Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Grafens utseende och derivatans tecken

Begrepp

Stationära punkter och derivatans nollställen

De xx-värden där derivatan till en funktion är 00 kallas derivatans nollställen. Dessa kan användas för att bestämma funktionens stationära punkter, dvs. maximi-, minimi- och terrasspunkter, eftersom derivatan är 00 där.

Genom att undersöka derivatans tecken till vänster och höger om de stationära punkterna kan man bestämma deras karaktär, dvs. om de är maximi-, minimi- eller terrasspunkter. Om det är olika tecken på båda sidor är det en extrempunkt och om tecknen är lika måste det vara en terrasspunkt. Grafiskt kan man se det som att funktionen byter riktning vid extrempunkter, men inte vid terrasspunkter.

Begrepp

Teckentabell

En teckentabell är ett verktyg för att beskriva en grafs utseende och sambandet med dess derivata. Nedan syns ett exempel på en teckentabell för en funktion, f.f.

xx -2\text{-}2 11
f(x)f'(x) ++ 00 - 00 ++
f(x)f(x) \nearrow Max \searrow Min \nearrow

Tabellen förklarar inte i detalj hur grafen ser ut, men den beskriver de mest utmärkande dragen. I den finns t.ex. information om karaktären hos eventuella stationära punkter och var funktionen växer och avtar. Den här teckentabellen kan exempelvis tillhöra grafen nedan.

Metod

Göra en teckentabell utifrån graf

Grafen visar femtegradsfunktionen f(x).f(x).

Genom att göra en teckentabell till f(x)f(x) enligt följande metod sammanfattar man viktiga egenskaper hos grafen.

1

Identifiera stationära punkter och ställ upp teckentabell

Börja med att identifiera för vilket eller vilka xx-värden som grafen har stationära punkter

Ställ sedan upp teckentabellen och fyll i xx-värdena för de stationära punkterna. I dessa punkter är derivatan f(x)f'(x) lika med 0.0. Man anger också vilken karaktär de stationära punkterna har, där Ter. står för terrasspunkt.

xx -2\text{-}2 55 99
f(x)f'(x) 00 00 00
f(x)f(x) \phantom{\nearrow} Max \phantom{\searrow } Ter. \phantom{\searrow } Min \phantom{ \nearrow}

2

Fyll i utseendet för f(x)f(x) på intervallen

intervallen till vänster och höger om de stationära punkterna är grafen antingen växande eller avtagande.

Tabellens kolumner bredvid xx-värdena representerar dessa intervall. I raden för funktionen f(x)f(x) ritar man pilar som beskriver grafens utseende där, antingen \, \nearrow \, för växande eller \, \searrow \, för avtagande.

xx -2\text{-}2 55 99
f(x)f'(x) 00 00 00
f(x)f(x) \nearrow Max \searrow Ter. \searrow Min \nearrow

3

Fyll i tecknet för f(x)f'(x) på intervallen

Där funktionen ff är växande är derivatan positiv. På motsvarande sätt är derivatan negativ då grafen är avtagande. Detta markeras med ++ respektive - på raden för derivatan f(x),f'(x), och därmed är teckentabellen komplett.

xx s -2\text{-}2 55 99
f(x)f'(x) ++ 00 - 00 - 00 ++
f(x)f(x) \nearrow Max \searrow Ter. \searrow Min \nearrow
Uppgift

Gör en teckentabell till andragradsfunktionen y(x).y(x).

Lösning

Vi börjar med att identifiera stationära punkter, dvs. punkter där derivatan är 0.0. Den här grafen har bara en sådan punkt, där x=-2.x=\text{-}2.

Det är en minimipunkt eftersom andragradskurvans minsta värde antas där. Vi ställer upp en teckentabell med plats för minimipunkten och ett intervall på vardera sida.

xx -2\text{-}2
y(x)y'(x) 00
y(x)y(x) \phantom{\nearrow} Min \phantom{\searrow}

Sedan tittar vi på grafens utseende på intervallen. Funktionen är avtagande till vänster och växande till höger om minimipunkten.

Vi markerar detta i raden för y(x)y(x) med \searrow \, respektive .\, \nearrow. Vi fyller även i derivatans tecken.

xx -2\text{-}2
y(x)y'(x) - 00 ++
y(x)y(x) \searrow Min \nearrow
info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward