Bevis

Multiplikation av komplexa tal på polär form

Om man multiplicerar två komplexa tal, z1z_1 och z2,z_2, med varandra kommer det tal man får som resultat att ha ett absolutbelopp som är produkten av absolutbeloppen för z1z_1 och z2z_2 och ett argument som är summan av deras argument.

z1z2=r1r2(cos(v1+v2)+isin(v1+v2))z_1 z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(v_1 + v_2) + i\sin(v_1 + v_2) \right)

Man kan visa detta genom att skriva de två talen på trigonometrisk form och multiplicera ihop dem. Man kan då använda olika trigonometriska samband för att skriva uttrycket som ett enda komplext tal på trigonometrisk form.

z1z2=r1(cos(v1)+isin(v1))r2(cos(v2)+isin(v2))z_1z_2 = r_1\left(\cos(v_1) + i\sin(v_1)\right) \cdot r_2\left(\cos(v_2) + i\sin(v_2)\right)
z1z2=r1r2(cos(v1)+isin(v1))(cos(v2)+isin(v2))z_1z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(v_1) + i\sin(v_1)\right) \cdot \left(\cos(v_2) + i\sin(v_2)\right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)+cos(v1)isin(v2)+isin(v1)cos(v2)+isin(v1)isin(v2))z_1z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(v_1) \cdot \cos(v_2) + \cos(v_1) \cdot i \sin(v_2) + i\sin(v_1) \cdot \cos(v_2) + i\sin(v_1) \cdot i\sin(v_2)\right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)+icos(v1)sin(v2)+isin(v1)cos(v2)+i2sin(v1)sin(v2))z_1z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(v_1)\cos(v_2) + i \cos(v_1) \sin(v_2) + i\sin(v_1) \cos(v_2) + i^2\sin(v_1)\sin(v_2)\right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)+icos(v1)sin(v2)+isin(v1)cos(v2)sin(v1)sin(v2))z_1z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(v_1) \cos(v_2) + i \cos(v_1) \sin(v_2) + i\sin(v_1)\cos(v_2) - \sin(v_1) \sin(v_2)\right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)sin(v1)sin(v2)+isin(v1)cos(v2)+icos(v1)sin(v2))z_1z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(v_1) \cos(v_2) - \sin(v_1) \sin(v_2) + i\sin(v_1)\cos(v_2) + i \cos(v_1) \sin(v_2)\right)
z1z2=r1r2(cos(v1)cos(v2)sin(v1)sin(v2)+i(sin(v1)cos(v2)+cos(v1)sin(v2)))z_1z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(v_1) \cos(v_2) - \sin(v_1) \sin(v_2) + i \left( \sin(v_1)\cos(v_2) + \cos(v_1) \sin(v_2)\right)\right)
z1z2=r1r2(cos(v1+v2)+i(sin(v1)cos(v2)+cos(v1)sin(v2)))z_1z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(v_1 + v_2) + i \left( \sin(v_1)\cos(v_2) + \cos(v_1) \sin(v_2)\right)\right)
z1z2=r1r2(cos(v1+v2)+isin(v1+v2))z_1z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(v_1 + v_2) + i \sin(v_1 + v_2)\right)
Nu kan man läsa av det som står framför parentesen som absolutbeloppet för z1z2,z_1z_2, alltså r1r2.r_1r_2. Det som står inne i cos- och sinfunktionerna är sedan argumentet, alltså v1+v2.v_1 + v_2.
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}