Extrempunkter och derivatans nollställen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}


En vanlig tillämpning av derivata är att hitta extrempunkter till en funktion, f(x).f(x). Genom att derivera funktionen och "sätta derivatan lika med 00", dvs. genom att ställa upp ekvationen f(x)=0, f'(x) = 0,

kan man algebraiskt ta reda på de stationära punkterna. Det är i många fall extrempunkterna man är intresserad av eftersom det är där man kan hitta maximala och minimala värden för funktionen t.ex. en maximal vinst eller en minimal kostnad.
Metod

Bestämma extrempunkter med derivata och teckentabell

Man kan bestämma lokala extrempunkter för en funktion, t.ex. f(x)=3x416x3+24x2,f(x)=3x^4-16x^3+24x^2, genom att avgöra i vilka punkter dess derivata är 0,0, och därefter undersöka extrempunkternas karaktär samt dess koordinater.

1

Derivera funktionen

Man börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.

f(x)=3x416x3+24x2f(x)=3x^4-16x^3+24x^2
f(x)=D(3x4)D(16x3)+D(24x2)f'(x)=D\left(3x^4\right)-D\left(16x^3\right)+D\left(24x^2\right)
f(x)=12x348x2+48xf'(x)=12x^3-48x^2+48x

2

Bestäm derivatans nollställen

För att hitta derivatans nollställen sätter man den lika med 00 och löser den ekvation man får. I detta fall får man 12x348x2+48x=0. 12x^3-48x^2+48x=0. Hur man löser f(x)=0f'(x) = 0 beror på hur ekvationen ser ut. Här använder man nollproduktmetoden.

12x348x2+48x=012x^3-48x^2+48x=0
x34x2+4x=0x^3-4x^2+4x=0
x(x24x+4)=0x\left(x^2-4x+4\right)=0
x=0x24x+4=0\begin{array}{lc} x=0 \\ x^2-4x+4=0 \end{array}

I det här fallet får man ut en lösning direkt, x=0,x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pqpq-formeln.

x24x+4=0x^2-4x+4=0
x=--42±(-42)24x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}4}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{4}}}
x=-(-2)±(-2)24x=\text{-}(\text{-}2)\pm\sqrt{(\text{-}2)^2-4}
x=2±(-2)24x=2\pm\sqrt{(\text{-}2)^2-4}
x=2±44x=2\pm\sqrt{4-4}
x=2±0x=2\pm\sqrt{0}
x=2x=2

Lösningarna till ekvationen f(x)=0f'(x)=0 är alltså x=0x=0 och en dubbelrot x=2.x=2. Detta är derivatans nollställen, så för dessa xx-värden hittar man funktionens stationära punkter.

3

Avgör stationära punkters karaktär med teckentabell

För att avgöra vilken typ av stationära punkter man har hittat kan man göra en teckentabell. Man börjar med att fylla i informationen från föregående steg, dvs. att derivatan är 00 när xx är 00 och 2.2.

xx 00 22
f(x)f'(x) 00 00
f(x)f(x) \phantom{\searrow} Min\phantom{Min} \phantom{\nearrow} Ter.\phantom{Ter.} \phantom{\nearrow}

För att bestämma de stationära punkternas karaktär tar man reda på om f(x)f(x) är växande eller avtagande på intervallen mellan punkterna. Det gör man enklast genom att undersöka derivatans tecken på dessa intervall. Man väljer därför något xx-värde på respektive intervall och sätter in det i derivatan f(x).f'(x). Här kan man t.ex. välja xx-värdena -1,\text{-}1, 11 och 3.3.

xx 12x348x2+48x12x^3-48x^2+48x f(x)f'(x) +/+/-
-1{\color{#0000FF}{\text{-}1}} 12(-1)348(-1)2+48(-1)12({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^3-48({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2+48({\color{#0000FF}{\text{-}1}}) -12\text{-} 12 -
1 {\color{#0000FF}{1}} 12134812+48112\cdot{\color{#0000FF}{1}}^3-48\cdot{\color{#0000FF}{1}}^2+48\cdot{\color{#0000FF}{1}} 1212 ++
3 {\color{#0000FF}{3}} 12334832+48312\cdot{\color{#0000FF}{3}}^3-48\cdot{\color{#0000FF}{3}}^2+48\cdot{\color{#0000FF}{3}} 3636 ++

