Extrempunkter och derivatans nollställen

Funktionens stationära punkter har samma x-värden som derivatans nollställen. Vi börjar därför med att derivera funktionen.

Nu sätter vi f'(x) = 0 och löser ut x. Det gör vi enklast genom att bryta ut x^2 och använda nollproduktmetoden.

Funktionen har stationära punkter i x=0 och x=1,5. Nu måste vi även bestämma deras karaktär, och för att göra det ställer vi upp en teckentabell.

Vi undersöker sedan derivatans tecken omkring derivatans nollställen. Vi beräknar derivatans värde i lämpliga x-koordinater före det första nollstället, mellan nollställena och efter det sista nollstället, t.ex. x = -1, x = 1 och x = 2.

Nu kan vi fylla i teckentabellen och bestämma de stationära punkternas karaktär.

Från teckentabellen ser vi att den första stationära punkten är en terrasspunkt och den andra är en minimipunkt. Den enda extrempunkten är alltså minimipunkten vid x=1,5. Till sist bestämmer vi även punktens y-värde genom att sätta in x=1,5 i funktionen. f(1,5)=2* 1,5^4-4* 1,5^3+4=0,625. Det finns alltså bara en extrempunkt: ett minimum i (1,5;0,625).

Funktionen f(x) är en andragradsfunktion, och vi vet att de alltid har en maximi- eller minimipunkt och därför inte kan ha terrasspunkter. Så vi vet att funktioner på formen f(x)=ax^2+C kommer att ha en extrempunkt, men finns den i x=0? Om alla andragradsfunktioner på denna form har en extrempunkt i x=0 ska funktionens derivata vara lika med 0 oavsett värdena på konstanterna a och C. Vi deriverar f(x) och ser vad som händer, och behandlar då a och C som vanliga tal.

Frågan är nu: kommer f'(x) alltid vara lika med 0 då x=0? Ja, så måste vara fallet eftersom derivatan blir 0 om man sätter in det x-värdet: f'(0)=2* a * 0=0. Det spelar ingen roll vad a är eftersom vad som helst multiplicerat med 0 ändå är lika med 0. Elin har alltså rätt: alla andragradsfunktioner på formen f(x)=ax^2+C kommer ha en extrempunkt i x=0.

Ett sätt att undersöka om f(x) har en minimipunkt är genom att göra en teckentabell. Vi börjar med att bestämma x-värdet där funktionen har sin extrempunkt, vilket är där derivatan är 0. För att göra det måste vi först derivera f(x).

Vi sätter f'(x) = 0 och löser ut x.

Funktionen har alltså sin extrempunkt där x = - 2,5. Nu ska vi visa att detta är en minimipunkt. Vi ställer upp en teckentabell och för in det vi vet.

Vi bestämmer nu derivatans tecken till vänster och till höger om punkten genom att välja valfria x-värden på de två intervallen. Vi kan t.ex. välja x = -3 och x = 0.

Derivatan är alltså negativ till vänster om den stationära punkten och positiv till höger. Vi för in detta i teckentabellen. Eftersom negativ derivata innebär att f(x) lutar nedåt medan positiv derivata betyder att den lutar uppåt kan vi även fylla i funktionens utseende.

Om grafen avtar till vänster och växer till höger om den stationära punkten måste den vara ett minimum, vilket var precis vad Yousef påstod. Han har alltså rätt.

Funktionen f(x) är en andragradsfunktion, och vi vet att de alltid har en maximi- eller minimipunkt och därför inte kan ha terrasspunkter. Eftersom maximi- och minimipunkter finns där derivatan är 0 blir uppgiften alltså att bestämma a så att derivatan är 0 där x=8. Det kan vi formulera som ekvationen f'(8)=0. För att ställa upp denna ekvation måste vi känna till derivatan, så vi börjar med att derivera f(x).

Nu sätter vi in att derivatan är lika med 0 då x=8 samt löser ut a.

Funktionen har alltså en extrempunkt i x=8 när a=- 16.

Funktionens stationära punkter finns för samma x-värden som derivatans nollställen. Vi börjar därför med att derivera funktionen.

Genom att likställa derivatan med 0 och lösa ut x med pq-formeln kan vi bestämma derivatans nollställen. Innan vi kan lösa ekvationen med pq-formeln måste vi dock skriva om den på pq-form.

För att kunna lösa ekvationen måste man dra roten ur ett negativt tal, vilket vi inte kan göra. Det finns alltså inga reella lösningar till ekvationen och derivatan har inga nollställen. Det betyder att funktionen helt saknar stationära punkter.

Ritar man funktionen med en grafritare ser den ut på följande sätt.

Som vi kan se är tredjegradsfunktionen konstant växande och planar aldrig ut. Funktionen har inga alltså inga stationära punkter, vilket stämmer överens med vad vi kom fram till i förra uppgiften.