{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
{{ "ml-topbar-info-01" | message }} {{ "ml-topbar-info-02" | message }} {{ "ml-topbar-info-03" | message }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Regler för derivator

Deriveringsregler för potensfunktioner

Begrepp

Derivera funktioner

Begreppet derivata kan syfta på lutningen i en viss punkt, men det kan också vara en funktion som beskriver hur derivatan beror på olika x-värden. När man deriverar en funktion f(x) får man derivatan
som också är en funktion. Genom att sätta in ett x-värde i kan man beräkna derivatans värde för detta x. Exempelvis innebär att man beräknar derivatans värde för f(x) när x=2. Förutom skrivsättet kan derivatan till en funktion f även skrivas som D(f(x)) som utläses "derivatan av f(x)":
Detta är användbart om man vill se vilken funktion som deriveras. T.ex. kan derivatan av f(x)=4x2 skrivas För att derivera en funktion kan man använda derivatans definition eller deriveringsregler. Deriveringsreglerna talar om hur olika typer av funktioner deriveras utan att man behöver använda definitionen för derivata.

Regel

Derivatan av en potensfunktion

För att derivera en potensfunktion där n är en konstant, multiplicerar man med n och minskar exponenten med 1.

Derivera/Förenkla

f(x)=x4

f(x)=x2

Deriveringsregeln gäller för alla reella n.

Regel

Man kan motivera regeln genom att visa att den exempelvis gäller då n=2, alltså för funktionen f(x)=x2. Man gör detta med hjälp av derivatans definition.

Deriveringsregeln gäller alltså när n=2, och det går att visa det för alla n också.

Regel

D(x)=1

Även funktionen f(x)=x går att derivera med deriveringsregeln för potensfunktioner, eftersom x är en potens med graden 1. Ofta brukar man dock använda en snabbare väg, nämligen regeln som säger att D(x)=1, som härleds här.

f(x)=x
f(x)=x1

Exempel

Derivera potensfunktionerna

fullscreen
Derivera potensfunktionerna.
Visa Lösning expand_more

Detta är fyra funktioner som kan skrivas på formen så vi använder deriveringsregeln för potensfunktioner. Den säger att en funktion på formen har derivatan Man läser alltså av exponenten och sätter den som koefficient framför funktionen och minskar sedan exponenten med 1. Vi börjar med f(x)=x7.

f(x)=x7
7x6
För är exponenten inte ett heltal, men det påverkar inte hur man använder regeln. Man får derivatan
Nästa funktion har en negativ exponent, men vi kan fortfarande använda samma regel. Derivatan av är alltså
Till sist har vi k(x)=x, som vi skulle kunna derivera på samma sätt genom att skriva om x som x1. Men vi kan lika gärna använda specialregeln D(x)=1:

Metod

Beräkna derivatans värde med deriveringsregler

Ofta vill man bestämma värdet för en funktions derivata i en specifik punkt. Exempelvis kan man bestämma för f(x)=x4. Det innebär att man ska bestämma derivatan när x=5.
1
Derivera funktionen
expand_more
Man börjar med att derivera funktionen med lämplig deriveringsregel. I det här fallet har man en potensfunktion så man använder därför deriveringsregeln för potensfunktioner.
f(x)=x4
2
Sätt in x-värde
expand_more
Sedan beräknas derivatans värde genom att man sätter in x-värdet i
Derivatans värde är alltså 500 i när x=5.

Metod

Skriv om och derivera potensfunktion

Rotuttryck och bråk där variabeln står i nämnaren kan ibland skrivas om på potensform. T.ex. kan skrivas om som en potens med exponenten 0.5,
och kan skrivas som en potens med negativ exponent:
Detta kan utnyttjas för att skriva om vissa funktioner till formen så att man kan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Detta gäller exempelvis funktionen
1
Finns det något rotuttryck som kan skrivas som en potens?
expand_more
Om funktionen innehåller ett rotuttryck skriver man om det som en potens med ett bråk eller decimaltal i exponenten. Nämnaren i det här funktionsuttrycket, kan skrivas som och funktionen kan därför skrivas
2
Finns det något bråk som kan skrivas som en potens med negativ exponent?
expand_more
Om funktionen är ett bråk på formen skriver man om det som potensen . I det här fallet får man
3
Använd deriveringsregeln för potensfunktioner
expand_more
Nu kan man derivera funktionen med deriveringsregeln för potensfunktioner.
När man har kommit så här långt är man egentligen färdig med deriveringen, så det sista steget i metoden behöver inte alltid användas.
4
Skriv eventuellt derivatan på samma form som ursprungsfunktionen
expand_more
I vissa fall kan det vara lämpligt att skriva om derivatan så att den står på liknande form som f(x). Det kan till exempel vara om det krävs i uppgiften eller om det blir enklare att räkna vidare med. För det här exemplet skulle man i så fall skriva om derivatan så den står på bråkform och innehåller ett rotuttryck.
I det här fallet kan man alltså skriva derivatan till funktionen som
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community