{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Asymptoter och grafer

Skissa grafer med hjälp av asymptoter

Asymptoter är ett användbart skissverktyg eftersom de ger information om hur grafen till en funktion beter sig när avståndet till origo blir väldigt stort, vilket t.ex. derivatans nollställen inte gör.

Metod

Skissa en graf med derivata och asymptoter

Med hjälp av en funktions derivata samt eventuella asymptoter kan man få en relativt tydlig bild av hur grafen till en funktion ser ut. Man kan t.ex. skissa grafen till funktionen
med dessa verktyg.
1
Derivera funktionen och bestäm dess stationära punkter
expand_more
Till att börja med avgör man var funktionen har stationära punkter. Dessa finns där derivatan är 0 så funktionen deriveras.
Derivera
Förenkla
För att hitta x-värdena i de stationära punkterna sätter man derivatan lika med 0 och löser ekvationen. I exemplet sker detta bara då täljaren antar värdet 0.
x22x1=0
Lös med pq-formeln
Funktionen har alltså stationära punkter där och Punkternas y-värden hittar man genom att sätta in x-värdena i funktionsuttrycket. Eftersom man bara ska skissa grafen behöver koordinaterna inte vara exakta, utan det går bra att använda de avrundade värdena -0.4 respektive 2.4.

Koordinaterna för funktionens ena stationära punkt är alltså ungefär (-0.4,0.2).

Koordinaterna för den andra stationära punkten är ungefär (2.4,5.8).
2
Bestäm de stationära punkternas karaktär och markera dem i ett koordinatsystem
expand_more

För att avgöra vilken karaktär de stationära punkterna har kan man undersöka andraderivatans tecken i punkterna. Då måste man först bestämma funktionens andraderivata genom att derivera ytterligare en gång.

Derivera
Förenkla

När man nu har andraderivatan sätter man in de stationära punkternas x-värden och beräknar. I det här fallet är det endast tecknet som är intressant. Därav får inte avrundade x-värden stoppas in i uttrycket eftersom felmarginalen skulle kunna leda till fel klassificering.

Andraderivatan då är negativ, så det finns en maximipunkt där.

När är andraderivatan istället positiv, så där finns en minimipunkt. Man kan nu markera de ungefärliga stationära punkterna (-0.4,0.2) och (2.4,5.8) som en maximi- respektive minimipunkt i ett koordinatsystem.


3
Bestäm och markera eventuella vertikala asymptoter
expand_more

Nu fortsätter man med att söka efter vertikala asymptoter. I det här fallet är f(x) en rationell funktion — då är det lämpligt att leta där den är odefinierad, dvs. då x=1. När x går mot 1 går hela kvoten mot oändligheten, så funktionen har den vertikala asymptoten x=1. Detta kan man bekräfta numeriskt genom att sätta in x-värden närmare och närmare 1 i funktionsuttrycket.

x 1.1 1.01 1.001 1.0001
23.1 203.01 2003.001 20003.0001

Nu kan denna asymptot markeras i koordinatsystemet.

4
Bestäm och markera eventuella sneda asymptoter
expand_more
Man avgör om en funktion har en sned asymptot genom att först beräkna gränsvärdet
Om gränsvärdet existerar motsvarar det en eventuell asymptots k-värde.
Man undersökar ofta vad som händer med en gränsvärdeskvot när x går mot oändligheten genom att förkorta med termen av högst grad. Här ska alltså bråket förkortas med x.
När x nu går mot oändligheten kommer bråken med x i nämnaren gå mot 0.
1
Om funktionen har en sned asymptot är dess k-värde 1. Man beräknar nu gränsvärdet
Om det existerar är det asymptotens m-värde.
Beräkna gränsvärde
2
Funktionens sneda asymptot är alltså den räta linjen y=x+2. Även denna markeras i koordinatsystemet.
5
Bestäm eventuellt fler punkter på grafen
expand_more

För att få en ännu bättre idé om grafens utseende kan man bestämma några ytterligare punkter på grafen. I det här fallet är det inte helt uppenbart hur snabbt grafen närmar sig asymptoterna så det kan vara intressant att undersöka några x-värden omkring extrempunkterna.

x f(x)
-2 -0.67
0.5 -1.5
1.5 7.5
4 6.67

När dessa punkter placeras ut blir det ännu tydligare hur grafen ser ut.

6
Skissa grafen
expand_more

Nu finns det tillräckligt med information för att skissa grafen. När avståndet till origo ökar ska grafen närma sig asymptoterna. Grafen till ser alltså ut på följande vis.

Det här är bra riktlinjer när man ska skissa grafer. I vissa fall kan det dock vara lämpligt att göra dessa steg i en annan ordning.
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community