Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Division av komplexa tal på polär form

Bevis

Division av komplexa tal på polär form

När man dividerar ett komplext tal, z1,z_1, med ett annat, z2,z_2, kommer resultatet få ett absolutbelopp som är absolutbeloppet av z1z_1 dividerat med absolutbeloppet av z2.z_2. Argumentet får man genom att subtrahera argumentet för z2z_2 från argumentet för z1.z_1.

z1z2=r1r2(cos(v1v2)+isin(v1v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \left(\cos(v_1 - v_2) + i\sin(v_1 - v_2) \right)

Man kan visa detta genom att skriva de två talen på trigonometrisk form och dividera dem. Då börjar man med att förlänga bråket med uttrycket (cos(v2)isin(v2))(\cos(v_2) - i\sin(v_2)) och sedan använder man trigonometriska ettan för att eliminera nämnaren. Efter det utvecklar man uttrycket och använder trigonometriska samband för att skriva om det som ett enda tal på trigonometrisk form.
z1z2=r1(cos(v1)+isin(v1))r2(cos(v2)+isin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1\left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right)}{r_2\left( \cos(v_2) + i\sin(v_2) \right)}
z1z2=r1r2(cos(v1)+isin(v1))(cos(v2)+isin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \dfrac{\left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right)}{\left( \cos(v_2) + i\sin(v_2) \right)}
z1z2=r1r2(cos(v1)+isin(v1))(cos(v2)isin(v2))(cos(v2)+isin(v2))(cos(v2)isin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \dfrac{\left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right) \cdot \left( \cos(v_2) - i\sin(v_2) \right)}{\left( \cos(v_2) + i\sin(v_2) \right) \cdot \left( \cos(v_2) - i\sin(v_2) \right)}
z1z2=r1r2(cos(v1)+isin(v1))(cos(v2)isin(v2))cos2(v2)i2sin2(v2)\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \dfrac{\left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right) \cdot \left( \cos(v_2) - i\sin(v_2) \right)}{\cos^2(v_2) - i^2\sin^2(v_2)}
z1z2=r1r2(cos(v1)+isin(v1))(cos(v2)isin(v2))cos2(v2)+sin2(v2)\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \dfrac{\left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right) \cdot \left( \cos(v_2) - i\sin(v_2) \right)}{\cos^2(v_2) + \sin^2(v_2)}
z1z2=r1r2(cos(v1)+isin(v1))(cos(v2)isin(v2))1\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \dfrac{\left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right) \cdot \left( \cos(v_2) - i\sin(v_2) \right)}{1}
z1z2=r1r2(cos(v1)+isin(v1))(cos(v2)isin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right) \cdot \left( \cos(v_2) - i\sin(v_2) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)cos(v1)isin(v2)+isin(v1)cos(v2)isin(v1)isin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1)\cdot\cos(v_2) - \cos(v_1)\cdot i\sin(v_2) + i\sin(v_1) \cdot \cos(v_2) - i\sin(v_1)\cdot i \sin(v_2) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)icos(v1)sin(v2)+isin(v1)cos(v2)i2sin(v1)sin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1)\cdot\cos(v_2) - i\cos(v_1)\sin(v_2) + i\sin(v_1)\cos(v_2) - i^2\sin(v_1)\sin(v_2) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)icos(v1)sin(v2)+isin(v1)cos(v2)+sin(v1)sin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1)\cdot\cos(v_2) - i\cos(v_1)\sin(v_2) + i\sin(v_1)\cos(v_2) + \sin(v_1)\sin(v_2) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)+sin(v1)sin(v2)+isin(v1)cos(v2)icos(v1)sin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1)\cdot\cos(v_2) + \sin(v_1)\sin(v_2) + i\sin(v_1)\cos(v_2) - i\cos(v_1)\sin(v_2) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)+sin(v1)sin(v2)+i(sin(v1)cos(v2)cos(v1)sin(v2)))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1)\cdot\cos(v_2) + \sin(v_1)\sin(v_2) + i\left(\sin(v_1)\cos(v_2) - \cos(v_1)\sin(v_2) \right) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1v2)+i(sin(v1)cos(v2)cos(v1)sin(v2)))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1 - v_2) + i\left(\sin(v_1)\cos(v_2) - \cos(v_1)\sin(v_2) \right) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1v2)+isin(v1v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1 - v_2) + i\sin(v_1 - v_2) \right)
Nu kan man läsa av det som står framför parentesen som absolutbeloppet för z1z2,\frac{z_1}{z_2}, alltså r1r2.\frac{r_1}{r_2}. Det som står inne i cos- och sinfunktionerna är sedan argumentet, alltså v1v2.v_1 - v_2.
Q.E.D.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward