Extrempunkter och Derivatans Nollställen: Utforska Maximi- och Minimipunkter

Lokal maximipunkt
$x$		$a$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$
$f (x)$	$↗$	max	$↘$

Lokal maximipunkt

x

a

f^{'} (x)

+

0

-

f (x)

↗

max

↘

Lokal minimipunkt
$x$		$b$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	min	$↗$

Lokal minimipunkt

x

b

f^{'} (x)

-

0

+

f (x)

↘

min

↗

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$		$0$		$0$
$f (x)$	$↘$	$M i n$	$↗$	$T e r .$	$↗$

x

0

2

f^{'} (x)

0

0

f (x)

↘

M i n

↗

T e r .

↗

$x$	$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$	$f^{'} (x)$	$+ / -$
$- 1$	$12 (- 1)^{3} - 48 (- 1)^{2} + 48 (- 1)$	$- 12$	$-$
$1$	$12 \cdot 1^{3} - 48 \cdot 1^{2} + 48 \cdot 1$	$12$	$+$
$3$	$12 \cdot 3^{3} - 48 \cdot 3^{2} + 48 \cdot 3$	$36$	$+$

x

12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x

f^{'} (x)

+ / -

- 1

12 (- 1)^{3} - 48 (- 1)^{2} + 48 (- 1)

- 12

-

1

12 \cdot 1^{3} - 48 \cdot 1^{2} + 48 \cdot 1

12

+

3

12 \cdot 3^{3} - 48 \cdot 3^{2} + 48 \cdot 3

36

+

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	$M i n$	$↗$	$T e r .$	$↗$

x

0

2

f^{'} (x)

-

0

+

0

+

f (x)

↘

M i n

↗

T e r .

↗

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	Min	$↗$	Ter.	$↗$

x

0

2

f^{'} (x)

-

0

+

0

+

f (x)

↘

Min

↗

Ter.

↗

$x$		$0$		$2$
$h^{'} (x)$		$0$		$0$
$h (x)$	$↘$	$M i n$	$↗$	$T e r .$	$↗$

x

0

2

h^{'} (x)

0

0

h (x)

↘

M i n

↗

T e r .

↗

$x$	$6 x^{2} - 12 x$	$h^{'} (x)$	Tecken
$- 1$	$6 (- 1)^{2} - 12 (- 1)$	$18$	$+$
$1$	$6 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1$	$- 6$	$-$
$10$	$6 \cdot 10^{2} - 12 \cdot 10$	$480$	$+$

x

6 x^{2} - 12 x

h^{'} (x)

Tecken

- 1

6 (- 1)^{2} - 12 (- 1)

18

+

1

6 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1

- 6

-

10

6 \cdot 10^{2} - 12 \cdot 10

480

+

$x$		$0$		$2$
$h^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$h (x)$	$↗$	$M a x$	$↘$	$M i n$	$↗$

x

0

2

h^{'} (x)

+

0

-

0

+

h (x)

↗

M a x

↘

M i n

↗

$x$		$0$		$2$
$h^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$h (x)$	$↗$	Max	$↘$	Min	$↗$

x

0

2

h^{'} (x)

+

0

-

0

+

h (x)

↗

Max

↘

Min

↗

Bestäm eventuella stationära punkter till funktionen

h (x) = e^{x} - \frac{e ^{2 x}}{2}

och avgör deras karaktär.

Funktionen h(x) ser möjligen lite klurig ut, men vi kan, som vanligt, bestämma de stationära punkterna med derivata och teckentabell. Vi börjar med att derivera funktionen.

Vi måste nu lösa ekvationen h'(x) = 0 för att hitta de x-värden där det finns stationära punkter.

Det finns alltså en stationär punkt i x = 0 och för att bestämma dess karaktär ställer vi upp en teckentabell.

x		0
h'(x)		0
h(x)

Vi beräknar derivatans värde för något x mindre än 0 och något större än 0, t.ex. x = -1 och x = 1.

x	e^x - e^(2x)	f'(x)	Tecken
-1	e^(-1) - e^(2( -1))	0,23254...	+
1	e^1 - e^(2 * 1)	-4,67077...	-

Derivatan är positiv före x = 0 och negativ efter, vilket innebär att funktionen växer fram till den stationära punkten och sedan avtar. Vi för in detta i teckentabellen.

x		0
h'(x)	+	0	-
h(x)	↗		↘

Att funktionen växer till vänster om x = 0 och avtar till höger betyder att det finns en maximipunkt där.

x		0
h'(x)	+	0	-
h(x)	↗	Max	↘

Nu behöver vi bara beräkna y-värdet för maxpunkten, och det gör vi genom att sätta in x = 0 i h(x).

