Deriveringsregler för potensfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Derivera funktioner

Begreppet derivata kan syfta på lutningen i en viss punkt, men det kan också vara en funktion som beskriver hur derivatan beror på olika xx-värden. När man deriverar en funktion f(x)f(x) får man derivatan f(x) f'(x) som också är en funktion. Genom att sätta in ett xx-värde i f(x)f'(x) kan man beräkna derivatans värde för detta x.x. Exempelvis innebär f(2)f'(2) att man beräknar derivatans värde för f(x)f(x) när x=2.x=2. Förutom skrivsättet f(x)f'(x) kan derivatan till en funktion ff även skrivas som D(f(x))D(f(x)) som utläses "derivatan av f(x)f(x)": f(x)D(f(x)). f'(x) \quad \Leftrightarrow \quad D(f(x)).

Detta är användbart om man vill se vilken funktion som deriveras. T.ex. kan derivatan av f(x)=4x2f(x)=4x^2 skrivas D(4x2).D\left(4x^2\right). För att derivera en funktion kan man använda derivatans definition eller deriveringsregler. Deriveringsreglerna talar om hur olika typer av funktioner deriveras utan att man behöver använda definitionen för derivata.
Regel

Derivatan av en potensfunktion

För att derivera en potensfunktion f(x)=xn,f(x)=x^n, där nn är en konstant, multiplicerar man xnx^n med nn och minskar exponenten med 1.1.

Derivera/Förenkla

f(x)=x4f(x) = x^4

f(x)=x2f(x) = x^2

f(x)=x-5f(x) = x^{\text{-}5}

Deriveringsregeln gäller för alla reella nn.

Regel

D(xn)=nxn1D\left(x^n\right) = n x^{n-1}

Man kan motivera regeln genom att visa att den exempelvis gäller då n=2,n=2, alltså för funktionen f(x)=x2.f(x)=x^2. Man gör detta med hjälp av derivatans definition.

f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
f(x+h)=(x+h)2f(x+h)={\color{#0000FF}{(x+h)^2}}, f(x)=x2f(x)={\color{#009600}{x^2}}
f(x)=limh0(x+h)2x2hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{(x + h)^2}} - {\color{#009600}{x^2}}}{h}
f(x)=limh0x2+2xh+h2x2hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}
f(x)=limh02xh+h2hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{2xh + h^2}{h}
Dela upp i faktorer
f(x)=limh0h2x+hhhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h\cdot 2x + h\cdot h}{h}
f(x)=limh0h(2x+h)hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h(2x + h)}{h}
f(x)=limh0(2x+h)f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} (2x + h)
f(x)=2xf'(x) = 2x
Deriveringsregeln gäller alltså när n=2,n = 2, och det går att visa det för alla nn också.

Regel

D(x)=1D(x)=1

Även funktionen f(x)=xf(x)=x går att derivera med deriveringsregeln för potensfunktioner, eftersom xx är en potens med graden 1.1. Ofta brukar man dock använda en snabbare väg, nämligen regeln som säger att D(x)=1,D(x)=1, som härleds här.

f(x)=xf(x)=x
f(x)=x1f(x)=x^1
f(x)=D(x1)f'(x)=D\left(x^1\right)
f(x)=1x0f'(x)=1\cdot x^0
f(x)=1f'(x)=1
Uppgift

Derivera potensfunktionerna. f(x)=x7g(x)=x2.3h(x)=x-10k(x)=x\begin{aligned} f(x) &= x^7 \; &&g(x) = x^{2.3} \\ h(x) &= x^{\text{-}10} \; &&k(x) = x \end{aligned}

Lösning

Detta är fyra funktioner som kan skrivas på formen xn,x^n, så vi använder deriveringsregeln för potensfunktioner. Den säger att en funktion på formen f(x)=xnf(x) = x^n har derivatan f(x)=nxn1.f'(x) = nx^{n-1}. Man läser alltså av exponenten och sätter den som koefficient framför funktionen och minskar sedan exponenten med 1.1. Vi börjar med f(x)=x7.f(x) = x^7.

f(x)=x7f(x) = x^7
f(x)=D(x7)f'(x)=D\left(x^7\right)
f(x)=7x71f'(x)=7x^{7-1}
7x67x^6

