Extrempunkter och derivatans nollställen

En stationär punkt är de punkter på grafen där derivatan är 0, dvs. där grafen har lutningen 0. Det sker i funktionens maximi-, minimi- och terrasspunkter. Vi kan se att funktionen har en av varje.

Vi läser av deras ungefärliga koordinater: &Max:(-5,15) [0.4em] &Min:(-2.5,-10) [0.4em] &Terrass:(1,12).

Extrempunkter är ett samlingsnamn för maximi- och minimipunkter. Terrasspunkter ingår alltså inte i denna kategori. Eftersom vi redan känner till koordinaterna för funktionens maximum och minimum anger vi dem helt enkelt igen: &Max:(-5,15) [0.4em] &Min:(-2.5,-10).

I stationära punkter är derivatan 0 så vi börjar med att derivera funktionen och sätta derivatan lika med 0.

Funktionen har alltså en stationär punkt i x-värdet -5. Vi sätter nu in detta x i ursprungsfunktionen f(x) för att bestämma motsvarande y-värde. f(-5)=(-5)^2+10*(-5)+2=-23 Koordinaterna för den stationära punkten till f(x) är alltså (-5,-23). Utifrån dessa kan vi inte avgöra karaktären på den stationära punkten utan det måste i så fall undersökas separat.

Inget nytt, vi gör samma sak igen.

Vi beräknar vilket y-värde den stationära punkten i x=2 har. h(2)=2^4-32*2+9=-39 Funktionen h(x) har alltså en stationär punkt i (2,-39).

Vi förutsätter att den andra raden stämmer, eftersom det är derivatan han utgår ifrån för att rita teckentabellen. Enligt den är derivatan positiv till vänster om extrempunkten och negativ till höger om den, vilket borde ge pilar som pekar i motsatt riktning jämfört med vad han har skrivit. Extrempunkten borde därför egentligen vara en maximipunkt.

För att bestämma funktionens extrempunkter följer vi en arbetsgång där vi först deriverar funktionen. Därefter sätter vi derivatan lika med noll och analyserar extrempunkterna med en teckentabell.

Derivera

Vi börjar alltså med att derivera funktionen.

Derivatan är alltså f'(x)=3x^2-18x-21.

Sätt f'(x)=0 och bestäm derivatans nollställen

För att hitta derivatans nollställen sätter man den lika med 0 och löser ekvationen man får.

Eftersom ekvationen är en andragradsekvation kan man använda pq-formeln för att lösa den. Men formeln måste då stå på pq-form.

Lösningarna till ekvationen f'(x)=0 är alltså x=-1 och x=7, dvs. detta är derivatans nollställen. Det betyder att i punkterna med dessa x-värden hittar man funktionens stationära punkter.

Avgör de stationära punkternas karaktär med en teckentabell

För att avgöra vilken typ av stationära punkter man hittat kan man göra en teckentabell. Man börjar med att fylla i informationen från föregående steg, dvs. att derivatan är 0 när x är -1 och 7.

För att ta reda på om de stationära punkterna är max-, min- eller terrasspunkter behöver man avgöra om f(x) är växande eller avtagande på intervallen mellan punkterna. En metod för att avgöra detta är att undersöka derivatans tecken på dessa intervall:

• positiv derivata ger en växande funktion (↗).
• negativ derivata ger en avtagande funktion (↘).

Man väljer därför något x-värde på det intervallet man vill undersöka och sätter in det i derivatans funktion f'(x)=3x^2-18x-21. Det spelar ingen roll vilket x-värde på intervallet man väljer, så man kan lika gärna ta något "enkelt."

Nu kan tabellen fyllas i med derivatans tecken i andra raden. Samtidigt kan man fylla i grafens utseende med hjälp av detta.

Nu återstår att bestämma om funktionens stationära punkter är max-, min- eller terrasspunkter. För extrempunkten i x=-1 ser man att funktionen är växande till vänster om denna och avtagande till höger. Detta innebär att punkten i sig är en maxpunkt. Med liknande resonemang kan man se att extrempunkten där x=7 istället är en minpunkt. Tabellen kan nu färdigställas.

Ingen av de stationära punkterna är terrasspunkter, så båda kommer att vara lokala extrempunkter.

Bestäm extrempunkternas koordinater

För att bestämma y-värdet i varje extrempunkt sätter vi in x-värdet från respektive punkt i funktionen f(x)=x^3-9x^2-21x+2.

Nu gör vi motsvarande beräkning för minpunkten.

Koordinaterna för maxpunkten är (-1,13) och minpunktens koordinater är (7,-243). Har man tillgång till grafräknare är det alltid bra att rita funktionen och kontrollera att det ser rimligt ut.

I en funktions stationära punkter är derivatan 0, så vi börjar med att derivera f(x) och lösa ekvationen f'(x)=0.

Vi sätter derivatan lika med 0 och löser andragradsekvationen med pq-formeln.