Funktionen h(x) har alltså ett maximum i (0; 0,5).

Funktionen

f (x) = a x^{3} + b x^{2}

har extrempunkter i

(- 1, 2)

och

(0, 0) .

Bestäm om dessa är maximi- eller minimipunkter.

För att kunna avgöra vilken sorts extrempunkter som finns i (-1, 2) och (0,0) måste vi först bestämma de okända konstanterna a och b i funktionen. Det finns 2 okända så vi måste ställa upp minst 2 ekvationer för att kunna lösa ut dem. En av dessa kan vi få av att funktionen går igenom punkten (-1, 2), vilket innebär att sambandet f(-1) = 2 måste gälla. Vi ställer upp den ekvationen.

Nu har vi ett samband mellan a och b, men behöver ytterligare ett för att kunna bestämma dem. Att funktionens graf går igenom origo, hjälper oss tyvärr inte eftersom f(0) = a* 0^3 + b* 0^2 = 0. Funktionen går alltså igenom origo oavsett vilka värden a och b har. Vi vet dock att de givna punkterna är extrempunkter, vilket innebär att derivatan för deras x-värden måste vara 0. Ekvationerna f'(-1) = 0 och f'(0) = 0 måste alltså gälla. Vi deriverar f(x) för att kunna använda detta.

Nu när vi har derivatan kan vi ställa upp ekvationen f'(-1) = 0.

På samma sätt som för f(x) ger inte f'(0)=0 någon ny information, men som tur är behöver vi inte det eftersom vi redan har två samband mellan a och b. Vi kan alltså ställa upp ett ekvationssystem.

Nu kan vi sätta in a och b i f'(x) för att bestämma derivatans funktion. f'(x) = a* 3x^2 + b * 2x = 4* 3x^2 + 6 * 2x = 12x^2 + 12x Vi vill bestämma extrempunkternas karaktär, så vi ställer upp en teckentabell.

x	-1	0
f'(x)	0	0
f(x)

Vi behöver nu derivatans värde i en punkt till vänster om extrempunkterna, en till höger och en mellan dem. Vi väljer t.ex. x = -2, x = -0,5 och x = 1 och sätter in i f'(x).

x	12x^2 + 12x	f'(x)	Tecken
-2	12( -2)^2 + 12( -2)	24	+
-0,5	12( -0,5)^2 + 12( -0,5)	-3	-
1	12 * 1^2 + 12 * 1	24	+

Derivatan är först positiv, sedan negativ och sedan positiv igen. Vi för in detta i teckentabellen

x		-1		0
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗		↘		↗

Grafen är alltså växande fram till x = -1 för att sedan blir avtagande mellan de två punkterna och till sist börja växa igen efter x = 0. Det innebär att det finns ett maximum vid x = -1 och ett minimum vid x = 0.

x		-1		0
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	Max	↘	Min	↗

Det finns alltså ett maximum i punkten (-1, 2) och ett minimum i punkten (0,0).

Stämmer det att en andragradsfunktion måste ha exakt ett maximum eller ett minimum? Motivera mha derivata.

En generell andragradsfunktion skrivs f(x)=ax^2+bx+c, där a och b är koefficienter till variabeltermerna och c är en konstant. För att funktionen ska ha precis ett min eller max måste derivatan f'(x) vara lika med 0 i endast ett x-värde och dessutom måste den byta tecken där. Vi börjar därför med att derivera funktionen.

Eftersom a och b är konstanter är f'(x)=2ax+b en rät linje. Räta linjer skär x-axeln i precis en punkt och den byter tecken där, t.ex. som i koordinatsystemet. Detta betyder att derivatan har ett nollställe och att den byter tecken där vilket innebär att funktionen har en extrempunkt för det x-värdet.

Om a=0 blir f'(x) horisontell och har visserligen inga nollställen, men då försvinner x^2-termen och f(x) blir ingen andragradsfunktion. Därför är detta fall inte intressant.

Extrempunkter och derivatans nollställen

Förkunskaper

Lokal maximipunkt

Lokal minimipunkt

Extrempunkt

Terrasspunkt

Utforska kubiska funktioner

Att bestämma beteendet utifrån en teckentabell

Bestämma extrempunkter med derivata och teckentabell

Att hitta extrempunkter med derivata

Hitta funktionens stationära punkter

Ledtråd

Lösning

Gör en teckentabell utifrån funktionen

Ledtråd

Lösning

Hitta extremvärde med räknare

Finding extreme values using a calculator

Ledtråd

Lösning

Extrempunkter och derivatans nollställen

Rekommenderade uppgifter

	13 sidor teori
	16 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.