Logga in
| 6 sidor teori |
| 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Man kan bestämma lokala extrempunkter för en funktion, t.ex. f(x)=3x4−16x3+24x2, genom att avgöra i vilka punkter dess derivata är 0, och därefter undersöka extrempunkternas karaktär samt dess koordinater.
Man börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
VL/12=HL/12
Bryt ut x
Använd nollproduktmetoden
I det här fallet får man ut en lösning direkt, x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pq-formeln.
Använd pq-formeln: p=−4,q=4
Beräkna kvot
−(−a)=a
Beräkna potens
Subtrahera term
Förenkla rot & termer
Lösningarna till ekvationen f′(x)=0 är alltså x=0 och en dubbelrot x=2. Detta är derivatans nollställen, så för dessa x-värden hittar man funktionens stationära punkter.
För att avgöra vilken typ av stationära punkter man har hittat kan man göra en teckentabell. Man börjar med att fylla i informationen från föregående steg, dvs. att derivatan är 0 när x är 0 och 2.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
f′(x) | 0 | 0 | |||
f(x) | ↘ | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
För att bestämma de stationära punkternas karaktär tar man reda på om f(x) är växande eller avtagande på intervallen mellan punkterna. Det gör man enklast genom att undersöka derivatans tecken på dessa intervall. Man väljer därför något x-värde på respektive intervall och sätter in det i derivatan f′(x). Här kan man t.ex. välja x-värdena −1, 1 och 3.
x | 12x3−48x2+48x | f′(x) | +/− |
---|---|---|---|
−1 | 12(−1)3−48(−1)2+48(−1) | −12 | − |
1 | 12⋅13−48⋅12+48⋅1 | 12 | + |
3 | 12⋅33−48⋅32+48⋅3 | 36 | + |
Nu kan man fylla i derivatans tecken på teckentabellens andra rad. Samtidigt kan man fylla i grafens utseende på tredje raden med hjälp av detta. En positiv derivata ger en växande funktion (↗) och en negativ derivata ger en avtagande funktion (↘).
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
f′(x) | − | 0 | + | 0 | + |
f(x) | ↘ | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
I tabellen ser man att funktionen är avtagande till vänster om x=0 och växande till höger, vilket innebär att det finns en minimipunkt där. Kring den stationära punkten i x=2 är funktionen istället växande på båda sidor, så där finns en terrasspunkt.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
f′(x) | − | 0 | + | 0 | + |
f(x) | ↘ | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
Målet här är att hitta funktionens extrempunkter men eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan man utesluta dem. Därför utesluts punken där x=2.
Översiktligt kan arbetsgången för att hitta lokala extrempunkter beskrivas av följande flödesschema.
Derivera funktion
D(xn)=nxn−1
D(axn)=a⋅nxn−1
D(ax)=a
D(a)=0
VL/3=HL/3
Använd pq-formeln: p=−4,q=−5
Beräkna kvot
−(−a)=a
Beräkna potens
a−(−b)=a+b
Beräkna rot
Ange lösningar
De stationära punkternas koordinater är (−1,11) och (5,−97).
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
D(a)=0
Derivatan är 0 i de stationära punkterna så vi sätter h′(x) lika med 0 och löser ekvationen med nollproduktmetoden.
Dela upp i faktorer
Bryt ut x
Använd nollproduktmetoden
(II): VL+12=HL+12
(II): VL/6=HL/6
Vi fyller i derivatans nollställen i en teckentabell.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
h′(x) | 0 | 0 | |||
h(x) | ↘ | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
Nu tar vi reda på derivatans tecken mellan dess nollställen. Vi väljer något x-värde på varje intervall och sätter in det i derivatan h′(x). Det spelar ingen roll vilket x-värde man väljer, så vi väljer x som ger enkla beräkningar.
x | 6x2−12x | h′(x) | Tecken |
---|---|---|---|
−1 | 6(−1)2−12(−1) | 18 | + |
1 | 6⋅12−12⋅1 | −6 | − |
10 | 6⋅102−12⋅10 | 480 | + |
Genom att fylla i derivatans tecken på den andra raden kan vi också avgöra grafens utseende.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
h′(x) | + | 0 | − | 0 | + |
h(x) | ↗ | Max | ↘ | Min | ↗ |
Nu kan vi se att den vänstra extrempunkten är ett maximum och den högra är ett minimum.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
h′(x) | + | 0 | − | 0 | + |
h(x) | ↗ | Max | ↘ | Min | ↗ |
Räknaren kan användas för att hitta extremvärden till olika typer av funktioner.
Det är viktigt att alla extrempunkter syns i fönstret. Om de inte gör det går det att ändra inställningarna för koordinatsystemet.
Kurvan visas nu igen, och för att räknaren ska kunna bestämma extrempunkten måste man ange tre punkter på kurvan.
Räknaren bestämmer nu närmevärden för extrempunktens koordinater och anger dem längst ner på skärmen.
Funktionens stationära punkter har samma x-värden som derivatans nollställen. Vi börjar därför med att derivera funktionen.
Nu sätter vi f'(x) = 0 och löser ut x. Det gör vi enklast genom att bryta ut x^2 och använda nollproduktmetoden.
