Bevis

Division av komplexa tal på polär form

När man dividerar ett komplext tal, z1,z_1, med ett annat, z2,z_2, kommer resultatet få ett absolutbelopp som är absolutbeloppet av z1z_1 dividerat med absolutbeloppet av z2.z_2. Argumentet får man genom att subtrahera argumentet för z2z_2 från argumentet för z1.z_1.

z1z2=r1r2(cos(v1v2)+isin(v1v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \left(\cos(v_1 - v_2) + i\sin(v_1 - v_2) \right)

Man kan visa detta genom att skriva de två talen på trigonometrisk form och dividera dem. Då börjar man med att förlänga bråket med uttrycket (cos(v2)isin(v2))(\cos(v_2) - i\sin(v_2)) och sedan använder man trigonometriska ettan för att eliminera nämnaren. Efter det utvecklar man uttrycket och använder trigonometriska samband för att skriva om det som ett enda tal på trigonometrisk form.
z1z2=r1(cos(v1)+isin(v1))r2(cos(v2)+isin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1\left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right)}{r_2\left( \cos(v_2) + i\sin(v_2) \right)}
z1z2=r1r2(cos(v1)+isin(v1))(cos(v2)+isin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \dfrac{\left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right)}{\left( \cos(v_2) + i\sin(v_2) \right)}
z1z2=r1r2(cos(v1)+isin(v1))(cos(v2)isin(v2))(cos(v2)+isin(v2))(cos(v2)isin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \dfrac{\left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right) \cdot \left( \cos(v_2) - i\sin(v_2) \right)}{\left( \cos(v_2) + i\sin(v_2) \right) \cdot \left( \cos(v_2) - i\sin(v_2) \right)}
z1z2=r1r2(cos(v1)+isin(v1))(cos(v2)isin(v2))cos2(v2)i2sin2(v2)\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \dfrac{\left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right) \cdot \left( \cos(v_2) - i\sin(v_2) \right)}{\cos^2(v_2) - i^2\sin^2(v_2)}
z1z2=r1r2(cos(v1)+isin(v1))(cos(v2)isin(v2))cos2(v2)+sin2(v2)\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \dfrac{\left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right) \cdot \left( \cos(v_2) - i\sin(v_2) \right)}{\cos^2(v_2) + \sin^2(v_2)}
z1z2=r1r2(cos(v1)+isin(v1))(cos(v2)isin(v2))1\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \dfrac{\left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right) \cdot \left( \cos(v_2) - i\sin(v_2) \right)}{1}
z1z2=r1r2(cos(v1)+isin(v1))(cos(v2)isin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1) + i\sin(v_1) \right) \cdot \left( \cos(v_2) - i\sin(v_2) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)cos(v1)isin(v2)+isin(v1)cos(v2)isin(v1)isin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1)\cdot\cos(v_2) - \cos(v_1)\cdot i\sin(v_2) + i\sin(v_1) \cdot \cos(v_2) - i\sin(v_1)\cdot i \sin(v_2) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)icos(v1)sin(v2)+isin(v1)cos(v2)i2sin(v1)sin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1)\cdot\cos(v_2) - i\cos(v_1)\sin(v_2) + i\sin(v_1)\cos(v_2) - i^2\sin(v_1)\sin(v_2) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)icos(v1)sin(v2)+isin(v1)cos(v2)+sin(v1)sin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1)\cdot\cos(v_2) - i\cos(v_1)\sin(v_2) + i\sin(v_1)\cos(v_2) + \sin(v_1)\sin(v_2) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)+sin(v1)sin(v2)+isin(v1)cos(v2)icos(v1)sin(v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1)\cdot\cos(v_2) + \sin(v_1)\sin(v_2) + i\sin(v_1)\cos(v_2) - i\cos(v_1)\sin(v_2) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)+sin(v1)sin(v2)+i(sin(v1)cos(v2)cos(v1)sin(v2)))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1)\cdot\cos(v_2) + \sin(v_1)\sin(v_2) + i\left(\sin(v_1)\cos(v_2) - \cos(v_1)\sin(v_2) \right) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1v2)+i(sin(v1)cos(v2)cos(v1)sin(v2)))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1 - v_2) + i\left(\sin(v_1)\cos(v_2) - \cos(v_1)\sin(v_2) \right) \right)
z1z2=r1r2(cos(v1v2)+isin(v1v2))\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(v_1 - v_2) + i\sin(v_1 - v_2) \right)
Nu kan man läsa av det som står framför parentesen som absolutbeloppet för z1z2,\frac{z_1}{z_2}, alltså r1r2.\frac{r_1}{r_2}. Det som står inne i cos- och sinfunktionerna är sedan argumentet, alltså v1v2.v_1 - v_2.
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}