Andragradsekvationer och antal lösningar

Figuren är en liksidig triangel, vilket innebär att den har tre lika långa sidor och tre lika stora vinklar. Om triangelns omkrets är 24 m måste varje sida vara 243=8 m. För att bestämma triangelns area behöver vi höjden, som går från översta hörnet och delar basen på mitten.

Med höjden inritad får vi två rätvinkliga trianglar med hypotenusan 8 och basen 4. Vi bestämmer höjden med hjälp av Pythagoras sats.

Nu känner vi till triangelns höjd och kan därmed beräkna arean, som är basen multiplicerad med höjden dividerat med två.

Arean av triangeln är ca 28 m^2.

Vi ska fördela 24 m snöre mellan två kvadrater, så om det krävs x m för att göra den ena kvadraten kommer det att finnas 24 - x m över till den andra. Kvadrater har fyra lika långa sidor, vilket ger att sidlängderna blir x4 och 24-x4.

Arean för en kvadrat ges av dess sida upphöjt till två. Vi kvadrerar alltså sidorna och och adderar dem för att skapa ett uttryck för kvadraternas totala area. Detta kan ses som en funktion som beskriver kvadraternas area beroende på mängden snöre som används till en av dem, x. A=(24-x/4)^2+(x/4)^2 Frågan är alltså om A kan bli 17. Vi likställer därför funktionen med 17 och försöker lösa ut x ur den ekvation vi då får.

Om A=17 har en lösning får inte diskriminanten, alltså det som står under rottecknet i pq-formeln, vara negativ. Vi sätter in p och q i diskriminanten och beräknar dess värde.

Vi har en negativ diskriminant, vilket betyder att A=17 inte har några lösningar. Det inte finns alltså inte någon möjlig fördelning av snöret så kvadraterna tillsammans har en area på 17 m^2.

Vi använder pq-formeln för att ta fram uttryck för ekvationens rötter.

Ekvationen har exakt en rot om diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet, är 0. Det ger oss en andragradsekvation med variabeln t.

I vänsterledet finns två termer som båda innehåller t. Det betyder att vi kan faktorisera och använda nollproduktmetoden.

Ekvationen har endast en rot om t=0 eller t=4.

Om det bara finns en lösning till andragradsekvationen måste denna lösning vara en dubbelrot. Det betyder att ekvationen kan skrivas på formen (x-a)^2=0, där x=a är dubbelroten. Vi utvecklar vänsterledet med andra kvadreringsregeln: x^2-2ax+a^2=0. Jämför detta med den givna ekvationen x^2+tx+t=0. Koefficienten framför x och konstanten har samma värde, t. Detta måste även gälla för den här ekvationen. I den är koefficienten t=- 2a och konstanten är t=a^2. Dessa är lika, vilket ger en ekvation.

Vi får två värden på a. Vi använder dessa för att hitta motsvarande värden på t. Vi vet att t=-2a och t=a^2 och vi kan använda någon av dem för att beräkna t. Vi väljer t=- 2a, men man hade lika gärna kunnat välja den andra. a=0 ⇒ &t=- 2* 0=0 a=-2 ⇒ &t=-2(-2)=4 Ekvationen har alltså endast en rot då t=0 eller t=4. Det är samma svar som vi fick i huvudlösningen.

Om värdet på diskriminanten är lika med 0 har ekvationen endast en reell lösning. Vi utgår från uttrycket för diskriminanten och söker värden på p och q som gör att den blir 0. Vi skriver om denna ekvation så att q står ensamt i ena ledet och uttrycket som innehåller p står i det andra ledet.

Nu väljer vi vilket värde som helst på p, t.ex. p = 4.

Genom att sätta in detta får vi direkt ut vad värdet på q måste vara.

Vår ekvation blir alltså x^2+4x+4=0.

För att ekvationen ska ha 2 reella rötter måste diskriminanten vara positiv. Så istället för att sätta likhet i sambandet ( p2 )^2 - q = 0 ställer vi in olikhetstecknet så att vi undersöker när vänsterledet är större än 0.

Vi väljer t.ex. p=4 igen och får då ut ett villkor för q.

Om p=4 ska alltså q vara mindre än så, t.ex. 3. Detta ger oss ekvationen x^2+4x+3=0.