Vi gör nu en teckentabell för att avgöra vilken karaktär de stationära punkterna har. Vi börjar med att fylla i det vi redan vet, dvs. att derivatan är 0 för x =-7 och x = -3.

För att bestämma om de stationära punkterna är maximi-, minimi- eller terrasspunkter måste vi ta reda på om f(x) är växande eller avtagande på intervallen mellan de inskrivna x-värdena. Vi undersöker därför derivatans tecken på dessa intervall. Det gör vi genom att välja något x-värde på respektive intervall som vi sätter in i f'(x), t.ex. -10, -5 och 0.

Med hjälp av detta kan vi nu fylla i derivatans tecken på teckentabellens andra rad samt grafens utseende på tredje raden. En positiv derivata ger en växande funktion (↗) medan en negativ derivata ger en avtagande funktion (↘).

Vi ser att funktionen är växande till vänster om x=-7 och avtagande till höger, vilket innebär att det finns en maxpunkt där. Det omvända gäller för den stationära punkten i x=-3, så där finns en minpunkt.

Till sist bestämmer vi de motsvarande y-värdena för de två stationära punkterna genom att sätta in x-värdena i f(x). f(-7)=(-7)^3+15*(-7)^2+63*(-7)+7=-42 f(-3)=(-3)^3+15*(-3)^2+63*(-3)+7=-74 Funktionen har alltså två stationära punkter: en maxpunkt i (-7,-42) och en minpunkt i (-3,-74).

Vi gör på samma sätt som i föregående uppgift och börjar med att derivera funktionen.

Vi löser sedan ekvationen g'(x)=0 med pq-formeln.

Det finns alltså en stationär punkt i x = 2. Vi gör en teckentabell för att avgöra vilken sorts punkt det är.

Vi undersöker nu derivatans tecken för något x som är lägre respektive högre än 2, t.ex. 0 och 4.

Nu kan vi fylla i derivatans tecken och grafens utseende.

Vi ser att funktionen är växande både till vänster och höger om x=2. Den stationära punkten är alltså en terrasspunkt.

Till sist bestämmer vi punktens y-värde. g(2)=2^3-6*2^2+12*2-1=7 Funktionen har alltså en terrasspunkt i (2,7).

Eftersom derivatan är lika med 0 i en stationär punkt kan vi ställa upp och lösa ekvationen f'(x)=0 för att ta reda på i vilket x-värde funktionen har en stationär punkt. Vi börjar med att derivera funktionen. Tänk på att funktionsuttrycket x^33 kan skrivas om som 13* x^3.

Vi likställer nu derivatan med 0 och löser ut x.

Funktionens stationära punkt finns alltså i x=0. Genom att sätta in detta värde i funktionen f(x) kan vi bestämma motsvarande y-värde. f(0)=0^3/3=0. Den stationära punktens koordinater är alltså (0,0). För att avgöra vilken karaktär denna punkt har måste vi undersöka hur funktionen ser ut till höger och vänster om den stationära punkten. Det kan vi göra genom att bestämma derivatans tecken på dessa intervall. Vi väljer något x-värde på respektive intervall, t.ex. -1 och 1 och sätter in dessa i derivatan.

Derivatan är alltså positiv både före och efter den stationära punkten. Vi sätter in denna information i en teckentabell.

Om derivatan är positiv är funktionen växande. Och eftersom funktionen växer på båda sidor om x=0 måste den stationära punkten vara en terrasspunkt.

Funktionen f(x) har alltså en terrasspunkt i (0,0).

Funktionens stationära punkter finns för samma x-värden som derivatans nollställen. Vi börjar därför med att derivera funktionen.

Genom att likställa derivatan med 0 och lösa ut x med pq-formeln kan vi bestämma derivatans nollställen. Innan vi kan lösa ekvationen med pq-formeln måste vi dock skriva om den på pq-form.

För att kunna lösa ekvationen måste man dra roten ur ett negativt tal, vilket vi inte kan göra. Det finns alltså inga reella lösningar till ekvationen och derivatan har inga nollställen. Det betyder att funktionen helt saknar stationära punkter.

Ritar man funktionen med en grafritare ser den ut på följande sätt.

Som vi kan se är tredjegradsfunktionen konstant växande och planar aldrig ut. Funktionen har inga alltså inga stationära punkter, vilket stämmer överens med vad vi kom fram till i förra uppgiften.

Att f'(0)=0 betyder att derivatan till funktionen f är 0 när x = 0. När derivatan är lika med 0 har funktionen en stationär punkt, vilket innebär att f(x) antingen har en max-, min- eller terrasspunkt någonstans på y-axeln. Vilket y-värde den stationära punkten har vet vi inte, så vi kan sätta den var som helst. Det skulle t.ex. kunna se ut på följande sätt, där ett minimum har satts i punkten (0, 2.75)

Ett annat exempel skulle kunna vara följande graf, där en terrasspunkt har satts i origo.