Extrempunkter och derivatans nollställen

En vanlig tillämpning av derivata är att hitta extrempunkter till en funktion, $f(x).$ Genom att derivera funktionen och "sätta derivatan lika med $0$ ", dvs. genom att ställa upp ekvationen $f'(x) = 0,$

kan man algebraiskt ta reda på de stationära punkterna. Det är i många fall extrempunkterna man är intresserad av eftersom det är där man kan hitta maximala och minimala värden för funktionen t.ex. en maximal vinst eller en minimal kostnad.

Metod

Bestämma extrempunkter med derivata och teckentabell

Man kan bestämma lokala extrempunkter för en funktion, t.ex. $f(x)=3x^4-16x^3+24x^2,$ genom att avgöra i vilka punkter dess derivata är $0,$ och därefter undersöka extrempunkternas karaktär samt dess koordinater.

1

Derivera funktionen

Man börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.

f(x)=3x^4-16x^3+24x^2

Derivera funktion

f'(x)=D\left(3x^4\right)-D\left(16x^3\right)+D\left(24x^2\right)

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

f'(x)=12x^3-48x^2+48x

2

Bestäm derivatans nollställen

För att hitta derivatans nollställen sätter man den lika med $0$ och löser den ekvation man får. I detta fall får man $12x^3-48x^2+48x=0.$ Hur man löser $f'(x) = 0$ beror på hur ekvationen ser ut. Här använder man nollproduktmetoden.

12x^3-48x^2+48x=0

\left.\text{VL}\middle/12\right.=\left.\text{HL}\middle/12\right.

x^3-4x^2+4x=0

Bryt ut

x

x\left(x^2-4x+4\right)=0

Använd nollproduktmetoden

\begin{array}{lc} x=0 \\ x^2-4x+4=0 \end{array}

I det här fallet får man ut en lösning direkt, $x=0,$ samt en andragradsekvation som kan lösas med $pq$ -formeln.

x^2-4x+4=0

Använd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{\text{-}4}}, \, q={\color{#009600}{4}}

x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{4}}}

Beräkna kvot

x=\text{-}(\text{-}2)\pm\sqrt{(\text{-}2)^2-4}

\text{-} (\text{-} a)=a

x=2\pm\sqrt{(\text{-}2)^2-4}

Beräkna potens

x=2\pm\sqrt{4-4}

Förenkla termer

x=2\pm\sqrt{0}

Förenkla rot & termer

x=2

Lösningarna till ekvationen $f'(x)=0$ är alltså $x=0$ och en dubbelrot $x=2.$ Detta är derivatans nollställen, så för dessa $x$ -värden hittar man funktionens stationära punkter.

3

Avgör stationära punkters karaktär med teckentabell

För att avgöra vilken typ av stationära punkter man har hittat kan man göra en teckentabell. Man börjar med att fylla i informationen från föregående steg, dvs. att derivatan är $0$ när $x$ är $0$ och $2.$

$x$		$0$		$2$
$f'(x)$		$0$		$0$
$f(x)$	$\phantom{\searrow}$	$\phantom{Min}$	$\phantom{\nearrow}$	$\phantom{Ter.}$	$\phantom{\nearrow}$

För att bestämma de stationära punkternas karaktär tar man reda på om $f(x)$ är växande eller avtagande på intervallen mellan punkterna. Det gör man enklast genom att undersöka derivatans tecken på dessa intervall. Man väljer därför något $x$ -värde på respektive intervall och sätter in det i derivatan $f'(x).$ Här kan man t.ex. välja $x$ -värdena $\text{-}1,$ $1$ och $3.$

$x$	$12x^3-48x^2+48x$	$f'(x)$	$+/-$
${\color{#0000FF}{\text{-}1}}$	$12({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^3-48({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2+48({\color{#0000FF}{\text{-}1}})$	$\text{-} 12$	$-$
${\color{#0000FF}{1}}$	$12\cdot{\color{#0000FF}{1}}^3-48\cdot{\color{#0000FF}{1}}^2+48\cdot{\color{#0000FF}{1}}$	$12$	$+$
${\color{#0000FF}{3}}$	$12\cdot{\color{#0000FF}{3}}^3-48\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2+48\cdot{\color{#0000FF}{3}}$	$36$	$+$

Nu kan man fylla i derivatans tecken på teckentabellens andra rad. Samtidigt kan man fylla i grafens utseende på tredje raden med hjälp av detta. En positiv derivata ger en växande funktion ( $\nearrow$ ) och en negativ derivata ger en avtagande funktion ( $\searrow$ ).

