Argumentet för ett komplext tal på rektangulär form

Argumentet för ett komplext tal på rektangulär form z = a + bi kan beräknas som arg(z) = b≥ 0 -3pt: arccos( a|a+bi|) [0.5em] b<0 -3pt: -arccos( a|a+bi|). Man kan visa detta genom att utgå från ett komplext tal skrivet på trigonometrisk polär form, z = r( cos(v) + isin(v)), där r är talets absolutbelopp och v är argumentet. Om man uttrycker talet på rektangulär form, z = a + bi kan a och b skrivas som a = rcos(v) och b = rsin(v). Man kan då dela realdelen a med r för att lösa ut cosinusvärdet för argumentet. cos(v)=a/r Det här sambandet gäller för alla komplexa tal förutom 0. Argumentet v kan nu bestämmas med hjälp av arccos.

Arcuscosinus ger en vinkel på intervallet 0≤ v≤π och den negativa lösningen ligger då på intervallet - π≤ v ≤ 0. Eftersom argumentet ofta anges på intervallet -π < v ≤ π är det alltså lösningarna då n=0 som är intressanta: arg(z)=±arccos(a/r). De positiva arccos-värdena motsvarar vinklarna i värdemängden för arccos, 0≤ v≤π, och de negativa arccos-värdena representerar motsvarande negativa vinklar, dvs. -π < v<0.

Komplexa tal som kan markeras på eller ovanför reella axeln, dvs. de med icke-negativ imaginärdel (b≥0), har argument på intervallet 0 till π. Argumentet för dessa tal kan därför bestämmas med formeln arg(z)=arccos(a/r). Om imaginärdelen istället är negativ (b<0) hamnar man under reella axeln och får då en negativ vinkel. arg(z)=-arccos(a/r) Tecknet på det komplexa talets imaginärdel, b, avgör alltså direkt vilken formel som ska användas. Absolutbeloppet r kan beräknas med r=|a+bi|, vilket ger den slutgiltiga formeln arg(z) = b≥ 0 -3pt: arccos( a|a+bi|) [0.5em] b<0 -3pt: -arccos( a|a+bi|).