Bevis

Multiplikation av komplexa tal på polär form

Om man multiplicerar två komplexa tal,

z_{1}

och

z_{2},

med varandra kommer det tal man får som resultat att ha ett absolutbelopp som är produkten av absolutbeloppen för

z_{1}

och

z_{2}

och ett argument som är summan av deras argument.

$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (v_{1} + v_{2}) + i sin (v_{1} + v_{2}))$

Man kan visa detta genom att skriva de två talen på trigonometrisk form och multiplicera ihop dem. Man kan då använda olika trigonometriska samband för att skriva uttrycket som ett enda komplext tal på trigonometrisk form.

z_{1} z_{2} = r_{1} (cos (v_{1}) + i sin (v_{1})) \cdot r_{2} (cos (v_{2}) + i sin (v_{2}))

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (v_{1}) + i sin (v_{1})) \cdot (cos (v_{2}) + i sin (v_{2}))

ExpandPar

Multiplicera parenteser

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (v_{1}) \cdot cos (v_{2}) + cos (v_{1}) \cdot i sin (v_{2}) + i sin (v_{1}) \cdot cos (v_{2}) + i sin (v_{1}) \cdot i sin (v_{2}))

Multiply

Multiplicera faktorer

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (v_{1}) cos (v_{2}) + i cos (v_{1}) sin (v_{2}) + i sin (v_{1}) cos (v_{2}) + i^{2} sin (v_{1}) sin (v_{2}))

IDefPow

$i^{2} = - 1$

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (v_{1}) cos (v_{2}) + i cos (v_{1}) sin (v_{2}) + i sin (v_{1}) cos (v_{2}) - sin (v_{1}) sin (v_{2}))

RearrangeTerms

Omarrangera termer

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (v_{1}) cos (v_{2}) - sin (v_{1}) sin (v_{2}) + i sin (v_{1}) cos (v_{2}) + i cos (v_{1}) sin (v_{2}))

FactorOut

Bryt ut $i$

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (v_{1}) cos (v_{2}) - sin (v_{1}) sin (v_{2}) + i (sin (v_{1}) cos (v_{2}) + cos (v_{1}) sin (v_{2})))

CosAddRev

$cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v) = cos (u + v)$

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (v_{1} + v_{2}) + i (sin (v_{1}) cos (v_{2}) + cos (v_{1}) sin (v_{2})))

SinAddRev

$sin (u) cos (v) + cos (u) sin (v) = sin (u + v)$

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (v_{1} + v_{2}) + i sin (v_{1} + v_{2}))

Nu kan man läsa av det som står framför parentesen som absolutbeloppet för

z_{1} z_{2},

alltså

r_{1} r_{2} .

Det som står inne i cos- och sinfunktionerna är sedan argumentet, alltså

v_{1} + v_{2} .

Q.E.D.

Rekommenderade uppgifter