Bevis

Multiplikation av komplexa tal på polär form

Om man multiplicerar två komplexa tal, z_1 och z_2, med varandra kommer det tal man får som resultat att ha ett absolutbelopp som är produkten av absolutbeloppen för z_1 och z_2 och ett argument som är summan av deras argument.

z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(v_1 + v_2) + isin(v_1 + v_2) )

Man kan visa detta genom att skriva de två talen på trigonometrisk form och multiplicera ihop dem. Man kan då använda olika trigonometriska samband för att skriva uttrycket som ett enda komplext tal på trigonometrisk form.

z_1z_2 = r_1(cos(v_1) + isin(v_1)) * r_2(cos(v_2) + isin(v_2))

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

z_1z_2 = r_1 r_2 (cos(v_1) + isin(v_1)) * (cos(v_2) + isin(v_2))

ExpandPar

Multiplicera parenteser

z_1z_2 = r_1 r_2 (cos(v_1) * cos(v_2) + cos(v_1) * i sin(v_2) + isin(v_1) * cos(v_2) + isin(v_1) * isin(v_2))

Multiply

Multiplicera faktorer

z_1z_2 = r_1 r_2 (cos(v_1)cos(v_2) + i cos(v_1) sin(v_2) + isin(v_1) cos(v_2) + i^2sin(v_1)sin(v_2))

IDefPow

i^2=- 1

z_1z_2 = r_1 r_2 (cos(v_1) cos(v_2) + i cos(v_1) sin(v_2) + isin(v_1)cos(v_2) - sin(v_1) sin(v_2))

RearrangeTerms

Omarrangera termer

z_1z_2 = r_1 r_2 (cos(v_1) cos(v_2) - sin(v_1) sin(v_2) + isin(v_1)cos(v_2) + i cos(v_1) sin(v_2))

FactorOut

Bryt ut i

z_1z_2 = r_1 r_2 (cos(v_1) cos(v_2) - sin(v_1) sin(v_2) + i ( sin(v_1)cos(v_2) + cos(v_1) sin(v_2)))

CosAddRev

cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v)=cos(u+v)

z_1z_2 = r_1 r_2 (cos(v_1 + v_2) + i ( sin(v_1)cos(v_2) + cos(v_1) sin(v_2)))

SinAddRev

sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)=sin(u+v)

z_1z_2 = r_1 r_2 (cos(v_1 + v_2) + i sin(v_1 + v_2))

Nu kan man läsa av det som står framför parentesen som absolutbeloppet för z_1z_2, alltså r_1r_2. Det som står inne i cos- och sinfunktionerna är sedan argumentet, alltså v_1 + v_2.

Q.E.D.

Rekommenderade uppgifter