Innehållsförteckning
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel
6.
Andragradsekvationer och antal lösningar
Denna lektion ger en detaljerad förklaring av andragradsekvationer och konceptet med reella lösningar. Den tar upp hur man kan avgöra antalet lösningar till en andragradsekvation genom att undersöka diskriminanten, det vill säga det som står under rottecknet i lösningen. Beroende på diskriminantens tecken kan man avgöra om ekvationen har två, en eller inga reella rötter. Om diskriminanten är negativ, har ekvationen inga reella lösningar. Om diskriminanten är noll, har ekvationen en lösning, vilket brukar kallas att ekvationen har en dubbelrot.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Andragradsekvationer och antal lösningar
Sida av 6
När man löser andragradsekvationer kan man ibland hamna i en situation där man ska dra kvadratroten ur ett negativt tal. Man brukar då säga att ekvationen saknar lösningar. Men det finns s.k. imaginära tal som kan lösa dessa ekvationer. Dessa ingår inte i kursen men det betyder att det kan vara missvisande att säga att det inte finns några lösningar. Istället brukar man säga att ekvationen saknar reella rötter.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Dubbelrot
- Antal lösningar till en andragradsekvation
Förkunskaper
Koncept
Dubbelrot
Polynomekvationer kan ibland delas upp i en produkt av binom, så att binomen står i ena ledet och 0 i det andra, t.ex.
(x+3)(x−1)(x−1)=0.
Om det finns någon rot som gör att två av binomen blir 0 kallas denna lösning för en dubbelrot. I ekvationen ovan finns två identiska binom, x−1, som båda blir noll för roten x=1, som då alltså är en dubbelrot. Grafiskt kan detta tolkas som att funktionen i ekvationens vänsterled tangerar, alltså nuddar men passerar inte, x-axeln när x är lika med 1. Koncept
Antal lösningar till en andragradsekvation
Lösningarna till en andragradsekvation på formen ax2+bx+c=0 kan tolkas grafiskt som nollställen till andragradsfunktionen 
Med hjälp av pq-formeln kan man avöra antalet lösningar till en andragradsfunktion genom att bestämma tecknet på diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet i pq-formeln: 
y=ax2+bx+c.
Om funktionen har två nollställen har ekvationen ax2+bx+c=0 två lösningar, och har funktionen ett nollställe har ekvationen en lösning (även kallad dubbelrot). Saknar funktionen nollställen har ekvationen inga reella lösningar.
(2p)2−q.
Är diskriminanten positiv har ekvationen två lösningar. Är den 0 har ekvationen en lösning, och är den negativ får man kvadratroten ur ett negativt tal vilket innebär att det saknas reella lösningar. Exempel
Avgör antalet lösningar till andragradsekvationerna
Avgör hur många reella lösningar ekvationerna har utan att faktiskt bestämma rötterna:
a
x2−2x+9=0
{"type":"choice","form":{"alts":["Tv\u00e5 l\u00f6sningar","En l\u00f6sning","Inga l\u00f6sningar"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
b
x2−4x+4=0.
{"type":"choice","form":{"alts":["Tv\u00e5 l\u00f6sningar","En l\u00f6sning","Inga l\u00f6sningar"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
Ledtråd
a Bestäm diskriminanten. Om den är positiv finns det två reella lösningar. Om den är noll finns det en. Om den är negativ finns det inga.
b Bestäm diskriminanten. Om den är positiv finns det två reella lösningar. Om den är noll finns det en. Om den är negativ finns det inga.
Lösning
a Man kan avgöra antalet lösningar till ekvationen genom att undersöka diskriminanten, alltså det som står under rottecknet i pq-formeln.
b Vi fortsätter likadant och ställer upp pq-formeln.
Övning
Determining the number of real solutions of a quadratic equation
Without solving the quadratic equations, use the discriminant to determine the number of real solutions.
Andragradsekvationer och antal lösningar
Övningar
Har ekvationen två, en eller inga reella rötter?
(x−5)(x+2)=0
{"type":"choice","form":{"alts":["Tv\u00e5","En","Inga"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
(x−3)(x−3)=0
{"type":"choice","form":{"alts":["Tv\u00e5","En","Inga"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
(x−7)(x−7)+5=0
{"type":"choice","form":{"alts":["Tv\u00e5","En","Inga"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
Vänsterledet består av två olika faktorer som båda innehåller x. Enligt nollproduktmetoden måste minst en av dessa vara 0 för att VL ska bli 0 . Det betyder att det finns två rötter.
I det här fallet är vänsterledet två likadana faktorer. Om den ena blir 0 blir även den andra 0 . Det betyder att det finns en lösning, även kallad dubbelrot.
Man kan skriva om ekvationen lite för att lättre se svaret.
Det finns inget reellt tal som upphöjt till 2 blir negativt. Det går alltså inte att hitta något värde på x så att vänsterledet blir negativt, och därför saknar ekvationen reella lösningar.
security
report
code
Graferna till andragradsfunktionerna f(x), g(x) och h(x) är inritade i koordinatsystemet.
x1=−4x2=−3x3=1x4=2x5=4
security
report
code
security
report
code
Eftersom funktionsvärdet är 0 där grafen skär x-axeln kommer funktionernas nollställen vara lösningarna till ekvationerna.
h(x)=0
Funktionen h(x) motsvaras av den gröna grafen. Den skär x-axeln två gånger så h(x)=0 har två lösningar. Ena roten bör motsvara det lägsta x-värdet eftersom grafen till h(x) skär x-axeln längst till vänster av alla grafer, dvs. x_1=-4. Den andra roten är positiv, och eftersom både den blå och röda grafen skär x-axeln längre till höger än den gröna måste den andra roten motsvara det lägsta positiva x-värdet: x_3=1.
g(x)=0
Den röda grafen representerar g(x). Den skär också x-axeln två gånger så även g(x)=0 har två lösningar. Av de lösningar som är kvar måste det vara den minsta och den största: x_2=-3 och x_5=4.
f(x)=0
Grafen till f(x) är blå. Den skär x-axeln på ett ställe så f(x)=0 har en rot. Vi ser att den ligger mellan de positiva nollställena till h(x) och g(x). Lösningen till f(x)=0 är alltså x_4=2.
security
report
code
Rachel ska bestämma sidan x i triangeln.
x2+(x+2)2=100.
Hur många reella lösningar har ekvationen?
{"type":"choice","form":{"alts":["Tv\u00e5","En","Inga"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att förenkla parentesen i vänsterledet med första kvadreringsreglen och skriver därefter om ekvationen på pq-form.
Nu löser vi ekvationen med pq-formeln.
Som vi ser har ekvationen x^2+(x+2)^2=100 två lösningar, x=-8 och x=6.
När vi sedan tolkar lösningarna kommer vi att förkasta, eller bortse från, den negativa roten då den är orimlig i sammanhanget. Det finns bara en lösning på problemet, då sträckor alltid är positiva. Men själva ekvationen har fortfarande 2 lösningar, eftersom vi inte får någon dubbelrot eller några icke-reella rötter.
security
report
code
Andragradsekvationer och antal lösningar
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll