gör en tabell för x-värden som närmar sig från vänster
expand_more Funktionen är odefinierad för x=1, men vi kan bestämma gränsvärdet numeriskt. För att gränsvärdet ska existera måste både vänster- och högergränsvärde existera och vara samma. Man kan börja med vänstergränsvärdet, och väljer då några x-värden lite mindre än 1.
| x | 0,9 | 0,99 | 0,999 | → 1 |
|---|---|---|---|---|
| x^2+4x-5/x-1 |
Sedan beräknar man funktionsvärdet för x-värdena. Första värdet blir 0,9^2+4 * 0,9-5/0,9-1= 5,900 och sedan fortsätter man på samma sätt.
| x | 0,9 | 0,99 | 0,999 | → 1 |
|---|---|---|---|---|
| x^2+4x-5/x-1 | 5,900 | 5,990 | 5,999 | → 6 |
Funktionsvärdet verkar närma sig 6, så man kan skriva går mot 6
i sista kolumnen.
2
Gör en tabell för x-värden som närmar sig från höger
expand_more Sedan gör man samma sak för x-värden lite större än 1.
| x | 1,1 | 1,01 | 1,001 | → 1 |
|---|---|---|---|---|
| x^2+4x-5/x-1 | 6,100 | 6,010 | 6,001 | → 6 |
3
Bestäm gränsvärdet med hjälp av tabellerna
expand_more Både höger- och vänstergränsvärdet verkar vara 6 så det är rimligt att anta att detta är funktionens gränsvärde när x går mot 1, dvs. lim _(x→ 1) x^2+4x-5/x-1=6.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestämma gränsvärde numeriskt
Bestäm följande gränsvärde numeriskt. lim_(x→ 2)x^2-5x+6/x-2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-1"]}}
Ledtråd
Bestäm det vänstra och högra gränsvärdet genom att utvärdera funktionen vid värden som är lite mindre än 2 och lite större än 2. Gränsvärdet existerar om båda gränsvärdena är lika.
Lösning
Funktionen är inte definierad vid x = 2. För att bestämma funktionens gränsvärde när x närmar sig detta värde, börja med att bestämma det vänstra gränsvärdet genom att välja x-värden som är något mindre än 2.
| x | 1,9 | 1,99 | 1,99 | → 2 |
|---|---|---|---|---|
| x^2-5x+6/x-2 | - 1,1 | -1,01 | -1.001 | → -1 |
Det vänstra gränsvärdet är -1, eftersom funktionens värde närmar sig -1 när x-värdena närmar sig 2 från vänster. Använd sedan en liknande metod för att bestämma det högra gränsvärdet genom att välja värden som är något större än 2.
| x | 2,1 | 2,01 | 2,001 | → 2 |
|---|---|---|---|---|
| x^2-5x+6/x-2 | - 0,9 | -0,99 | -0,999 | → -1 |
Både det vänstra och det högra gränsvärdet närmar sig -1, så funktionens gränsvärde när x närmar sig 2 är -1. lim_(x→ 2)x^2-5x+6/x-2 = -1
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Bestämma gränsvärde när x går mot ett tal
En vanlig algebraisk metod för att bestämma ett gränsvärde är att förenkla funktionsuttrycket så att man kan sätta in
värdet på x. Man kan exempelvis bestämma gränsvärdet lim _(x→ 2) x^2 -4/x-2
med denna metod.
1
Kontrollera vad som händer om x sätts in
expand_more Börja med att fundera över vad som skulle hända om x=2 sätts in i funktionsuttrycket. Ibland kan gränsvärdet nämligen beräknas direkt, utan förenkling. I det här fallet blir dock nämnaren 0 om x=2, så denna insättning är inte tillåten eftersom man då får nolldivision.
2
Förenkla funktionsuttrycket
expand_more Genom att förenkla funktionsuttrycket kan man förhoppningsvis få något där uttrycket inte blir odefinierat när x är 2. Här kan täljaren faktoriseras med konjugatregeln. Då ser man att faktorn (x-2) kommer att kunna förkortas bort.
lim _(x → 2) x^2 -4/x-2
WritePow
Skriv som potens
lim _(x → 2) x^2 -2^2/x-2
FacDiffSquares
Faktorisera med konjugatregeln
lim _(x → 2) (x+2)(x-2)/x-2
ReduceFrac
Förkorta med (x-2)
lim _(x → 2) (x+2)
Nu är uttrycket förenklat så långt som möjligt och nämnaren har förkortats bort, vilket var målet.
