Begrepp

Absolutbelopp

Inom matematiken kan ordet absolutbelopp syfta på olika saker beroende på i vilket sammanhang man pratar om det. Gemensamt är att alla varianter har något med avstånd att göra.

Notation
Absolutbelopp: $|\phantom{,}|$

För att ange ett absolutbeloppet av något sätter man två vertikala streck runt det, t.ex. $|7|, \quad |\vec{v}|, \quad |\text{-}5| \quad \text{och} \quad |3+8i|.$

Begrepp

Reella tal

Absolutbeloppet av ett reellt tal $a$ är det positiva värdet av $a,$ och skrivs $|a|.$ Om $a$ redan är positivt påverkar absolutbeloppet ingenting, men för ett negativt $a$ byts tecknet och talet blir positivt. Man kan definiera det på två olika sätt.

$\AbsDef$

$|a|=\sqrt{a^2}$

Den grafiska tolkningen av detta är avståndet från $a$ till $0$ på en tallinje. Till exempel är $|3|$ avståndet mellan $0$ och $3,$ och $|\text{-}3|$ är avståndet mellan $0$ och $\text{-}3.$

Absolutbeloppet av en differens, som $|a-b|,$ anger avståndet mellan talen $a$ och $b.$

Begrepp

Absolutbeloppsfunktion

Man kan också se absolutbelopp som en funktion där avståndet från origo är funktionsvärdet. $f(x)=|x|=\begin{cases}x, & x \geq 0 \\ \text{-} x, & x < 0\end{cases}$ Abolutbeloppsfunktionen är aldrig negativ, men om man kombinerar den med andra funktioner, t.ex. i ett polynom, kan grafen hamna både ovanför och under $x$-axeln.

Typiskt för funktioner med absolutbelopp är att de har grafer som vänder skarpt.

Begrepp

Polära koordinater

När man anger koordinater på polär form anger en av dessa koordinater avståndet från punkten till origo. Utgår man från en punkt angiven i de kartesiska koordinaterna, $x$ och $y,$ kan detta avstånd beräknas med absolutbelopp.

$|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}$

Begrepp

Komplexa tal

För komplexa tal i det komplexa talplanet kan absolutbelopp tolkas som avståndet från punkten till origo. För ett komplext tal på rektangulär form, $z=a+bi,$ beräknas avståndet på liknande sätt som för polära koordinater i ett reellt koordinatsystem.

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Begrepp

Vektorer

Absolutbeloppet för en vektor tolkas som dess längd. Om en vektor är skriven på koordinatform, $\vec{v}=(a,b),$ beräknas denna längd genom att dra kvadratroten ur summan av kvadraterna av koordinaterna.

$|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2}$

Längden av en vektor kallas ibland även för norm.