Trigonometrisk polär form

För att bestämma talen z och w måste vi ta reda på deras absolutbelopp och argument så vi kan skriva dem på trigonometrisk polär form. Vi kan bestämma dessa genom att titta på absolutbeloppet och argumentet för zw och zw. Vi börjar med absolutbeloppet. zw= 8(cos(74^(∘))+isin(74^(∘))) &⇒ |zw|= 8 z/w= 2(cos(30^(∘))+isin(30^(∘))) &⇒ | zw|= 2 Dessa två ekvationer utgör ett ekvationssystem. Genom att utveckla absolutbeloppen med räknereglerna för komplexa tal kan |z| och |w| lösas ut.

Eftersom absolutbeloppet av ett tal inte kan vara negativt kan |w| endast vara den positiva lösningen, dvs. 2.

Vi har nu kommit fram till att absolutbeloppen av z och w är 4 respektive 2. Nu gör vi på samma sätt med argumenten. zw= 8(cos( 74^(∘))+isin( 74^(∘))) &⇒ arg(zw)= 74^(∘) z/w= 2(cos( 30^(∘))+isin( 30^(∘))) &⇒ arg( zw)= 30^(∘) Dessa ekvationer utgör ett nytt ekvationssystem, och räknereglerna för komplexa tal kan användas för att ta fram variablerna arg(z) och arg(w).

Det betyder att argumentet för z är 52^(∘) och 22^(∘) för w. Nu sätter vi in värdena för absolutbeloppet och argumentet i trigonometrisk polär form och får z&=4(cos(52^(∘))+isin(52^(∘))), w&=2(cos(22^(∘))+isin(22^(∘))).

För att lättare avgöra hur vi ska beräkna vinkeln som bildas ritar vi upp talen i det komplexa talplanet.

Vi ser då att vinkeln v är skillnaden mellan arg(w) och arg(z): v = arg(w) - arg(z). Vi beräknar först arg(w).

arg(w) är alltså 135^(∘). Vi beräknar nu arg(z).

Vi väntar med avrundningen till vi har det slutgiltiga svaret. När vi nu beräknat de två argumenten kan vi även beräkna v.

Vinkeln mellan de två vektorerna är alltså ca 108^(∘).

Talet z är svårt att placera exakt i det komplexa talplanet om det inte skrivs om. Eftersom vi endast är intresserade av argument kan vi dividera z med något positivt reellt tal. Vektorn kommer då fortfarande peka i samma riktning, men vara längre eller kortare. Vi försöker hitta något att dividera med genom att skriva om z.

Istället för att använda z i beräkningen kan vi alltså använda zsqrt(3), som är 1+2i. w kan vi dela med 3, så får vi w/3 = - 3 - 6i/3 = - 1 - 2i. Vi har nu hittat två tal som är lätta att markera i det komplexa talplanet samt har samma argument som z respektive w.

Vinkeln mellan vektorerna ser ut att vara 180^(∘). Det spelar i så fall ingen roll vilken av de två möjliga vinklarna vi beräknar. Men eftersom arg( zsqrt(3)) är positiv och arg( w3) är negativ väljer vi att beräkna arg( zsqrt(3)) - arg( w3) för att direkt få en positiv vinkel. Vi börjar med arg( zsqrt(3)).

Vi beräknar inte uttrycket förrän sista steget, för att undvika avrundningsfel. Vidare beräknar vi nu arg( w3).

Den sökta vinkeln v hittar vi nu genom beräkningen arg( zsqrt(3)) - arg( w3).

Vinkeln mellan vektorerna är alltså 180^(∘), vilket vi sen tidigare anade.

Istället för att beräkna argumenten för talen kan vi kontrollera att vinkeln mellan dem är 180^(∘) genom att beräkna vektorernas lutning. Vektorernas lutning k beräknar vi med formeln k = Δ y/Δ x, där Δ y och Δ x motsvarar imaginär- respektive realdelarna i det här fallet.

Båda vektorerna har lutningen 2, och ligger alltså på samma linje. Vinkeln mellan dem måste därmed vara 180^(∘).

I denna deluppgift behöver vi beräkna arg(w) - arg(z) för att få v. Dock uppstår då ett problem, när vi använder formeln för att bestämma argumentet för w får vi en negativ vinkel när en positiv vinkel behövs. Vi kommer därmed behöva lägga till ett varv, 360^(∘), på argumentet.