Funktionen har stationära punkter i x=0 och x=1.5. Nu måste vi även bestämma deras karaktär, och för att göra det ställer vi upp en teckentabell.
x | 0 | 1.5 | |||
---|---|---|---|---|---|
f'(x) | 0 | 0 | |||
f(x) |
Vi undersöker sedan derivatans tecken omkring derivatans nollställen. Vi beräknar derivatans värde i lämpliga x-koordinater före det första nollstället, mellan nollställena och efter det sista nollstället, t.ex. x = -1, x = 1 och x = 2.
x | 8x^3-12x^2 | f'(x) | Tecken |
---|---|---|---|
- 1 | 8( - 1)^3-12( - 1)^2 | - 20 | - |
1 | 8* 1^3-12* 1^2 | - 2 | - |
2 | 8* 2^3-12* 2^2 | 16 | + |
Nu kan vi fylla i teckentabellen och bestämma de stationära punkternas karaktär.
x | 0 | 1.5 | |||
---|---|---|---|---|---|
f'(x) | - | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↘ | Ter. | ↘ | Min | ↗ |
Från teckentabellen ser vi att den första stationära punkten är en terrasspunkt och den andra är en minimipunkt. Den enda extrempunkten är alltså minimipunkten vid x=1.5. Till sist bestämmer vi även punktens y-värde genom att sätta in x=1.5 i funktionen. f(1.5)=2* 1.5^4-4* 1.5^3+4=0.625. Det finns alltså bara en extrempunkt: ett minimum i (1.5,0.625).
För en tredjegradsfunktion f gäller att f′(3)=0 och att f(3)=2. Ge tre exempel på hur f kan se ut.
Att f'(3)=0 betyder att funktionen f har en stationär punkt, dvs. en maximi-, minimi- eller terrasspunkt, i x=3. Vi vet också att funktionsvärdet är 2 när x är 3, så den stationära punkten måste ha koordinaterna (3,2). För att ge tre exempel på hur f kan se ut kan vi t.ex. placera olika typer av stationära punkter i (3,2). Vi undersöker en variant i taget.
Om en tredjegradsfunktion har stationära punkter så är det antingen i form av ett max och min eller en terrasspunkt. Har den en maxpunkt betyder det alltså att den även har en minpunkt någonstans. Denna kan placeras var som helst. Exempelvis kan f se ut såhär.
Om det finns en minpunkt i (3,2) kommer det, av samma anledning som ovan, att finnas en maxpunkt någonstans. Det skulle kunna se ut såhär.
Har f en terrasspunkt i (3,2) kan det se ut såhär.
Tänk på att detta bara är tre exempel på hur f kan se ut, det finns oändligt många varianter. Det enda kravet är att det finns en stationär punkt i (3,2).
Funktionen f(x) är en andragradsfunktion, och vi vet att de alltid har en maximi- eller minimipunkt och därför inte kan ha terrasspunkter. Så vi vet att funktioner på formen f(x)=ax^2+C kommer att ha en extrempunkt, men finns den i x=0? Om alla andragradsfunktioner på denna form har en extrempunkt i x=0 ska funktionens derivata vara lika med 0 oavsett värdena på konstanterna a och C. Vi deriverar f(x) och ser vad som händer, och behandlar då a och C som vanliga tal.
Frågan är nu: kommer f'(x) alltid vara lika med 0 då x=0? Ja, så måste vara fallet eftersom derivatan blir 0 om man sätter in det x-värdet: f'(0)=2* a * 0=0. Det spelar ingen roll vad a är eftersom vad som helst multiplicerat med 0 ändå är lika med 0. Elin har alltså rätt: alla andragradsfunktioner på formen f(x)=ax^2+C kommer ha en extrempunkt i x=0.
Ett sätt att undersöka om f(x) har en minimipunkt är genom att göra en teckentabell. Vi börjar med att bestämma x-värdet där funktionen har sin extrempunkt, vilket är där derivatan är 0. För att göra det måste vi först derivera f(x).
Vi sätter f'(x) = 0 och löser ut x.
Funktionen har alltså sin extrempunkt där x = - 2.5. Nu ska vi visa att detta är en minimipunkt. Vi ställer upp en teckentabell och för in det vi vet.
x | -2.5 | ||
---|---|---|---|
f'(x) | 0 | ||
f(x) |
Vi bestämmer nu derivatans tecken till vänster och till höger om punkten genom att välja valfria x-värden på de två intervallen. Vi kan t.ex. välja x = -3 och x = 0.
x | 2x + 5 | f'(x) | Tecken |
---|---|---|---|
-3 | 2( -3) + 5 | -1 | - |
0 | 2* 0 + 5 | 5 | + |
Derivatan är alltså negativ till vänster om den stationära punkten och positiv till höger. Vi för in detta i teckentabellen. Eftersom negativ derivata innebär att f(x) lutar nedåt medan positiv derivata betyder att den lutar uppåt kan vi även fylla i funktionens utseende.
x | -2.5 | ||
---|---|---|---|
f'(x) | - | 0 | + |
f(x) | ↘ | ↗ |
Om grafen avtar till vänster och växer till höger om den stationära punkten måste den vara ett minimum, vilket var precis vad Yousef påstod. Han har alltså rätt.
x | -2.5 | ||
---|---|---|---|
f'(x) | - | 0 | + |
f(x) | ↘ | Min | ↗ |
Funktionen f(x) är en andragradsfunktion, och vi vet att de alltid har en maximi- eller minimipunkt och därför inte kan ha terrasspunkter. Eftersom maximi- och minimipunkter finns där derivatan är 0 blir uppgiften alltså att bestämma a så att derivatan är 0 där x=8. Det kan vi formulera som ekvationen f'(8)=0.
För att ställa upp denna ekvation måste vi känna till derivatan, så vi börjar med att derivera f(x).
Nu sätter vi in att derivatan är lika med 0 då x=8 samt löser ut a.
Funktionen har alltså en extrempunkt i x=8 när a=- 16.