Nu kan man fylla i derivatans tecken på teckentabellens andra rad. Samtidigt kan man fylla i grafens utseende på tredje raden med hjälp av detta. En positiv derivata ger en växande funktion (\nearrow) och en negativ derivata ger en avtagande funktion (\searrow).

xx 00 22
f(x)f'(x) - 00 ++ 00 ++
f(x)f(x) \searrow Min\phantom{Min} \nearrow Ter.\phantom{Ter.} \nearrow

I tabellen ser man att funktionen är avtagande till vänster om x=0x=0 och växande till höger, vilket innebär att det finns en minimipunkt där. Kring den stationära punkten i x=2x=2 är funktionen istället växande på båda sidor, så där finns en terrasspunkt.

xx 00 22
f(x)f'(x) - 00 ++ 00 ++
f(x)f(x) \searrow Min \nearrow Ter. \nearrow

4

Uteslut eventuella terrasspunkter

Målet här är att hitta funktionens extrempunkter men eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan man utesluta dem. Därför utesluts punken där x=2.x=2.

5

Bestäm extrempunkternas koordinater

Till sist bestämmer man koordinaterna för extrempunkterna. Eftersom man känner till deras xx-värden kan man sätter in dem i funktionen f(x).f(x). Minimipunkten i exemplet har xx-värdet 0,0, vilket ger yy-värdet f(0)=30416032402=0. f(0)=3\cdot0^4-16\cdot0^3-24\cdot0^2=0. Funktionens enda extrempunkt är alltså en minimipunkt med koordinaterna (0,0).(0,0). Man kan kontrollera detta genom att rita funktionen på räknaren.

tredjegradsfunktion med minimipunkt och terrasspunkt


Översiktligt kan arbetsgången för att hitta lokala extrempunkter beskrivas av följande flödesschema.

Flödesschema som visar hur man hittar lokala extrempunkter
Uppgift

Bestäm koordinaterna för funktionens stationära punkter. f(x)=x36x215x+3\begin{aligned} f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 3 \end{aligned}

Lösning
Funktionen har stationära punkter i de xx-värden där funktionens derivata är 0.0. För att hitta derivatans nollställen måste vi först derivera f(x).f(x).
f(x)=x36x215x+3f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 3
f(x)=D(x3)D(6x2)D(15x)+D(3)f'(x) = D\left(x^3\right) - D\left(6x^2\right) - D\left(15x\right) + D\left(3\right)
f(x)=3x2D(6x2)D(15x)+D(3)f'(x) = 3x^2 - D\left(6x^2\right) - D\left(15x\right) + D\left(3\right)
f(x)=3x212xD(15x)+D(3)f'(x) = 3x^2 - 12x - D\left(15x\right) + D\left(3\right)
f(x)=3x212x15+D(3)f'(x) = 3x^2 - 12x - 15 + D\left(3\right)
f(x)=3x212x15f'(x) = 3x^2 - 12x - 15
Vi likställer nu derivatan med 00, dvs. vi sätter f(x)=0,f'(x)=0, och löser ekvationen.
3x212x15=03x^2 - 12x - 15=0
x24x5=0x^2 - 4x - 5 = 0
x=--42±(-42)2(-5)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 4}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 4}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-} 5}}\right)}
x=-(-2)±(-2)2(-5)x=\text{-}(\text{-}2)\pm\sqrt{(\text{-} 2)^2-(\text{-} 5)}
x=2±(-2)2(-5)x=2\pm\sqrt{(\text{-} 2)^2-(\text{-} 5)}
x=2±4(-5)x=2\pm\sqrt{4-(\text{-} 5)}
x=2±9x=2\pm\sqrt{9}
x=2±3x = 2 \pm 3
x1=-1x2=5\begin{array}{l}x_1=\text{-}1 \\ x_2=5 \end{array}
Funktionen har stationära punkter i x=-1x = \text{-}1 och x=5.x = 5. För att bestämma motsvarande yy-koordinater sätter vi in xx-värdena i f(x)f(x). f(-1)=(-1)36(-1)215(-1)+3=11f(5)=53652155+3=-97\begin{aligned} f({\color{#0000FF}{\text{-}1}}) &= ({\color{#0000FF}{\text{-} 1}})^3 - 6\cdot ({\color{#0000FF}{\text{-} 1}})^2 - 15\cdot({\color{#0000FF}{\text{-} 1}}) + 3 = 11 \\[0.5em] f({\color{#0000FF}{5}}) &= {\color{#0000FF}{5}}^3 - 6\cdot {\color{#0000FF}{5}}^2 - 15\cdot{\color{#0000FF}{5}} + 3 = \text{-} 97 \end{aligned}

De stationära punkternas koordinater är (-1,11)(\text{-}1,11) och (5,-97).(5, \text{-} 97).

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Gör en teckentabell för funktionen h(x)=2x36x2+7. h(x)=2x^3-6x^2+7.

Lösning
Vi vill hitta xx-värdena för de stationära punkterna, så vi börjar med att derivera funktionen.
h(x)=2x36x2+7h(x)=2x^3-6x^2+7
h(x)=D(2x3)D(6x2)+D(7)h'(x)=D\left(2x^3\right)-D\left(6x^2\right)+D(7)
h(x)=6x212x+D(7)h'(x)=6x^2-12x+D(7)
h(x)=6x212xh(x)=6x^2-12x

Derivatan är 00 i de stationära punkterna så vi sätter h(x)h'(x) lika med 00 och löser ekvationen med nollproduktmetoden.

6x212x=06x^2-12x=0
Dela upp i faktorer
x6xx12=0x\cdot 6x-x\cdot 12=0
x(6x12)=0x(6x-12)=0
x=0(I)6x12=0(II)\begin{array}{lc}x=0 & \text{(I)}\\ 6x-12=0 & \text{(II)}\end{array}
x=06x=12\begin{array}{l}x=0 \\ 6x=12 \end{array}
x1=0x2=2\begin{array}{l}x_1=0 \\ x_2=2 \end{array}

Vi fyller i derivatans nollställen i en teckentabell.

xx 00 22
h(x)h'(x) 00 00
h(x)h(x) \phantom{\searrow} Min\phantom{Min} \phantom{\nearrow} Ter.\phantom{Ter.} \phantom{\nearrow}

Nu tar vi reda på derivatans tecken mellan dess nollställen. Vi väljer något xx-värde på varje intervall och sätter in det i derivatan h(x).h'(x). Det spelar ingen roll vilket xx-värde man väljer, så vi väljer xx som ger enkla beräkningar.

xx 6x212x6x^2-12x h(x)h'(x) Tecken
-1{\color{#0000FF}{\text{-}1}} 6(-1)212(-1)6({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2-12({\color{#0000FF}{\text{-}1}}) 1818 ++
1 {\color{#0000FF}{1}} 6121216\cdot{\color{#0000FF}{1}}^2-12\cdot{\color{#0000FF}{1}} -6\text{-}6 -
10 {\color{#0000FF}{10}} 610212106\cdot{\color{#0000FF}{10}}^2-12\cdot{\color{#0000FF}{10}} 480480 ++

Genom att fylla i derivatans tecken på den andra raden kan vi också avgöra grafens utseende.

xx 00 22
h(x)h'(x) ++ 00 - 00 ++
h(x)h(x) \nearrow Max\phantom{Max} \searrow Min\phantom{Min} \nearrow

Nu kan vi se att den vänstra extrempunkten är ett maximum och den högra är ett minimum.

xx 00 22
h(x)h'(x) ++ 00 - 00 ++
h(x)h(x) \nearrow Max \searrow Min \nearrow
Visa lösning Visa lösning

Räknaren kan användas för att hitta extremvärden till olika typer av funktioner.

Digitala verktyg

Skriv in funktionen på räknaren

Man börjar med att skriva in den funktion som man söker extremvärdet för i räknaren. Det gör man genom att trycka på knappen Y= och fylla i funktionen på en av raderna Y1\text{Y}_1, Y2\text{Y}_2 osv. För att skriva xx använder man knappen X,T,θ,n.X,T, \theta, n.

visa lista med funktioner på räknare
Digitala verktyg

Rita funktionen

Efter att funktionen skrivits in på räknaren trycker man på GRAPH för att rita ut den.

visa andragradskurva på räknare

Det är viktigt att alla extrempunkter syns i fönstret. Om de inte gör det går det att ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Digitala verktyg

Bestäm extrempunkter

För att bestämma extrempunkter trycker man först på CALC (2nd + TRACE) och väljer sedan "minimum" eller "maximum" beroende på om man söker en minimi- eller maximipunkt.

visa calculate på räknare

Kurvan visas nu igen, och för att räknaren ska kunna bestämma extrempunkten måste man ange tre punkter på kurvan.

  • Left Bound: Ange en punkt till vänster om extrempunkten genom att använda räknarens höger- och vänsterpilar eller genom att skriva in ett xx-värde med sifferknapparna. Denna punkt anger det minsta xx-värdet i intervallet där räknaren letar efter extrempunkten. Tryck sedan på ENTER.
Räknarfönster med graf och vänstergräns
  • Right Bound: Ange en punkt till höger om extrempunkten på samma sätt som tidigare och tryck sedan på ENTER. Denna punkt anger det största xx-värdet i intervallet där räknaren letar efter extrempunkten.
Räknarfönster med graf och högergräns
  • Guess: Ange till sist en punkt i närheten av extrempunkten så att räknaren har en startpunkt när den utför sin sökning. Avsluta med ENTER.
visa guess på räknare

Räknaren bestämmer nu närmevärden för extrempunktens koordinater och anger dem längst ner på skärmen.

visa minimum på räknare
För att hitta flera olika extrempunkter upprepar man proceduren.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet visas grafen till en funktion.

a
Ange ungefärliga koordinater för funktionens stationära punkter.
b
Ange ungefärliga koordinater för funktionens extrempunkter.
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm koordinaterna för följande funktioners stationära punkter med hjälp av derivata.

a
f(x)=x2+10x+2f(x)=x^2+10x+2
b
g(x)=x327x1g(x)=x^3-27x-1
c
h(x)=x432x+9h(x)=x^4-32x+9
d
p(x)=x36x215xp(x)=x^3-6x^2-15x
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bo använder derivata för att rita en teckentabell till andragradsfunktionen f(x).f(x).

Teckentabell som visar en felaktig representation av andragradsfunktionen f(x)=-x^2+2x-1

Bos lärare Lisa säger: "Här har det blivit lite fel Bosse". Vad är det som är fel?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm extrempunkterna till f(x)=x39x221x+2f(x)=x^3-9x^2-21x+2 och avgör även deras karaktär.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de stationära punkterna till följande funktioner och avgör deras karaktär.

a
f(x)=x3+15x2+63x+7f(x)=x^3+15x^2+63x+7
b
g(x)=x36x2+12x1g(x)=x^3-6x^2+12x-1
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm den stationära punkten till funktionen f(x)=x33 f(x)=\dfrac{x^3}{3} och avgör med hjälp av en teckentabell vilken karaktär den har.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
Vilka stationära punkter har funktionen?

f(x)=x3+6x2+54x+9 f(x) = x^3 + 6x^2 + 54x + 9

b
Rita funktionen på din räknare. Stämmer grafen med resultatet från förra uppgiften?
1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För en funktion ff gäller att f(0)=0.f'(0)=0. Ge ett exempel på hur funktionen kan se ut.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm extrempunkterna och deras karaktär för följande funktion genom att använda derivata och teckentabell. f(x)=2x44x3+4 f(x)=2x^4-4x^3+4

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För en tredjegradsfunktion ff gäller att f(3)=0f'(3)=0 och att f(3)=2.f(3)=2. Ge tre exempel på hur ff kan se ut.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Elin har ritat grafen till f(x)=3x2+2f(x)=3x^2+2 och ser att funktionen har en extrempunkt i x=0.x=0. Hon påstår då att alla andragradsfunktioner på formen f(x)=ax2+C, f(x)=ax^2+C, där aa och CC är konstanter, kommer ha en extrempunkt i x=0.x=0. Stämmer påståendet?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Yousef tittar på andragradsfunktionen f(x)=x2+5x+6. f(x) = x^2 + 5x + 6. Han säger sedan: "Koefficienten till x2x^2-termen är positiv, nämligen 1.1. Därför har f(x)f(x) en minimipunkt." Visa att Yousefs påstående stämmer.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm aa så att funktionen f(x)=x2+ax+9f(x) = x^2 + ax + 9 har en extrempunkt i x=8.x = 8.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm eventuella stationära punkter till funktionen h(x)=exe2x2 h(x) = e^x - \dfrac{e^{2x}}{2} och avgör deras karaktär.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)=ax3+bx2f(x) = ax^3 + bx^2 har extrempunkter i (-1,2)(\text{-}1, 2) och (0,0).(0,0). Bestäm om dessa är maximi- eller minimipunkter.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa med hjälp av derivata att en andragradsfunktion måste ha exakt ett maximum eller ett minimum.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}