Grafens utseende och derivatans tecken

Begrepp

Stationära punkter och derivatans nollställen

De $x$ -värden där derivatan till en funktion är $0$ kallas derivatans nollställen. Dessa kan användas för att bestämma funktionens stationära punkter, dvs. maximi-, minimi- och terrasspunkter, eftersom derivatan är $0$ där.

Genom att undersöka derivatans tecken till vänster och höger om de stationära punkterna kan man bestämma deras karaktär, dvs. om de är maximi-, minimi- eller terrasspunkter. Om det är olika tecken på båda sidor är det en extrempunkt och om tecknen är lika måste det vara en terrasspunkt. Grafiskt kan man se det som att funktionen byter riktning vid extrempunkter, men inte vid terrasspunkter.

Begrepp

Teckentabell

En teckentabell är ett verktyg för att beskriva en grafs utseende och sambandet med dess derivata. Nedan syns ett exempel på en teckentabell för en funktion, $f.$

$x$		$\text{-}2$		$1$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	Max	$\searrow$	Min	$\nearrow$

Tabellen förklarar inte i detalj hur grafen ser ut, men den beskriver de mest utmärkande dragen. I den finns t.ex. information om karaktären hos eventuella stationära punkter och var funktionen växer och avtar. Den här teckentabellen kan exempelvis tillhöra grafen nedan.

Metod

Göra en teckentabell utifrån graf

Grafen visar femtegradsfunktionen $f(x).$

Genom att göra en teckentabell till

f(x)

enligt följande metod sammanfattar man viktiga egenskaper hos grafen.

1

Identifiera stationära punkter och ställ upp teckentabell

Börja med att identifiera för vilket eller vilka $x$ -värden som grafen har stationära punkter

Ställ sedan upp teckentabellen och fyll i $x$ -värdena för de stationära punkterna. I dessa punkter är derivatan $f'(x)$ lika med $0.$ Man anger också vilken karaktär de stationära punkterna har, där Ter. står för terrasspunkt.

$x$		$\text{-}2$		$5$		$9$
$f'(x)$		$0$		$0$		$0$
$f(x)$	$\phantom{\nearrow}$	Max	$\phantom{\searrow }$	Ter.	$\phantom{\searrow }$	Min	$\phantom{ \nearrow}$

2

Fyll i utseendet för

f(x)

på intervallen

På intervallen till vänster och höger om de stationära punkterna är grafen antingen växande eller avtagande.

Tabellens kolumner bredvid $x$ -värdena representerar dessa intervall. I raden för funktionen $f(x)$ ritar man pilar som beskriver grafens utseende där, antingen $\, \nearrow \,$ för växande eller $\, \searrow \,$ för avtagande.

$x$		$\text{-}2$		$5$		$9$
$f'(x)$		$0$		$0$		$0$
$f(x)$	$\nearrow$	Max	$\searrow$	Ter.	$\searrow$	Min	$\nearrow$

3

Fyll i tecknet för

f'(x)

på intervallen

Där funktionen $f$ är växande är derivatan positiv. På motsvarande sätt är derivatan negativ då grafen är avtagande. Detta markeras med $+$ respektive $-$ på raden för derivatan $f'(x),$ och därmed är teckentabellen komplett.

$x$ s		$\text{-}2$		$5$		$9$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	Max	$\searrow$	Ter.	$\searrow$	Min	$\nearrow$

Gör en teckentabell utifrån grafen

fullscreen

Uppgift

Gör en teckentabell till andragradsfunktionen $y(x).$

Visa Lösning

Lösning

Vi börjar med att identifiera stationära punkter, dvs. punkter där derivatan är $0.$ Den här grafen har bara en sådan punkt, där $x=\text{-}2.$

Det är en minimipunkt eftersom andragradskurvans minsta värde antas där. Vi ställer upp en teckentabell med plats för minimipunkten och ett intervall på vardera sida.

$x$		$\text{-}2$
$y'(x)$		$0$
$y(x)$	$\phantom{\nearrow}$	Min	$\phantom{\searrow}$

Sedan tittar vi på grafens utseende på intervallen. Funktionen är avtagande till vänster och växande till höger om minimipunkten.

Vi markerar detta i raden för $y(x)$ med $\searrow \,$ respektive $\, \nearrow.$ Vi fyller även i derivatans tecken.

$x$		$\text{-}2$
$y'(x)$	$-$	$0$	$+$
$y(x)$	$\searrow$	Min	$\nearrow$

1

2

3

Exempel

Gör en teckentabell utifrån grafen