För g(x)=x2.3g(x) = x^{2.3} är exponenten inte ett heltal, men det påverkar inte hur man använder regeln. Man får derivatan g(x)=2.3x2.31=2.3x1.3. g'(x) = 2.3x^{2.3 - 1} = 2.3x^{1.3}. Nästa funktion har en negativ exponent, men vi kan fortfarande använda samma regel. Derivatan av h(x)=x-10h(x) = x^{\text{-}10} är alltså h(x)=-10x-101=-10x-11. h'(x) = \text{-}10x^{\text{-}10 - 1} = \text{-}10x^{\text{-}11}. Till sist har vi k(x)=x,k(x) = x, som vi skulle kunna derivera på samma sätt genom att skriva om xx som x1.x^1. Men vi kan lika gärna använda specialregeln D(x)=1D(x)=1: k(x)=1. k'(x) = 1.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Beräkna derivatans värde med deriveringsregler

Ofta vill man bestämma värdet för en funktions derivata i en specifik punkt. Exempelvis kan man bestämma f(5)f'(5) för f(x)=x4.f(x)=x^4. Det innebär att man ska bestämma derivatan när x=5.x=5.

1

Derivera funktionen
Man börjar med att derivera funktionen med lämplig deriveringsregel. I det här fallet har man en potensfunktion så man använder därför deriveringsregeln för potensfunktioner.
f(x)=x4f(x)=x^4
f(x)=D(x4)f'(x)=D\left(x^4\right)
f(x)=4x3f'(x)=4x^3

2

Sätt in xx-värde
Sedan beräknas derivatans värde genom att man sätter in xx-värdet i f(x).f'(x).
f(x)=4x3f'(x)=4x^3
f(5)=453f'({\color{#0000FF}{5}})=4 \cdot {\color{#0000FF}{5}}^3
f(5)=4125f'(5)=4 \cdot 125
f(5)=500f'(5)=500
Derivatans värde är alltså 500500 i när x=5.x=5.
Metod

Skriv om och derivera potensfunktion

Rotuttryck och bråk där variabeln står i nämnaren kan ibland skrivas om på potensform. T.ex. kan x\sqrt{x} skrivas om som en potens med exponenten 0.50.5, x=x0.5, \sqrt{x}=x^{0.5}, och 1x2\frac{1}{x^2} kan skrivas som en potens med negativ exponent: 1x2=x-2. \dfrac{1}{x^2}=x^{\text{-} 2}. Detta kan utnyttjas för att skriva om vissa funktioner till formen f(x)=xnf(x)=x^n så att man kan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Detta gäller exempelvis funktionen f(x)=1x. f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.

1

Finns det något rotuttryck som kan skrivas som en potens?

Om funktionen innehåller ett rotuttryck skriver man om det som en potens med ett bråk eller decimaltal i exponenten. Nämnaren i det här funktionsuttrycket, x,\sqrt{x}, kan skrivas som x0.5,x^{0.5}, och funktionen kan därför skrivas f(x)=1x0.5. f(x)=\dfrac{1}{x^{0.5}}.

2

Finns det något bråk som kan skrivas som en potens med negativ exponent?

Om funktionen är ett bråk på formen 1xn\frac{1}{x^n} skriver man om det som potensen x-nx^{\text{-} n}. I det här fallet får man f(x)=1x0.5=x-0.5. f(x)=\dfrac{1}{x^{0.5}}=x^{\text{-} 0.5}.

3

Använd deriveringsregeln för potensfunktioner
Nu kan man derivera funktionen med deriveringsregeln för potensfunktioner.
f(x)=x-0.5f(x)=x^{\text{-}0.5}
f(x)=D(x-0.5)f'(x)=D\left(x^{\text{-}0.5}\right)
f(x)=-0.5x-1.5f'(x)=\text{-}0.5 x^{\text{-}1.5}
När man har kommit så här långt är man egentligen färdig med deriveringen, så det sista steget i metoden behöver inte alltid användas.