3
Sätt in x-värdet
expand_more
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestämma gränsvärde när x går mot ett tal
Bestäm följande gränsvärde algebraiskt. lim_(x → -3)x^2 + x - 6/x + 3
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-5"]}}
Ledtråd
Faktorisera täljaren. Förenkla sedan hela uttrycket genom att förkorta gemensamma faktorer. Avsluta med att ersätta x = -3 i det förenklade uttrycket för att bestämma gränsvärdet.
Lösning
För att bestämma funktionens gränsvärde när x närmar sig -3, börja med att faktorisera täljaren för att se om nämnaren kan förkortas bort. Täljaren kan faktoriseras genom att identifiera dess nollställen med hjälp av pq-formeln.
x^2+x-6 =0
▼
Skriv på pq-form
UsePQ
Använd pq-formeln: p = 1, q= -6
x=- 1/2± sqrt((1/2)^2-( -6))
PowQuot
(a/b)^c=a^c/b^c
x = -1/2 ± sqrt(1^2/2^2-(-6))
CalcPow
Beräkna potens
x = -1/2 ± sqrt(1/4 - (-6))
SubNeg
a-(- b)=a+b
x = -1/2 ± sqrt(1/4 + 6)
NumberToFrac
a = 4* a/4
x = -1/2 ± sqrt(1/4 + 24/4)
AddFrac
Addera bråk
x = -1/2 ± sqrt(25/4)
SqrtQuot
sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)
x = -1/2 ± sqrt(25)/sqrt(4)
CalcRoot
Beräkna rot
x = -1/2 ± 5/2
StateSol
Ange lösningar
lx = -.1 /2. + .5 /2. x = -.1 /2. - .5 /2.
(I), (II): Addera och subtrahera termerna
lx = 2 x = -3
Nollställena till täljaren är x = 2 och x = -3, så täljaren kan skrivas på faktoriserad form enligt följande. (x - 2)(x - (-3)) = (x - 2)(x + 3) Ersätt täljarens faktoriserade form i funktionsuttrycket och förenkla.
lim _(x → -3)x^2 + x - 6/x + 3
Substitute
x^2 + x - 6= (x - 2)(x + 3)
lim _(x → -3)(x - 2)(x + 3)/x + 3
ReduceFrac
Förkorta med x+3
lim _(x → -3) (x - 2)
Uttrycket är nu helt förenklat. Nästa steg är att beräkna gränsvärdet genom att ersätta varje x i funktionsuttrycket med -3.
Gränsvärdet av x^2 + x - 6x + 3 när x → -3 är -5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Bestämma gränsvärde när x går mot oändligheten
Ett sätt att beräkna gränsvärden för rationella funktioner bygger på principen att division med en stor nämnare ger en kvot som ligger väldigt nära 0. T.ex. är 1100 000 000 000 000=0,00000000000001. När ett bråks nämnare går mot oändligheten kommer därför bråkets värde att gå mot 0. Man kan t.ex. använda detta för att bestämma gränsvärdet lim _(x→ ∞) x^2+52x^2-3x.
1
Förkorta med termen av högst grad
expand_more Syftet med detta steg är att skriva om termerna med högst grad till konstanter och övriga termer på formen
a/x, a/x^2, a/x^3, osv.
Dessa termer kommer då, enligt principen ovan, närma sig 0 när x går mot oändligheten. Ett sätt att få till detta är att förkorta med termen som har högst grad. Här är polynomen i både täljare och nämnare andragradspolynom, så det är x^2 man ska förkorta med.
lim _(x→ ∞) x^2+5/2x^2-3x
ReduceFrac
Förkorta med x^2
lim _(x→ ∞) .(x^2+5) /x^2./.(2x^2-3x) /x^2.
WriteSumFrac
Dela upp bråk
lim _(x→ ∞) x^2x^2+ 5x^2/2x^2x^2- 3xx^2
SimpQuot
Förenkla kvot
lim _(x→ ∞) 1+ 5x^2/2- 3x
2
Låt x gå mot oändligheten
expand_more När x går mot oändligheten kommer nämnarna x^2 och x att bli mycket stora, dvs. värdet på 5x^2 och 3x kommer hamna nära 0 precis som i det inledande exemplet. Båda bråken går alltså mot 0 då x → ∞.
Gränsvärdet för x^2+52x^2-3x då x → ∞ är alltså 12.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestämma gränsvärde när x går mot oändligheten
Bestäm gränsvärdet för följande uttryck när x går mot oändligheten. lim_(x → ∞)5x^2 + 3x + 1/2x^2 -x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{5}{2}"]}}
Ledtråd
Dividera både täljaren och nämnaren med x^2, termen med högst gradtal, och förenkla. När x går mot oändligheten, går alla termer som innehåller 1x eller 1x^2 mot noll.
Lösning
För att bestämma funktionens gränsvärde när x går mot oändligheten, är metoden att dividera både täljaren och nämnaren med termen med högst gradtal. I detta fall är både täljaren och nämnaren polynom av grad två, så båda divideras med x^2.
lim _(x → ∞)5x^2 + 3x + 1/2x^2 - x
ReduceFrac
Förkorta med x^2
lim _(x → ∞).(5x^2 + 3x + 1) /x^2./.(2x^2 - x) /x^2.
WriteSumFrac
Dela upp bråk
lim _(x → ∞)5x^2x^2 + 3xx^2 + 1x^2/2x^2x^2 - xx^2
SimpQuot
Förenkla kvot
lim _(x → ∞)5 + 3x + 1x^2/2 - 1/x
När uttrycket har skrivits om, kan man se att både x och x^2 växer utan gräns när x går mot oändligheten. Som ett resultat går termerna 3x, 1x^2 och 1x alla mot 0. Eftersom dessa termer blir noll i gränsvärdet, är det de kvarvarande konstanterna som avgör uttryckets slutgiltiga värde, vilket nu kan beräknas.
lim _(x → ∞)5 + 3x + 1x^2/2 - 1/x
ToInfty
x → ∞
5 + 0 + 0/2 - 0
AddSubTerms
Addera och subtrahera termerna
5/2
Gränsvärdet för 5x^2 + 3x + 12x^2 - x när x → ∞ är 52.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Gränsvärden
Uppgift 2.1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["INFTY"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att konstatera att uttrycket är odefinierat för x=5, eftersom nämnaren då blir 0. Vi undersöker om vi kan förenkla uttrycket så att det blir definierat för detta x. Genom att skriva om 25 i nämnaren som 5^2 kan vi faktorisera nämnaren med konjugatregeln.
Sedan kan vi bryta ut 3 ur täljaren och får då något som är skrivet på samma form som andra kvadreringsregeln. Vi faktoriserar täljaren och förkortar bråket.
Nu har vi ett uttryck som är definierat för x=5, vilket gör att vi kan bestämma gränsvärdet genom insättning.
Gränsvärdet är 0 när x går mot 5.
Här ser vi kanske inte direkt om uttrycket är definierat för x=2 eller inte, så vi kontrollerar först vad som händer med nämnaren om vi sätter in x=2:
2^3-2 * 2^2=8-2 * 4=0.
Uttrycket är alltså odefinierat för detta x, så vi undersöker om det går att förenkla det. Alla termer i täljaren och nämnare innehåller faktorn x^2, vilket innebär att vi kan förenkla bråket genom att bryta ut den.
Täljaren kan ytterligare förenklas genom att skriva om 4 som en kvadrat och sedan använda konjugatregeln baklänges.
Vi har nu ett uttryck som är definierat för x = 2, och genom att sätta in detta kan vi bestämma gränsvärdet för det ursprungliga uttrycket.
Gränsvärdet lim _(x→ 2) x^4-4x^2x^3-2x^2 är alltså 4.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["INFTY"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["INFTY"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["INFTY"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2,5"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom x → ∞ använder vi metoden bestämma gränsvärde när x går mot oändligheten.
Förkorta med termen av högst grad
Vi har tredjegradspolynom både i täljare och nämnare. Därför väljer vi att förkorta uttrycket med x^3 och sedan förenkla.
Låt x gå mot oändligheten
När x går mot oändligheten kommer nämnarna x^3 och x att bli mycket stora, dvs. värdet på 15x^3 och 9x kommer närma sig 0 vilket innebär att båda dessa bråk går mot 0 då x → ∞.
Gränsvärdet lim _(x → ∞) 7x^3-15x^3+9x^2 är alltså 7.
Vi gör på motsvarande sätt här och förkortar med den term som har högst grad, dvs. x^5. Sedan låter vi x → ∞.
Vi fortsätter likadant. Termen med högst grad är x^9, så vi förkortar med detta och låter sedan x → ∞.
Gränsvärdet är alltså 2,5.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["INFTY"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["8x+9"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["INFTY"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{x^2}"]}}
security
report
code
security
report
code
Uttrycket är definierat när c=8 så vi kan bestämma gränsvärdet genom att sätta in
c=8. Eftersom det är c som varierar kan man behandla x som en konstant.