Vi börjar alltså med att beräkna arg(w).

Vi lägger nu till 360^(∘) för att hitta en positiv vinkel som motsvarar arg(w). - 161.56505...^(∘) + 360^(∘) = 198.43494...^(∘) Den sökta vinkeln beräknas alltså enligt v = 198.43494...^(∘) - arg(z). Eftersom z är 2i vet vi att argumentet för z är 90^(∘). Vi kan nu slutligen beräkna v.

Vi har nu fått fram att vinkeln mellan vektorerna är 108^(∘).

Vi ska alltså undersöka om arg(z) = - arg(z). Det finns olika sätt att göra det på. Vi kommer här jämföra z och z på trigonometrisk form. Eftersom komplexkonjugat fås genom att byta tecken på talets imaginärdel får vi z &= r(cos(v) + isin(v)) z &= r(cos(v) - isin(v)). För att nu kunna jämföra argumenten för z och z behöver vi skriva om z på trigonometrisk form. Det behöver alltså vara ett plustecken där det nu är ett minustecken, och argumenten i cos och sin måste vara identiska. Den sökta omskrivningen kan genomföras med hjälp av trigonometriska speglingssamband.

Vi har nu skrivit om z på trigonometrisk form, och kan se att argumenten för z och z är samma men med olika tecken.

Om vi istället låter z och z stå på rektangulär form så kan vi inte läsa argumenten direkt från uttrycken. Istället får vi använda oss av formeln arg(a + bi) = b ≥ 0 -3pt: arccos( a|a + bi|) b < 0 -3pt: - arccos( a|a + bi|) -3pt. Vi har då z = a + bi och z = a - bi. Om formeln används för att beräkna argumenten kommer ena fallet gälla för z och andra fallet för z, eftersom deras imaginärdelar har olika tecken. Absolutbeloppen och realdelarna är samma för z och z, därmed får de samma argument från formeln men med olika tecken, som kommer från de olika fallen.

arg(z) är vinkeln mellan vektorn z och den positiva reella axeln, och ska alltså vara minst 45^(∘) och max 135^(∘). Vi markerar den minsta vinkeln 45^(∘) i det komplexa talplanet.

Vinkeln är alltså den minsta tillåtna vinkeln, vilket innebär att området kommer avgränsas av den heldragna linjen. Den är heldragen eftersom vinkeln får vara 45^(∘). Den andra avgränsningen kommer vara vid den största tillåtna vinkeln 135^(∘). Eftersom det skiljer 90^(∘) mellan 45^(∘) och 135^(∘) drar vi en rät linje i den andra kvadranten som är vinkelrät mot den första linjen.

Vi har hittat de minsta värdena och de största värdena som arg(z) kan ha. Nu ritar vi in båda linjerna i det komplexa talplanet och markerar området mellan dessa.

På samma sätt som i förra deluppgiften finns ett minsta och ett största värde för argumentet arg(z). Här anger intervallet att vinkeln mot talet måste vara större än - π4. Eftersom - π2 innebär ett fjärdedels varv medurs måste - π4 ligga mittemellan. Vi markerar vinkeln i det komplexa talplanet.

Linjen blir streckad eftersom vinkeln måste vara större än - π4. Samtidigt måste vinkeln vara mindre än 4π/3 = π + π/3. Gränsvinkeln är alltså ett halvt varv, π, plus en tredjedel av ett halvt varv.

Den här linjen blir också streckad eftersom vinkeln måste vara mindre än 4π3.Vi har nu hittat linjerna som avgränsar området för z. Vi ritar in båda linjerna i samma talplan och markerar området mellan dem.

Absolutbeloppet av z är samma sak som avståndet från origo till talet z. z = r(cos(v)+isin(v)), |z|= r Nu har vi intervallet 0≤ |z| ≤2.5 vilket betyder att avståndet till z som längst får vara 2.5. Vi har inga begränsingar för vinkeln v vilket betyder att z kan ligga i vilken riktning som helst, bara inte på ett avstånd längre än 2.5 längdenheter från origo. Områdets rand utgörs därför av en cirkel med radien 2.5.

Eftersom intervallet är 0≤ |z| ≤2.5 kan z vara alla tal som ligger på eller innanför cirkeln.