$x$		$0$		$2$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	$\phantom{Min}$	$\nearrow$	$\phantom{Ter.}$	$\nearrow$

I tabellen ser man att funktionen är avtagande till vänster om $x=0$ och växande till höger, vilket innebär att det finns en minimipunkt där. Kring den stationära punkten i $x=2$ är funktionen istället växande på båda sidor, så där finns en terrasspunkt.

$x$		$0$		$2$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	Min	$\nearrow$	Ter.	$\nearrow$

4

Uteslut eventuella terrasspunkter

Målet här är att hitta funktionens extrempunkter men eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan man utesluta dem. Därför utesluts punken där $x=2.$

5

Bestäm extrempunkternas koordinater

Till sist bestämmer man koordinaterna för extrempunkterna. Eftersom man känner till deras $x$ -värden kan man sätter in dem i funktionen $f(x).$ Minimipunkten i exemplet har $x$ -värdet $0,$ vilket ger $y$ -värdet $f(0)=3\cdot0^4-16\cdot0^3-24\cdot0^2=0.$ Funktionens enda extrempunkt är alltså en minimipunkt med koordinaterna $(0,0).$ Man kan kontrollera detta genom att rita funktionen på räknaren.

Översiktligt kan arbetsgången för att hitta lokala extrempunkter beskrivas av följande flödesschema.

Flödesschema som visar hur man hittar lokala extrempunkter

Hitta funktionens stationära punkter

Uppgift

Bestäm koordinaterna för funktionens stationära punkter. $\begin{aligned} f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 3 \end{aligned}$

Lösning

Funktionen har stationära punkter i de $x$ -värden där funktionens derivata är $0.$ För att hitta derivatans nollställen måste vi först derivera $f(x).$

f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 3

Derivera funktion

f'(x) = D\left(x^3\right) - D\left(6x^2\right) - D\left(15x\right) + D\left(3\right)

D\left(x^n\right) = nx^{n-1}

f'(x) = 3x^2 - D\left(6x^2\right) - D\left(15x\right) + D\left(3\right)

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

f'(x) = 3x^2 - 12x - D\left(15x\right) + D\left(3\right)

D\left(ax\right) = a

f'(x) = 3x^2 - 12x - 15 + D\left(3\right)

D(a) = 0

f'(x) = 3x^2 - 12x - 15

Vi likställer nu derivatan med $0$ , dvs. vi sätter $f'(x)=0,$ och löser ekvationen.

3x^2 - 12x - 15=0

\left.\text{VL}\middle/3\right.=\left.\text{HL}\middle/3\right.

x^2 - 4x - 5 = 0

Använd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{\text{-} 4}}, \, q={\color{#009600}{\text{-} 5}}

x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 4}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 4}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-} 5}}\right)}

Beräkna kvot

x=\text{-}(\text{-}2)\pm\sqrt{(\text{-} 2)^2-(\text{-} 5)}

\text{-} (\text{-} a)=a

x=2\pm\sqrt{(\text{-} 2)^2-(\text{-} 5)}

Beräkna potens

x=2\pm\sqrt{4-(\text{-} 5)}

a-(\text{-} b)=a+b

x=2\pm\sqrt{9}

Beräkna rot

x = 2 \pm 3

Ange lösningar

\begin{array}{l}x_1=\text{-}1 \\ x_2=5 \end{array}

Funktionen har stationära punkter i $x = \text{-}1$ och $x = 5.$ För att bestämma motsvarande $y$ -koordinater sätter vi in $x$ -värdena i $f(x)$ . $\begin{aligned} f({\color{#0000FF}{\text{-}1}}) &= ({\color{#0000FF}{\text{-} 1}})^3 - 6\cdot ({\color{#0000FF}{\text{-} 1}})^2 - 15\cdot({\color{#0000FF}{\text{-} 1}}) + 3 = 11 \\[0.5em] f({\color{#0000FF}{5}}) &= {\color{#0000FF}{5}}^3 - 6\cdot {\color{#0000FF}{5}}^2 - 15\cdot{\color{#0000FF}{5}} + 3 = \text{-} 97 \end{aligned}$

De stationära punkternas koordinater är $(\text{-}1,11)$ och $(5, \text{-} 97).$

Visa lösning

Gör en teckentabell utifrån funktionen

Uppgift

Gör en teckentabell för funktionen $h(x)=2x^3-6x^2+7.$

Lösning

Vi vill hitta $x$ -värdena för de stationära punkterna, så vi börjar med att derivera funktionen.

h(x)=2x^3-6x^2+7

Derivera funktion

h'(x)=D\left(2x^3\right)-D\left(6x^2\right)+D(7)

D\left(ax^n\right) = a\cdot nx^{n-1}

h'(x)=6x^2-12x+D(7)

D(a) = 0

h(x)=6x^2-12x

Derivatan är $0$ i de stationära punkterna så vi sätter $h'(x)$ lika med $0$ och löser ekvationen med nollproduktmetoden.

