mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Asymptoter och grafer

Skissa grafer med hjälp av asymptoter

Asymptoter är ett användbart skissverktyg eftersom de ger information om hur grafen till en funktion beter sig när avståndet till origo blir väldigt stort, vilket t.ex. derivatans nollställen inte gör.

Metod

Skissa en graf med derivata och asymptoter

Med hjälp av en funktions derivata samt eventuella asymptoter kan man få en relativt tydlig bild av hur grafen till en funktion ser ut. Man kan t.ex. skissa grafen till funktionen med dessa verktyg.

1

Derivera funktionen och bestäm dess stationära punkter
Till att börja med avgör man var funktionen har stationära punkter. Dessa finns där derivatan är så funktionen deriveras.
Derivera
Förenkla
För att hitta -värdena i de stationära punkterna sätter man derivatan lika med och löser ekvationen. I exemplet sker detta bara då täljaren antar värdet .
Lös med -formeln
Funktionen har alltså stationära punkter där och Punkternas värden hittar man genom att sätta in värdena i funktionsuttrycket. Eftersom man bara ska skissa grafen behöver koordinaterna inte vara exakta, utan det går bra att använda de avrundade värdena respektive

Koordinaterna för funktionens ena stationära punkt är alltså ungefär

Koordinaterna för den andra stationära punkten är ungefär

2

Bestäm de stationära punkternas karaktär och markera dem i ett koordinatsystem

För att avgöra vilken karaktär de stationära punkterna har kan man undersöka andraderivatans tecken i punkterna. Då måste man först bestämma funktionens andraderivata genom att derivera ytterligare en gång.

Derivera
Förenkla

När man nu har andraderivatan sätter man in de stationära punkternas värden och beräknar. I det här fallet är det endast tecknet som är intressant. Därav får inte avrundade värden stoppas in i uttrycket eftersom felmarginalen skulle kunna leda till fel klassificering.

Andraderivatan då är negativ, så det finns en maximipunkt där.

När är andraderivatan istället positiv, så där finns en minimipunkt. Man kan nu markera de ungefärliga stationära punkterna och som en maximi- respektive minimipunkt i ett koordinatsystem.


3

Bestäm och markera eventuella vertikala asymptoter

Nu fortsätter man med att söka efter vertikala asymptoter. I det här fallet är en rationell funktion — då är det lämpligt att leta där den är odefinierad, dvs. då När går mot går hela kvoten mot oändligheten, så funktionen har den vertikala asymptoten Detta kan man bekräfta numeriskt genom att sätta in värden närmare och närmare i funktionsuttrycket.

Nu kan denna asymptot markeras i koordinatsystemet.

4

Bestäm och markera eventuella sneda asymptoter

Man avgör om en funktion har en sned asymptot genom att först beräkna gränsvärdet Om gränsvärdet existerar motsvarar det en eventuell asymptots värde.

Man undersökar ofta vad som händer med en gränsvärdeskvot när går mot oändligheten genom att förkorta med termen av högst grad. Här ska alltså bråket förkortas med
När nu går mot oändligheten kommer bråken med i nämnaren gå mot
Om funktionen har en sned asymptot är dess värde Man beräknar nu gränsvärdet Om det existerar är det asymptotens värde.
Beräkna gränsvärde
Funktionens sneda asymptot är alltså den räta linjen Även denna markeras i koordinatsystemet.

5

Bestäm eventuellt fler punkter på grafen

För att få en ännu bättre idé om grafens utseende kan man bestämma några ytterligare punkter på grafen. I det här fallet är det inte helt uppenbart hur snabbt grafen närmar sig asymptoterna så det kan vara intressant att undersöka några värden omkring extrempunkterna.

När dessa punkter placeras ut blir det ännu tydligare hur grafen ser ut.

6

Skissa grafen

Nu finns det tillräckligt med information för att skissa grafen. När avståndet till origo ökar ska grafen närma sig asymptoterna. Grafen till ser alltså ut på följande vis.

Det här är bra riktlinjer när man ska skissa grafer. I vissa fall kan det dock vara lämpligt att göra dessa steg i en annan ordning.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward