Trigonometrisk polär form

För att undersöka om likheten stämmer utgår vi från vänsterledet och försöker skriva om det till högerledet. Vi förenklar uttrycket och delar upp i real- och imaginärdel.

Det sista steget för att visa att likheten stämmer blir att använda additionsformeln för cosinus på realdelen och additionsformeln för sinus på imaginärdelen.

Vi har nu visat att vänsterledet kan skrivas om till högerledet och alltså stämmer likheten.

För att undersöka om likheten stämmer utgår vi från vänsterledet och försöker skriva om det till högerledet.

Vi har ett tal med imaginärdel i nämnaren. Vi kan göra en förlängning av uttrycket för att nämnaren ska bli reell.

Vi kan nu samla termerna i real- och imaginärdel och sen använda subtraktionsformeln för cosinus och sinus för att förenkla.

Vi har nu visat att vänsterledet kan skrivas om till högerledet och alltså stämmer likheten.

Talet i vänsterledet har absolutbeloppet a och argumentet x. Eftersom högerledet visar samma tal måste dess absolutbelopp också vara a. Högerledets argument behöver däremot inte vara exakt lika med vänsterledets x, utan kan vara förskjutet med ett antal hela varv: a &= |x + ix| x &= arg(x + ix) + n* 2π. Vi börjar med att undersöka absolutbeloppsekvationen.

Det här uttrycket utvecklas olika beroende på om x är positivt eller negativt. Vi undersöker först fallet då x är positivt.

Positiva x

När x är positivt gäller |x| = x, och vi får då a = sqrt(2)x. Vi behöver nu bestämma värdet på x. Detta gör vi genom att undersöka ekvationen för talens argument. Även i den här ekvationen beror utvecklingen på om x är positivt eller negativt, men vi fortsätter med antagandet att x är positivt.

Argumentet x måste alltså vara π4, ev. förskjutet med ett antal helvarv. Men notera att om n<0 blir även x negativt, vilket går emot antagandet att x är positivt. Därför gäller uttrycket bara för n≥ 0. Vi kan nu stoppa in detta i uttrycket för a.

Den här lösningsmängden beskriver alltså alla möjliga värden på a då x är positivt. Vi går nu vidare till negativa x.

Negativa x

När x är negativt gäller |x| = - x, vilket ger en teckenväxling i uttrycket för a: a = - sqrt(2)x. På samma sätt som tidigare behöver vi nu lösa argumentekvationen. Nu när x är negativt blir det en teckenväxling även i uttrycket för högerledets argument.

Nu blev argumentet x istället - 3π4, ev. förskjutet med ett antal helvarv. Även här måste n begränsas. Positiva n-värden gör att x blir positivt, vilket går emot antagandet. Därför gäller uttrycket endast för n≤ 0. Vi kan nu stoppa in detta i uttrycket för a.

Eftersom n är icke-positiv kan perioden - n * 2π bytas ut mot n * 2π om n istället är icke-negativ. Vi får då lösningsmängden a = sqrt(2)(3π/4 + n * 2π) -3 pt. Det enda x-värde vi inte täckt in än är 0, eftersom argumentberäkningen ovan ger nolldivision ifall x=0.

x = 0

Eftersom vi endast är intresserade av ett enda tal prövar vi det i likheten.

Utöver lösningsmängderna som är funna är även a = 0 ett möjligt värde.

Slutsats

Nu har vi undersökt likheten för alla möjliga värden på x. Vi har därmed kommit fram till att möjliga värden på a beskrivs fullständigt av lösningsmängderna a = 0, a = sqrt(2)( π4 + n * 2π) och a = sqrt(2)( 3π4 + n * 2π), där n är ett icke-negativt heltal.