Gränsvärde och Lim: Utforska Gränsvärden i Matematik

Påstående	S/F
A.	S
B.	F
C.	F
D.	F
E.	S

$x$	$0.9$	$0.99$	$0.999$	$\to 1$
$\frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1}$

$x$	$0.9$	$0.99$	$0.999$	$\to 1$
$\frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1}$	$5.900$	$5.990$	$5.999$	$\to 6$

$x$	$1.1$	$1.01$	$1.001$	$\to 1$
$\frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1}$	$6.100$	$6.010$	$6.001$	$\to 6$

Bestäm gränsvärdet.

x \to 5 lim \frac{3 x ^{2} - 3 0 x + 7 5}{x ^{2} - 2 5}

x \to 2 lim \frac{x ^{4} - 4 x ^{2}}{x ^{3} - 2 x ^{2}}

Vi börjar med att konstatera att uttrycket är odefinierat för x=5, eftersom nämnaren då blir 0. Vi undersöker om vi kan förenkla uttrycket så att det blir definierat för detta x. Genom att skriva om 25 i nämnaren som 5^2 kan vi faktorisera nämnaren med konjugatregeln.

Sedan kan vi bryta ut 3 ur täljaren och får då något som är skrivet på samma form som andra kvadreringsregeln. Vi faktoriserar täljaren och förkortar bråket.

Nu har vi ett uttryck som är definierat för x=5, vilket gör att vi kan bestämma gränsvärdet genom insättning.

Gränsvärdet är 0 när x går mot 5.

Här ser vi kanske inte direkt om uttrycket är definierat för x=2 eller inte, så vi kontrollerar först vad som händer med nämnaren om vi sätter in x=2: 2^3-2 * 2^2=8-2 * 4=0. Uttrycket är alltså odefinierat för detta x, så vi undersöker om det går att förenkla det. Alla termer i täljaren och nämnare innehåller faktorn x^2, vilket innebär att vi kan förenkla bråket genom att bryta ut den.

Täljaren kan ytterligare förenklas genom att skriva om 4 som en kvadrat och sedan använda konjugatregeln baklänges.

Vi har nu ett uttryck som är definierat för x = 2, och genom att sätta in detta kan vi bestämma gränsvärdet för det ursprungliga uttrycket.

Gränsvärdet lim _(x→ 2) x^4-4x^2x^3-2x^2 är alltså 4.

Bestäm gränsvärdet.

x \to \infty lim \frac{7 x ^{3} - 1 5}{x ^{3} + 9 x ^{2}}

x \to \infty lim \frac{4 x ^{5} + 2 x ^{3} + 1}{8 x ^{4} - 2 x ^{5}}

x \to \infty lim \frac{5 x ^{9} + 1}{2 x ^{9} - 1}

Eftersom x → ∞ använder vi metoden "Bestämma gränsvärde när x går mot oändligheten."

Förkorta med termen av högst grad

Vi har tredjegradspolynom både i täljare och nämnare. Därför väljer vi att förkorta uttrycket med x^3 och sedan förenkla.

Låt x gå mot oändligheten

När x går mot oändligheten kommer nämnarna x^3 och x att bli mycket stora, dvs. värdet på 15x^3 och 9x kommer närma sig 0 vilket innebär att båda dessa bråk går mot 0 då x → ∞.

Gränsvärdetlim _(x → ∞) 7x^3-15x^3+9x^2 är alltså 7.

Vi gör på motsvarande sätt här och förkortar med den term som har högst grad, dvs. x^5. Sedan låter vi x → ∞.

Vi fortsätter likadant. Termen med högst grad är x^9, så vi förkortar med detta och låter sedan x → ∞.

Gränsvärdet är alltså 2.5.

Bestäm gränsvärdet.

c \to 8 lim (c x + 9)

h \to 0 lim \frac{h}{h x ( x + h )}

Uttrycket är definierat när c=8 så vi kan bestämma gränsvärdet genom att "sätta in" c=8. Eftersom det är c som varierar kan man behandla x som en konstant.

Gränsvärdet är 8x+9.

Uttrycket är inte definierat för h=0 men vi kan förkorta bråket för att sedan beräkna gränsvärdet.

Iro stänger av ugnen i sitt kök efter att hon bakat sockerkaka. Temperaturen

T

i ugnen efter

x

timmar beskrivs av funktionen

T (x) = 151 \cdot 0.2 8^{x} + 24 .

Bestäm och tolka gränsvärdet

x \to \infty lim T (x) .