6x^2-12x=0

Dela upp i faktorer

x\cdot 6x-x\cdot 12=0

Bryt ut

x

x(6x-12)=0

Använd nollproduktmetoden

\begin{array}{lc}x=0 & \text{(I)}\\ 6x-12=0 & \text{(II)}\end{array}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\text{VL}+12=\text{HL}+12

\begin{array}{l}x=0 \\ 6x=12 \end{array}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\left.\text{VL}\middle/6\right.=\left.\text{HL}\middle/6\right.

\begin{array}{l}x_1=0 \\ x_2=2 \end{array}

Vi fyller i derivatans nollställen i en teckentabell.

$x$		$0$		$2$
$h'(x)$		$0$		$0$
$h(x)$	$\phantom{\searrow}$	$\phantom{Min}$	$\phantom{\nearrow}$	$\phantom{Ter.}$	$\phantom{\nearrow}$

Nu tar vi reda på derivatans tecken mellan dess nollställen. Vi väljer något $x$ -värde på varje intervall och sätter in det i derivatan $h'(x).$ Det spelar ingen roll vilket $x$ -värde man väljer, så vi väljer $x$ som ger enkla beräkningar.

$x$	$6x^2-12x$	$h'(x)$	Tecken
${\color{#0000FF}{\text{-}1}}$	$6({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2-12({\color{#0000FF}{\text{-}1}})$	$18$	$+$
${\color{#0000FF}{1}}$	$6\cdot{\color{#0000FF}{1}}^2-12\cdot{\color{#0000FF}{1}}$	$\text{-}6$	$-$
${\color{#0000FF}{10}}$	$6\cdot{\color{#0000FF}{10}}^2-12\cdot{\color{#0000FF}{10}}$	$480$	$+$

Genom att fylla i derivatans tecken på den andra raden kan vi också avgöra grafens utseende.

$x$		$0$		$2$
$h'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$h(x)$	$\nearrow$	$\phantom{Max}$	$\searrow$	$\phantom{Min}$	$\nearrow$

Nu kan vi se att den vänstra extrempunkten är ett maximum och den högra är ett minimum.

$x$		$0$		$2$
$h'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$h(x)$	$\nearrow$	Max	$\searrow$	Min	$\nearrow$

Visa lösning

Hitta extremvärde med räknare

Räknaren kan användas för att hitta extremvärden till olika typer av funktioner.

Digitala verktyg

Skriv in funktionen på räknaren

Man börjar med att skriva in den funktion som man söker extremvärdet för i räknaren. Det gör man genom att trycka på knappen Y= och fylla i funktionen på en av raderna $\text{Y}_1$ , $\text{Y}_2$ osv. För att skriva $x$ använder man knappen $X,T, \theta, n.$

Digitala verktyg

Rita funktionen

Efter att funktionen skrivits in på räknaren trycker man på GRAPH för att rita ut den.

Det är viktigt att alla extrempunkter syns i fönstret. Om de inte gör det går det att ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Digitala verktyg

Bestäm extrempunkter

För att bestämma extrempunkter trycker man först på CALC (2nd + TRACE) och väljer sedan "minimum" eller "maximum" beroende på om man söker en minimi- eller maximipunkt.

Kurvan visas nu igen, och för att räknaren ska kunna bestämma extrempunkten måste man ange tre punkter på kurvan.

Left Bound: Ange en punkt till vänster om extrempunkten genom att använda räknarens höger- och vänsterpilar eller genom att skriva in ett $x$ -värde med sifferknapparna. Denna punkt anger det minsta $x$ -värdet i intervallet där räknaren letar efter extrempunkten. Tryck sedan på ENTER.

Right Bound: Ange en punkt till höger om extrempunkten på samma sätt som tidigare och tryck sedan på ENTER. Denna punkt anger det största $x$ -värdet i intervallet där räknaren letar efter extrempunkten.

Guess: Ange till sist en punkt i närheten av extrempunkten så att räknaren har en startpunkt när den utför sin sökning. Avsluta med ENTER.

Räknaren bestämmer nu närmevärden för extrempunktens koordinater och anger dem längst ner på skärmen.

För att hitta flera olika extrempunkter upprepar man proceduren.

Extrempunkter och derivatans nollställen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Bestämma extrempunkter med derivata och teckentabell

1

2

3

4

5

Exempel

Hitta funktionens stationära punkter

Exempel

Gör en teckentabell utifrån funktionen

Digitala verktyg

Skriv in funktionen på räknaren

Rita funktionen

Bestäm extrempunkter

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Extremvärden

1

2

3

4

5

Exempel

Hitta funktionens stationära punkter

Exempel

Gör en teckentabell utifrån funktionen

Digitala verktyg

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}