4

Skriv eventuellt derivatan på samma form som ursprungsfunktionen
I vissa fall kan det vara lämpligt att skriva om derivatan så att den står på liknande form som f(x).f(x). Det kan till exempel vara om det krävs i uppgiften eller om det blir enklare att räkna vidare med. För det här exemplet skulle man i så fall skriva om derivatan så den står på bråkform och innehåller ett rotuttryck.
f(x)=-0.5x-1.5f'(x)=\text{-}0.5 x^{\text{-} 1.5}
f(x)=-0.51x1.5f'(x)=\text{-}0.5 \cdot \dfrac{1}{x^{1.5}}
f(x)=-121x3/2f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x^{3/2}}
Dela upp i faktorer
f(x)=-121x31/2f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x^{3\cdot 1/2}}
abc=(ab)c a^{b\cdot c}=\left(a^{b}\right)^{c}
f(x)=-121(x3)1/2f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\left(x^3\right)^{1/2}}
f(x)=-121x3f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^3}}
f(x)=-12x3/2f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2x^{3/2}}

I det här fallet kan man alltså skriva derivatan till funktionen f(x)=1xf(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} som f(x)=-12x3/2. f'(x)=\text{-}\dfrac{1}{2x^{3/2}}.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

f(x)=x2f(x)=x^2

b

g(x)=x5g(x)=x^5

c

h(x)=x6h(x)=x^6

d

p(x)=x9p(x)=x^9

e

q(x)=x12q(x)=x^{12}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

f(x)=x4f(x)=x^4

b

g(x)=x105g(x)=x^{105}

c

h(x)=xh(x)=x

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

y=x-2y=x^{\text{-}2}

b

y=x3.5y=x^{3.5}

c

y=x-9.6y=x^{\text{-}9.6}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen f(x)=x4,f(x)=x^4, bestäm derivatan i punkten där

a

x=2x=2.

b

x=-100.x=\text{-} 100.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm g(3)g'(3) för följande funktioner.

a

g(x)=x3g(x)=x^3

b

g(x)=x7g(x)=x^7

c

g(x)=x11g(x)=x^{11}

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm f(3)f'(3) för följande funktioner.

a

f(x)=x4f(x)=x^4

b

f(y)=y2f(y)=y^2

c

f(z)=z-1f(z)=z^{\text{-}1}

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

f(x)=x1/2f(x)=x^{1/2}

b

g(x)=x1/4g(x)=x^{1/4}

c

h(x)=x-1/3h(x)=x^{\text{-}1/3}

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm g(2)g'(2) för följande funktioner utan att använda räknare.

a

g(x)=x-2g(x)=x^{\text{-}2}

b

g(x)=x-3g(x)=x^{\text{-}3}

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

f(x)=x7x2f(x) = \dfrac{x^7}{x^2}

b

g(x)=x4g(x) = \sqrt[4]{x}

c

h(x)=1x-2h(x) = \dfrac{1}{x^{\text{-}2}}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

f(x)=1x5f(x) = \dfrac{1}{x^5}

b

g(x)=xg(x) = \sqrt{x}

c

h(x)=1x2.5h(x) = \dfrac{1}{x^{2.5}}

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilka xx har grafen till följande funktioner lutningen 5?5?

a

f(x)=x5f(x)=x^5

b

g(x)=-1xg(x)=\text{-} \dfrac{1}{x}

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att derivatan av funktionen y=1y=1 är y=0y'=0 genom att använda deriveringsregeln för potensfunktioner.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

f(x)=1x3f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}

b

g(x)=1xxg(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{x}}

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att funktionen f(x)=x3f(x)=x^3 har derivatan f(x)=3x2f'(x)=3x^2 med hjälp av derivatans definition.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Walter har deriverat f(x)=x3f(x)=x^3 till f(x)=3x2.f'(x)=3x^2. Hans gode vän Hank säger "Det är fel. Derivatan är ju noll!" Vem har rätt? Motivera!

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att derivatan av f(x)=xπf(x)=\sqrt{x^{\pi}} är f(x)=πxπ2x. f'(x)=\dfrac{\pi\sqrt{x^{\pi}}}{2x}.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

För vilka xx gäller att g(x)=f(x)g'(x)=f'(x) om man vet att

f(x)=x2ochg(x)=x3. f(x)=x^2 \quad \text{och} \quad g(x)=x^3.

b

Tolka lösningarna till ekvationen.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}