Grafens utseende och derivatans tecken

För att rita teckentabellen följer vi metoden Göra en teckentabell utifrån graf. Vi börjar alltså med att läsa av de stationära punkterna. I det här fallet finns det endast en, som är ett minimum vid x=1.

Vi ställer nu upp teckentabellen. Derivatan är 0 i minimipunkten.

Sedan tittar vi på om grafen är växande eller avtagande till vänster respektive höger om minimipunkten. Den avtar till vänster och växer till höger.

Vi markerar detta i teckentabellen med hjälp av pilar. Samtidigt fyller vi i derivatans tecken som är - där funktionen avtar och + där den växer.

Även här börjar vi med att läsa av x-värdena för de stationära punkterna.

Vi ställer upp en teckentabell och fyller i det vi vet.

Slutligen analyserar vi grafens utseende och derivatans tecken genom att titta på hur grafen beter sig på intervallen mellan de stationära punkterna.

Utifrån detta kan vi nu färdigställa teckentabellen.

Vi gör på samma sätt med h(x). Först läser vi av funktionens stationära punkter. I det här fallet finns det bara en, terrasspunkten vid x=7.

Vi skriver in detta i teckentabellen.

Sedan tittar vi på hur grafen beter sig mellan punkterna.

Slutligen förs detta in i tabellen tillsammans med derivatans tecken.

För att rita teckentabellen följer vi metoden Göra en teckentabell utifrån graf. Vi börjar alltså med att läsa av de stationära punkterna. I det här fallet finns endast en, som är en maximipunkt i x=2.

Vi ställer nu upp teckentabellen. Kom ihåg att derivatan är 0 i maximipunkten.

Sedan undersöker vi om grafen är växande eller avtagande till vänster respektive höger om maximipunkten. Här ser vi att den växer till vänster och avtar till höger.

Vi fyller i detta i teckentabellen. Samtidigt fyller vi i derivatans tecken, som är + där funktionen växer och - där den avtar.

Även här börjar vi med att läsa av de stationära punkterna.

Vi ställer upp en teckentabell och fyller i de stationära punkternas x-värden och karaktär.

Slutligen analyserar vi grafens utseende och derivatans tecken genom att titta på hur grafen beter sig på intervallen mellan de stationära punkterna.

Utifrån detta kan vi nu färdigställa teckentabellen.

Vi gör på samma sätt med h(x). Först läser vi av funktionens stationära punkter.

Vi skriver in x-värdena och typ av stationär punkt i teckentabellen.

Sedan tittar vi på hur grafen beter sig mellan punkterna.

Slutligen förs detta in i tabellen tillsammans med derivatans tecken.

Vi ser direkt att vi kan utesluta den gröna grafen, C, eftersom den har en minimipunkt där x=-2 och inte en maximipunkt som f(x) ska ha enligt teckentabellen. Så det är antingen A eller B som tabellen beskriver. Båda har stationära punkter för x=-2, x=1 och x=4 vilket stämmer med f(x).

Men från teckentabellen ser vi att den sista stationära punkten ska vara en terrasspunkt där funktionen är stigande både före och efter punkten. Den enda grafen som stämmer överens med detta utseende är den blå grafen.

Från teckentabellen ser vi att derivatans värde är negativt till vänster om den stationära punkten, vilket innebär att den avtar (↘). Till höger är det positivt vilket innebär att funktionen växer (↗). Den stationära punkten är alltså en minimipunkt.

I en teckentabell är positiv derivata (+) synonymt med växande funktion (↗) i den kolumnen. Med hjälp av detta kan vi fylla i det plustecken och den pil som fattas. Vi ser då även att funktionen växer på båda sidor om den stationära punkten vilket innebär att det är en terrasspunkt.

I en teckentabell är negativ derivata (-) synonymt med avtagande funktion (↘) i den kolumnen. Med hjälp av detta samt samma resonemang som i förra deluppgiften kan vi fylla i de tecken och pilar som fattas.

Vi ser nu tydligt att den stationära punkten vid x=-3 är ett maximum och den vid x=5 ett minimum.

Enligt teckentabellen har funktionen en maximipunkt i x=5. y-värdet kan väljas fritt, så vi kan t.ex. ta punkten (5,4). Vi markerar extrempunkten och grafens utseende runt den.

Från teckentabellen kan vi inte avgöra var funktionen skär x-axeln, så vi skissar ett exempel.

Enligt teckentabellen har funktionen en minimipunkt i x=0 och en maximipunkt i x=2. Extrempunkterna har inga bestämda y-värden men vi kan t.ex. välja punkterna (0,0) och (2,2).

Nu kan vi skissa en graf genom att rita en jämn kurva genom extrempunkterna. Grafen får inte vända igen utan ska fortsätta växa åt vänster och avta åt höger.