När x-värdet går mot oändligheten går x mot väldigt stora värden. Gränsvärdet är alltså ugnens temperatur när det gått väldigt många timmar sedan den stängdes av. För att beräkna gränsvärdet funderar vi på vad som händer när man sätter in stora x-värden i funktionsuttrycket 151* 0.28^x+24. När vi sätter in stora x så närmar sig 0.28^x värdet 0. Det innebär att även produkten 151* 0.28^x går mot 0. Det som återstår av funktionsuttrycket när x går mot oändligheten är konstanten 24. Gränsvärdet kan alltså bestämmas till lim _(x → ∞)(151 * 0.28^x+24)=24. Efter många timmar kommer temperaturen i ugnen alltså nå 24^(∘) C, vilken kan tolkas som temperaturen i köket där ugnen står. Detta eftersom temperaturskillnader utjämnas över tid.

Existerar gränsvärdet?

x \to 0 lim \frac{1}{x}

Motivera!

Eftersom insättning av x=0 ger nolldivision kan vi inte beräkna gränsvärdet genom att sätta in x=0 i uttrycket. Istället undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet när x är nära 0 genom att rita grafen till y= 1x med hjälp av grafräknaren.

Om vi närmar oss x=0 från vänster verkar grafen gå mot negativa oändligheten, och mot positiva oändligheten om vi går från höger. Detta beror på att kvoten blir ett mycket stort negativt tal om vi dividerar 1 med små negativa tal, respektive ett mycket stort positivt tal och om vi dividerar 1 med små positiva tal: 1/-0.000001=- 1 000 000 och 1/0.000001= 1 000 000. Eftersom oändligheten inte är ett tal säger man att gränsvärdet lim _(x → 0) 1/x

inte existerar.

Bestäm gränsvärdet numeriskt:

x \to 0 lim (\frac{1 + x}{x ^{2}} - \frac{1 - x}{x ^{2}}) .

Uttrycket är inte definierat för x=0 så vi kan inte sätta in x=0 och beräkna. Istället låter vi x närma sig 0 och beräknar gränsvärdet numeriskt. Vi börjar med att låta x närma sig 0 från vänster.

x	-0.1	-0.05	-0.01	→ 0
sqrt(1+x/x^2)-sqrt(1-x/x^2)	-1.0013	-1.00031	-1.00013	→ -1

När man går från vänster verkar funktionsvärdet gå mot -1. Nu gör vi samma sak men går från höger.

x	0.1	0.05	0.01	→ 0
sqrt(1+x/x^2)-sqrt(1-x/x^2)	1.00126	1.00031	1.000013	→ 1

När man närmar sig 0 från höger går funktionsvärdet mot 1. Höger- och vänstergränsvärdet är alltså olika vilket betyder att gränsvärdet saknas.

Isaac vill bestämma lutningen för funktionen $f (x) = x^{2}$ i punkten $A = (1, 1)$ som ligger på kurvan. Han vet inte hur man gör det, men han vet hur man beräknar lutningen för en rät linje. Därför väljer han en annan punkt på kurvan nära $A$ för att uppskatta lutningen.

Ställ upp ett uttryck för

k

-värdet för den räta linje som passerar igenom både

A

och

B

Isaac kommer på att han kan få ett mer exakt svar med ett gränsvärde! Han tänker krympa avståndet $Δ x$ tills det blir väldigt litet. Detta genom att låta $x$ -värdet för punkt $B,$ dvs. $a,$ närma sig $1 .$

Ställ upp ett gränsvärde som beskriver linjens

k

-värde i punkten

(1, 1) .

Bestäm därefter linjens

k

-värde genom att beräkna gränsvärdet.

Linjens k-värde kan skrivas om vi vet koordinaterna för två punkter (x_1,y_1) och (x_2,y_2): k=y_2-y_1/x_2-x_1. Vi vet att den ena punkten, punkt A, är (1,1) och att den andra punkten, B, har x-koordinaten a. B:s y-koordinat är samma sak som funktionsvärdet för andragradskurvan, vilket alltså är a^2. Vi använder detta.

Här använder vi uttrycket från förra uppgiften, men vi ställer upp ett gränsvärde där a → 1: k=lim _(a → 1) a^2-1/a-1. Vi börjar med att förenkla det rationella uttrycket med hjälp av konjugatregeln. Sedan låter vi a gå mot 1.

k-värdet för tangenten till punkten (1,1) är alltså 2.

Gränsvärden

Gränsvärde

Notation

Gränsvärde för definierade uttryck

Gränsvärde för odefinierade uttryck

Exempel

Vad är sant och vad är falskt om gränsvärden?

Påstående A

Påstående B

Påstående C

Påstående D

Påstående E

Sammanfattning

När existerar inte gränsvärden?

Oegentligt gränsvärde

Höger- och vänstergränsvärde är olika

Bestämma gränsvärde numeriskt

Bestämma gränsvärde när $x$ går mot ett tal

Bestämma gränsvärde när $x$ går mot oändligheten

Förkorta med termen av högst grad

Låt x gå mot oändligheten

Gränsvärden

Rekommenderade uppgifter

	7 sidor teori
	22 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.