Logga in
| 6 sidor teori |
| 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Man kan bestämma lokala extrempunkter för en funktion, t.ex. f(x)=3x4−16x3+24x2, genom att avgöra i vilka punkter dess derivata är 0, och därefter undersöka extrempunkternas karaktär samt dess koordinater.
Man börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
VL/12=HL/12
Bryt ut x
Använd nollproduktmetoden
I det här fallet får man ut en lösning direkt, x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pq-formeln.
Använd pq-formeln: p=−4,q=4
Beräkna kvot
−(−a)=a
Beräkna potens
Subtrahera term
Förenkla rot & termer
Lösningarna till ekvationen f′(x)=0 är alltså x=0 och en dubbelrot x=2. Detta är derivatans nollställen, så för dessa x-värden hittar man funktionens stationära punkter.
För att avgöra vilken typ av stationära punkter man har hittat kan man göra en teckentabell. Man börjar med att fylla i informationen från föregående steg, dvs. att derivatan är 0 när x är 0 och 2.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
f′(x) | 0 | 0 | |||
f(x) | ↘ | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
För att bestämma de stationära punkternas karaktär tar man reda på om f(x) är växande eller avtagande på intervallen mellan punkterna. Det gör man enklast genom att undersöka derivatans tecken på dessa intervall. Man väljer därför något x-värde på respektive intervall och sätter in det i derivatan f′(x). Här kan man t.ex. välja x-värdena −1, 1 och 3.
x | 12x3−48x2+48x | f′(x) | +/− |
---|---|---|---|
−1 | 12(−1)3−48(−1)2+48(−1) | −12 | − |
1 | 12⋅13−48⋅12+48⋅1 | 12 | + |
3 | 12⋅33−48⋅32+48⋅3 | 36 | + |
Nu kan man fylla i derivatans tecken på teckentabellens andra rad. Samtidigt kan man fylla i grafens utseende på tredje raden med hjälp av detta. En positiv derivata ger en växande funktion (↗) och en negativ derivata ger en avtagande funktion (↘).
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
f′(x) | − | 0 | + | 0 | + |
f(x) | ↘ | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
I tabellen ser man att funktionen är avtagande till vänster om x=0 och växande till höger, vilket innebär att det finns en minimipunkt där. Kring den stationära punkten i x=2 är funktionen istället växande på båda sidor, så där finns en terrasspunkt.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
f′(x) | − | 0 | + | 0 | + |
f(x) | ↘ | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
Målet här är att hitta funktionens extrempunkter men eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan man utesluta dem. Därför utesluts punken där x=2.
Översiktligt kan arbetsgången för att hitta lokala extrempunkter beskrivas av följande flödesschema.
Derivera funktion
D(xn)=nxn−1
D(axn)=a⋅nxn−1
D(ax)=a
D(a)=0
VL/3=HL/3
Använd pq-formeln: p=−4,q=−5
Beräkna kvot
−(−a)=a
Beräkna potens
a−(−b)=a+b
Beräkna rot
Ange lösningar
De stationära punkternas koordinater är (−1,11) och (5,−97).
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
D(a)=0
Derivatan är 0 i de stationära punkterna så vi sätter h′(x) lika med 0 och löser ekvationen med nollproduktmetoden.
Dela upp i faktorer
Bryt ut x
Använd nollproduktmetoden
(II): VL+12=HL+12
(II): VL/6=HL/6
Vi fyller i derivatans nollställen i en teckentabell.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
h′(x) | 0 | 0 | |||
h(x) | ↘ | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
Nu tar vi reda på derivatans tecken mellan dess nollställen. Vi väljer något x-värde på varje intervall och sätter in det i derivatan h′(x). Det spelar ingen roll vilket x-värde man väljer, så vi väljer x som ger enkla beräkningar.
x | 6x2−12x | h′(x) | Tecken |
---|---|---|---|
−1 | 6(−1)2−12(−1) | 18 | + |
1 | 6⋅12−12⋅1 | −6 | − |
10 | 6⋅102−12⋅10 | 480 | + |
Genom att fylla i derivatans tecken på den andra raden kan vi också avgöra grafens utseende.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
h′(x) | + | 0 | − | 0 | + |
h(x) | ↗ | Max | ↘ | Min | ↗ |
Nu kan vi se att den vänstra extrempunkten är ett maximum och den högra är ett minimum.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
h′(x) | + | 0 | − | 0 | + |
h(x) | ↗ | Max | ↘ | Min | ↗ |
Räknaren kan användas för att hitta extremvärden till olika typer av funktioner.
Det är viktigt att alla extrempunkter syns i fönstret. Om de inte gör det går det att ändra inställningarna för koordinatsystemet.
Kurvan visas nu igen, och för att räknaren ska kunna bestämma extrempunkten måste man ange tre punkter på kurvan.
Räknaren bestämmer nu närmevärden för extrempunktens koordinater och anger dem längst ner på skärmen.
Funktionen h(x) ser möjligen lite klurig ut, men vi kan, som vanligt, bestämma de stationära punkterna med derivata och teckentabell. Vi börjar med att derivera funktionen.
Vi måste nu lösa ekvationen h'(x) = 0 för att hitta de x-värden där det finns stationära punkter.
Det finns alltså en stationär punkt i x = 0 och för att bestämma dess karaktär ställer vi upp en teckentabell.
x | 0 | ||
---|---|---|---|
h'(x) | 0 | ||
h(x) |
Vi beräknar derivatans värde för något x mindre än 0 och något större än 0, t.ex. x = -1 och x = 1.
x | e^x - e^(2x) | f'(x) | Tecken |
---|---|---|---|
-1 | e^(-1) - e^(2( -1)) | 0.23254... | + |
1 | e^1 - e^(2 * 1) | -4.67077... | - |
Derivatan är positiv före x = 0 och negativ efter, vilket innebär att funktionen växer fram till den stationära punkten och sedan avtar. Vi för in detta i teckentabellen.
x | 0 | ||
---|---|---|---|
h'(x) | + | 0 | - |
h(x) | ↗ | ↘ |
Att funktionen växer till vänster om x = 0 och avtar till höger betyder att det finns en maximipunkt där.
x | 0 | ||
---|---|---|---|
h'(x) | + | 0 | - |
h(x) | ↗ | Max | ↘ |
Nu behöver vi bara beräkna y-värdet för maxpunkten, och det gör vi genom att sätta in x = 0 i h(x).
Funktionen h(x) har alltså ett maximum i (0, 0.5).
För att kunna avgöra vilken sorts extrempunkter som finns i (-1, 2) och (0,0) måste vi först bestämma de okända konstanterna a och b i funktionen. Det finns 2 okända så vi måste ställa upp minst 2 ekvationer för att kunna lösa ut dem. En av dessa kan vi få av att funktionen går igenom punkten (-1, 2), vilket innebär att sambandet f(-1) = 2 måste gälla. Vi ställer upp den ekvationen.
Nu har vi ett samband mellan a och b, men behöver ytterligare ett för att kunna bestämma dem. Att funktionens graf går igenom origo, hjälper oss tyvärr inte eftersom f(0) = a* 0^3 + b* 0^2 = 0. Funktionen går alltså igenom origo oavsett vilka värden a och b har. Vi vet dock att de givna punkterna är extrempunkter, vilket innebär att derivatan för deras x-värden måste vara 0. Ekvationerna f'(-1) = 0 och f'(0) = 0 måste alltså gälla. Vi deriverar f(x) för att kunna använda detta.
Nu när vi har derivatan kan vi ställa upp ekvationen f'(-1) = 0.
På samma sätt som för f(x) ger inte f'(0)=0 någon ny information, men som tur är behöver vi inte det eftersom vi redan har två samband mellan a och b. Vi kan alltså ställa upp ett ekvationssystem.
Nu kan vi sätta in a och b i f'(x) för att bestämma derivatans funktion. f'(x) = a* 3x^2 + b * 2x = 4* 3x^2 + 6 * 2x = 12x^2 + 12x Vi vill bestämma extrempunkternas karaktär, så vi ställer upp en teckentabell.
x | -1 | 0 | |||
---|---|---|---|---|---|
f'(x) | 0 | 0 | |||
f(x) |
Vi behöver nu derivatans värde i en punkt till vänster om extrempunkterna, en till höger och en mellan dem. Vi väljer t.ex. x = -2, x = -0.5 och x = 1 och sätter in i f'(x).
x | 12x^2 + 12x | f'(x) | Tecken |
---|---|---|---|
-2 | 12( -2)^2 + 12( -2) | 24 | + |
-0.5 | 12( -0.5)^2 + 12( -0.5) | -3 | - |
1 | 12 * 1^2 + 12 * 1 | 24 | + |
Derivatan är först positiv, sedan negativ och sedan positiv igen. Vi för in detta i teckentabellen
x | -1 | 0 | |||
---|---|---|---|---|---|
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Grafen är alltså växande fram till x = -1 för att sedan blir avtagande mellan de två punkterna och till sist börja växa igen efter x = 0. Det innebär att det finns ett maximum vid x = -1 och ett minimum vid x = 0.
x | -1 | 0 | |||
---|---|---|---|---|---|
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | Max | ↘ | Min | ↗ |
Det finns alltså ett maximum i punkten (-1, 2) och ett minimum i punkten (0,0).
En generell andragradsfunktion skrivs f(x)=ax^2+bx+c, där a och b är koefficienter till variabeltermerna och c är en konstant. För att funktionen ska ha precis ett min eller max måste derivatan f'(x) vara lika med 0 i endast ett x-värde och dessutom måste den byta tecken där. Vi börjar därför med att derivera funktionen.
Eftersom a och b är konstanter är f'(x)=2ax+b en rät linje. Räta linjer skär x-axeln i precis en punkt och den byter tecken där, t.ex. som i koordinatsystemet. Detta betyder att derivatan har ett nollställe och att den byter tecken där vilket innebär att funktionen har en extrempunkt för det x-värdet.
Om a=0 blir f'(x) horisontell och har visserligen inga nollställen, men då försvinner x^2-termen och f(x) blir ingen andragradsfunktion. Därför är detta fall inte intressant.