Slutligen ska vi bestämma p och q då ekvationen saknar lösningar. Vi ställer då upp motsvarande olikhet fast då diskriminanten är negativ, dvs. mindre än 0.

Vi väljer t.ex. p=4 igen och får då ut ett villkor på q.

q ska alltså vara större än 4, t.ex. 5. Detta ger oss ekvationen x^2+4x+5=0.

Om funktionerna skär varandra i en punkt betyder det att de har samma funktionsvärde i den punkten, dvs. det finns ett x-värde som uppfyller f(x)=g(x). Det ger oss en ekvation.

Vi vet att funktionerna skär varandra i exakt en punkt. Det betyder att ekvationen endast har en lösning. En andragradsekvation har en lösning om diskriminanten är 0. Det ger oss en ny ekvation med c som okänd.

c är alltså - 3.5.

För att bestämma skärningspunkten ska vi lösa ekvationen f(x)=g(x). Det var den vi ställde upp i förra deluppgiften och fick x=--1/2±sqrt((-1/2)^2-(-3+c/2)). Nu sätter vi in vårt c som vi beräknade och löser ekvationen helt.

Vi får alltså en rot: x=0.5. Det är inte så konstigt att vi bara fick en lösning — vi bestämde ju c så att diskriminanten skulle bli 0, och då får man bara en rot till ekvationen. Funktionerna skär alltså varandra när x är 0.5. För att beräkna y-koordinaten sätter vi in x-värdet i någon av funktionerna.

Skärningspunkten är alltså (0.5,-1.75). Kontrollera gärna med grafräknare att detta stämmer.

Två grafer som skär inte skär varandra delar de ingen punkt. Det betyder att om man sätter deras funktionsuttryck lika kommer ekvationen inte att ha någon lösning. Vi får x^2+3.7=2x+m. Detta är en andragradsekvation så vi börjar med att skriva om den till pq-form.

Vi behöver inte lösa ekvationen, utan vi är endast intresserade för vilka m som den inte går att lösa. Antalet lösningar till en andragradsekvation avgörs av vilket tecknet på diskriminanten dvs. det som står under rottecknet i pq-formeln: (p/2)^2-q. Eftersom vår andragradsekvation är skriven på pq-form kan vi läsa av p- och q-värdena direkt: p=-2 och q=3.7-m.

För att ekvationen inte ska ha några lösningar ska diskriminanten vara mindre än 0. Det betyder att m inte får vara större än 2.7. Det kan vi skriva som m<2.7

I punkten (0,- 2) är x=0 så den måste ligga på y-axeln. Eftersom funktionens konstant är - 2 vet vi att den skär y-axeln i (0,- 2) vilket innebär att påståendet stämmer. Vi kan även visa detta algebraiskt genom att sätta in x=0 i funktionen och beräkna.

När x är 0 är funktionsvärdet -2. Det betyder att grafen går genom punkten (0,-2), oavsett värde på b.

För att bestämma en funktions nollställen likställer man den med 0 och löser ut x. Vi ska alltså lösa ekvationen - 0.5x^2+bx-2=0. Vi skriver om den så att den står på pq-form.

Eftersom andragradsekvationen står lika med 0 kan vi identifiera dess p och q-värde som p=- 2b och q=4. En andragradsekvation kan ha 0, 1 eller 2 lösningar och om den har 1 lösning ska diskriminanten i pq-formeln vara lika med 0, dvs. (p/2)^2-q=0. Vi sätter in p- och q-värdena.

Det finns två möjliga värden på b som endast ger ett nollställe: b=2 och b=- 2.

Vi likställer funktionen med 0 och skriver om den på pq-form så att vi kan identifiera dess p- och q-värde.

Vi ser att p=- 2b och q=2c i ekvationen. Vi sätter in detta diskriminanten, sätter den lika med 0 och löser ut b.

Funktionen g får alltså ett nollställe om b antingen är lika med - sqrt(2c) eller sqrt(2c). Vi visar även hur man löser ut c.

För att funktionen ska ha ett nollställe gäller alltså b=±sqrt(2c) och c=b^2/2. Man får rätt oavsett vilket samband man svarar med.