Extrempunkter och derivatans nollställen

För att kunna avgöra vilken sorts extrempunkter som finns i (-1, 2) och (0,0) måste vi först bestämma de okända konstanterna a och b i funktionen. Det finns 2 okända så vi måste ställa upp minst 2 ekvationer för att kunna lösa ut dem. En av dessa kan vi få av att funktionen går igenom punkten (-1, 2), vilket innebär att sambandet f(-1) = 2 måste gälla. Vi ställer upp den ekvationen.

Nu har vi ett samband mellan a och b, men behöver ytterligare ett för att kunna bestämma dem. Att funktionens graf går igenom origo, hjälper oss tyvärr inte eftersom f(0) = a* 0^3 + b* 0^2 = 0. Funktionen går alltså igenom origo oavsett vilka värden a och b har. Vi vet dock att de givna punkterna är extrempunkter, vilket innebär att derivatan för deras x-värden måste vara 0. Ekvationerna f'(-1) = 0 och f'(0) = 0 måste alltså gälla. Vi deriverar f(x) för att kunna använda detta.

Nu när vi har derivatan kan vi ställa upp ekvationen f'(-1) = 0.

På samma sätt som för f(x) ger inte f'(0)=0 någon ny information, men som tur är behöver vi inte det eftersom vi redan har två samband mellan a och b. Vi kan alltså ställa upp ett ekvationssystem.

Nu kan vi sätta in a och b i f'(x) för att bestämma derivatans funktion. f'(x) = a* 3x^2 + b * 2x = 4* 3x^2 + 6 * 2x = 12x^2 + 12x Vi vill bestämma extrempunkternas karaktär, så vi ställer upp en teckentabell.

Vi behöver nu derivatans värde i en punkt till vänster om extrempunkterna, en till höger och en mellan dem. Vi väljer t.ex. x = -2, x = -0,5 och x = 1 och sätter in i f'(x).

Derivatan är först positiv, sedan negativ och sedan positiv igen. Vi för in detta i teckentabellen

Grafen är alltså växande fram till x = -1 för att sedan blir avtagande mellan de två punkterna och till sist börja växa igen efter x = 0. Det innebär att det finns ett maximum vid x = -1 och ett minimum vid x = 0.

Det finns alltså ett maximum i punkten (-1, 2) och ett minimum i punkten (0,0).

En generell andragradsfunktion skrivs f(x)=ax^2+bx+c, där a och b är koefficienter till variabeltermerna och c är en konstant. För att funktionen ska ha precis ett min eller max måste derivatan f'(x) vara lika med 0 i endast ett x-värde och dessutom måste den byta tecken där. Vi börjar därför med att derivera funktionen.

Eftersom a och b är konstanter är f'(x)=2ax+b en rät linje. Räta linjer skär x-axeln i precis en punkt och den byter tecken där, t.ex. som i koordinatsystemet. Detta betyder att derivatan har ett nollställe och att den byter tecken där vilket innebär att funktionen har en extrempunkt för det x-värdet.

Om a=0 blir f'(x) horisontell och har visserligen inga nollställen, men då försvinner x^2-termen och f(x) blir ingen andragradsfunktion. Därför är detta fall inte intressant.