Gränsvärdet är 8x+9.
Uttrycket är inte definierat för h=0 men vi kan förkorta bråket för att sedan beräkna gränsvärdet.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Iro stänger av ugnen i sitt kök efter att hon bakat sockerkaka. Temperaturen T i ugnen efter x timmar beskrivs av funktionen T(x)=151*0,28^x+24. Bestäm och tolka gränsvärdet lim _(x → ∞)T(x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["INFTY"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"lim _(x \u2192 \u221e)T(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["24"]}}
security
report
code
security
report
code
När x-värdet går mot oändligheten går x mot väldigt stora värden. Gränsvärdet är alltså ugnens temperatur när det gått väldigt många timmar sedan den stängdes av. För att beräkna gränsvärdet funderar vi på vad som händer när man sätter in stora x-värden i funktionsuttrycket 151* 0,28^x+24. När vi sätter in stora x så närmar sig 0,28^x värdet 0. Det innebär att även produkten 151* 0,28^x går mot 0. Det som återstår av funktionsuttrycket när x går mot oändligheten är konstanten 24. Gränsvärdet kan alltså bestämmas till lim _(x → ∞)(151 * 0,28^x+24)=24. Efter många timmar kommer temperaturen i ugnen alltså nå 24^(∘)C, vilken kan tolkas som temperaturen i köket där ugnen står. Detta eftersom temperaturskillnader utjämnas över tid.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Existerar gränsvärdet? lim _(x → 0) 1/x Motivera!
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Eftersom insättning av x=0 ger nolldivision kan vi inte beräkna gränsvärdet genom att sätta in x=0 i uttrycket. Istället undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet när x är nära 0 genom att rita grafen till y= 1x med hjälp av grafräknaren.
Om vi närmar oss x=0 från vänster verkar grafen gå mot negativa oändligheten, och mot positiva oändligheten om vi går från höger. Detta beror på att kvoten blir ett mycket stort negativt tal om vi dividerar 1 med små negativa tal, respektive ett mycket stort positivt tal och om vi dividerar 1 med små positiva tal: 1/-0,000001=- 1 000 000 och 1/0,000001= 1 000 000. Eftersom oändligheten inte är ett tal säger man att gränsvärdet lim _(x → 0) 1/x inte existerar.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm gränsvärdet numeriskt: lim _(x→ 0)(sqrt(1+x/x^2)-sqrt(1-x/x^2)).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["INFTY"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\infty"]}}
security
report
code
security
report
code
Uttrycket är inte definierat för x=0 så vi kan inte sätta in x=0 och beräkna. Istället låter vi x närma sig 0 och beräknar gränsvärdet numeriskt. Vi börjar med att låta x närma sig 0 från vänster.
| x | -0,1 | -0,05 | -0,01 | → 0 |
|---|---|---|---|---|
| sqrt(1+x/x^2)-sqrt(1-x/x^2) | -1,0013 | -1,00031 | -1,00013 | → -1 |
När man går från vänster verkar funktionsvärdet gå mot -1. Nu gör vi samma sak men går från höger.
| x | 0,1 | 0,05 | 0,01 | → 0 |
|---|---|---|---|---|
| sqrt(1+x/x^2)-sqrt(1-x/x^2) | 1,00126 | 1,00031 | 1,000013 | → 1 |
När man närmar sig 0 från höger går funktionsvärdet mot 1. Höger- och vänstergränsvärdet är alltså olika vilket betyder att gränsvärdet saknas.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"k=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{a^2-1}{a-1}"]}}
Ställ upp ett gränsvärde som beskriver linjens k-värde i punkten (1,1). Bestäm därefter linjens k-värde genom att beräkna gränsvärdet.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"k=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
security
report
code
security
report
code
Linjens k-värde kan skrivas om vi vet koordinaterna för två punkter (x_1,y_1) och (x_2,y_2): k=y_2-y_1/x_2-x_1. Vi vet att den ena punkten, punkt A, är (1,1) och att den andra punkten, B, har x-koordinaten a. B:s y-koordinat är samma sak som funktionsvärdet för andragradskurvan, vilket alltså är a^2. Vi använder detta.
Här använder vi uttrycket från förra uppgiften, men vi ställer upp ett gränsvärde där a → 1: k=lim _(a → 1) a^2-1/a-1. Vi börjar med att förenkla det rationella uttrycket med hjälp av konjugatregeln. Sedan låter vi a gå mot 1.
k-värdet för tangenten till punkten (1,1) är alltså 2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll