Extrempunkter och Derivatans Nollställen: Utforska Maximi- och Minimipunkter

Lokal maximipunkt
$x$		$a$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$
$f (x)$	$↗$	max	$↘$

Lokal maximipunkt

x

a

f^{'} (x)

+

0

-

f (x)

↗

max

↘

Lokal minimipunkt
$x$		$b$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	min	$↗$

Lokal minimipunkt

x

b

f^{'} (x)

-

0

+

f (x)

↘

min

↗

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$		$0$		$0$
$f (x)$	$↘$	$M i n$	$↗$	$T e r .$	$↗$

x

0

2

f^{'} (x)

0

0

f (x)

↘

M i n

↗

T e r .

↗

$x$	$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$	$f^{'} (x)$	$+ / -$
$- 1$	$12 (- 1)^{3} - 48 (- 1)^{2} + 48 (- 1)$	$- 12$	$-$
$1$	$12 \cdot 1^{3} - 48 \cdot 1^{2} + 48 \cdot 1$	$12$	$+$
$3$	$12 \cdot 3^{3} - 48 \cdot 3^{2} + 48 \cdot 3$	$36$	$+$

x

12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x

f^{'} (x)

+ / -

- 1

12 (- 1)^{3} - 48 (- 1)^{2} + 48 (- 1)

- 12

-

1

12 \cdot 1^{3} - 48 \cdot 1^{2} + 48 \cdot 1

12

+

3

12 \cdot 3^{3} - 48 \cdot 3^{2} + 48 \cdot 3

36

+

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	$M i n$	$↗$	$T e r .$	$↗$

x

0

2

f^{'} (x)

-

0

+

0

+

f (x)

↘

M i n

↗

T e r .

↗

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	Min	$↗$	Ter.	$↗$

x

0

2

f^{'} (x)

-

0

+

0

+

f (x)

↘

Min

↗

Ter.

↗

$x$		$0$		$2$
$h^{'} (x)$		$0$		$0$
$h (x)$	$↘$	$M i n$	$↗$	$T e r .$	$↗$

x

0

2

h^{'} (x)

0

0

h (x)

↘

M i n

↗

T e r .

↗

$x$	$6 x^{2} - 12 x$	$h^{'} (x)$	Tecken
$- 1$	$6 (- 1)^{2} - 12 (- 1)$	$18$	$+$
$1$	$6 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1$	$- 6$	$-$
$10$	$6 \cdot 10^{2} - 12 \cdot 10$	$480$	$+$

x

6 x^{2} - 12 x

h^{'} (x)

Tecken

- 1

6 (- 1)^{2} - 12 (- 1)

18

+

1

6 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1

- 6

-

10

6 \cdot 10^{2} - 12 \cdot 10

480

+

$x$		$0$		$2$
$h^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$h (x)$	$↗$	$M a x$	$↘$	$M i n$	$↗$

x

0

2

h^{'} (x)

+

0

-

0

+

h (x)

↗

M a x

↘

M i n

↗

$x$		$0$		$2$
$h^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$h (x)$	$↗$	Max	$↘$	Min	$↗$

x

0

2

h^{'} (x)

+

0

-

0

+

h (x)

↗

Max

↘

Min

↗

Bestäm extrempunkterna och deras karaktär för följande funktion genom att använda derivata och teckentabell.

f (x) = 2 x^{4} - 4 x^{3} + 4

Funktionens stationära punkter har samma x-värden som derivatans nollställen. Vi börjar därför med att derivera funktionen.

Nu sätter vi f'(x) = 0 och löser ut x. Det gör vi enklast genom att bryta ut x^2 och använda nollproduktmetoden.

Funktionen har stationära punkter i x=0 och x=1.5. Nu måste vi även bestämma deras karaktär, och för att göra det ställer vi upp en teckentabell.

x	0	1,5
f'(x)	0	0
f(x)

Vi undersöker sedan derivatans tecken omkring derivatans nollställen. Vi beräknar derivatans värde i lämpliga x-koordinater före det första nollstället, mellan nollställena och efter det sista nollstället, t.ex. x = -1, x = 1 och x = 2.

x	8x^3-12x^2	f'(x)	Tecken
- 1	8( - 1)^3-12( - 1)^2	- 20	-
1	8* 1^3-12* 1^2	- 2	-
2	8* 2^3-12* 2^2	16	+

Nu kan vi fylla i teckentabellen och bestämma de stationära punkternas karaktär.

x		0		1,5
f'(x)	-	0	-	0	+
f(x)	↘	Ter.	↘	Min	↗

Från teckentabellen ser vi att den första stationära punkten är en terrasspunkt och den andra är en minimipunkt. Den enda extrempunkten är alltså minimipunkten vid x=1,5. Till sist bestämmer vi även punktens y-värde genom att sätta in x=1,5 i funktionen. f(1,5)=2* 1,5^4-4* 1,5^3+4=0,625. Det finns alltså bara en extrempunkt: ett minimum i (1,5;0,625).

För en tredjegradsfunktion $f$ gäller att $f^{'} (3) = 0$ och att $f (3) = 2 .$ Ge tre exempel på hur $f$ kan se ut.

Att f'(3)=0 betyder att funktionen f har en stationär punkt, dvs. en maximi-, minimi- eller terrasspunkt, i x=3. Vi vet också att funktionsvärdet är 2 när x är 3, så den stationära punkten måste ha koordinaterna (3,2). För att ge tre exempel på hur f kan se ut kan vi t.ex. placera olika typer av stationära punkter i (3,2). Vi undersöker en variant i taget.

Maxpunkt i (3,2)

Om en tredjegradsfunktion har stationära punkter så är det antingen i form av ett max och min eller en terrasspunkt. Har den en maxpunkt betyder det alltså att den även har en minpunkt någonstans. Denna kan placeras var som helst. Exempelvis kan f se ut såhär.

Minpunkt i (3,2)

Om det finns en minpunkt i (3,2) kommer det, av samma anledning som ovan, att finnas en maxpunkt någonstans. Det skulle kunna se ut såhär.

Terrasspunkt i (3,2)

Har f en terrasspunkt i (3,2) kan det se ut såhär.

Tänk på att detta bara är tre exempel på hur f kan se ut, det finns oändligt många varianter. Det enda kravet är att det finns en stationär punkt i (3,2).

Elin har ritat grafen till

f (x) = 3 x^{2} + 2

och ser att funktionen har en extrempunkt i

x = 0 .

Hon påstår då att alla andragradsfunktioner på formen

f (x) = a x^{2} + C,

där

a

och

C

är konstanter, kommer ha en extrempunkt i

x = 0 .

Stämmer påståendet? Motivera!

Funktionen f(x) är en andragradsfunktion, och vi vet att de alltid har en maximi- eller minimipunkt och därför inte kan ha terrasspunkter. Så vi vet att funktioner på formen f(x)=ax^2+C kommer att ha en extrempunkt, men finns den i x=0? Om alla andragradsfunktioner på denna form har en extrempunkt i x=0 ska funktionens derivata vara lika med 0 oavsett värdena på konstanterna a och C. Vi deriverar f(x) och ser vad som händer, och behandlar då a och C som vanliga tal.

Frågan är nu: kommer f'(x) alltid vara lika med 0 då x=0? Ja, så måste vara fallet eftersom derivatan blir 0 om man sätter in det x-värdet: f'(0)=2* a * 0=0. Det spelar ingen roll vad a är eftersom vad som helst multiplicerat med 0 ändå är lika med 0. Elin har alltså rätt: alla andragradsfunktioner på formen f(x)=ax^2+C kommer ha en extrempunkt i x=0.

Yousef tittar på andragradsfunktionen

f (x) = x^{2} + 5 x + 6 .

Han säger sedan: Koefficienten till

x^{2} -

termen är positiv, nämligen

1 .

Därför har

f (x)

en minimipunkt. Har Yousef rätt? Motivera.

Ett sätt att undersöka om f(x) har en minimipunkt är genom att göra en teckentabell. Vi börjar med att bestämma x-värdet där funktionen har sin extrempunkt, vilket är där derivatan är 0. För att göra det måste vi först derivera f(x).

Vi sätter f'(x) = 0 och löser ut x.

Funktionen har alltså sin extrempunkt där x = - 2,5. Nu ska vi visa att detta är en minimipunkt. Vi ställer upp en teckentabell och för in det vi vet.

x		-2,5
f'(x)		0
f(x)

Vi bestämmer nu derivatans tecken till vänster och till höger om punkten genom att välja valfria x-värden på de två intervallen. Vi kan t.ex. välja x = -3 och x = 0.

x	2x + 5	f'(x)	Tecken
-3	2( -3) + 5	-1	-
0	2* 0 + 5	5	+

Derivatan är alltså negativ till vänster om den stationära punkten och positiv till höger. Vi för in detta i teckentabellen. Eftersom negativ derivata innebär att f(x) lutar nedåt medan positiv derivata betyder att den lutar uppåt kan vi även fylla i funktionens utseende.

x		-2,5
f'(x)	-	0	+
f(x)	↘		↗

Om grafen avtar till vänster och växer till höger om den stationära punkten måste den vara ett minimum, vilket var precis vad Yousef påstod. Han har alltså rätt.

x		-2,5
f'(x)	-	0	+
f(x)	↘	Min	↗

Bestäm

a

så att funktionen

f (x) = x^{2} + a x + 9

har en extrempunkt i

x = 8 .

Funktionen f(x) är en andragradsfunktion, och vi vet att de alltid har en maximi- eller minimipunkt och därför inte kan ha terrasspunkter. Eftersom maximi- och minimipunkter finns där derivatan är 0 blir uppgiften alltså att bestämma a så att derivatan är 0 där x=8. Det kan vi formulera som ekvationen f'(8)=0. För att ställa upp denna ekvation måste vi känna till derivatan, så vi börjar med att derivera f(x).

Nu sätter vi in att derivatan är lika med 0 då x=8 samt löser ut a.

Funktionen har alltså en extrempunkt i x=8 när a=- 16.

Extrempunkter och derivatans nollställen

Förkunskaper

Lokal maximipunkt

Lokal minimipunkt

Extrempunkt

Terrasspunkt

Utforska kubiska funktioner

Att bestämma beteendet utifrån en teckentabell

Bestämma extrempunkter med derivata och teckentabell

Att hitta extrempunkter med derivata

Hitta funktionens stationära punkter

Ledtråd

Lösning

Gör en teckentabell utifrån funktionen

Ledtråd

Lösning

Hitta extremvärde med räknare

Finding extreme values using a calculator

Ledtråd

Lösning

Maxpunkt i (3,2)

Minpunkt i (3,2)

Terrasspunkt i (3,2)

Extrempunkter och derivatans nollställen

Rekommenderade uppgifter

	13 sidor teori
	16 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.