Skissa grafer med hjälp av asymptoter

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Asymptoter är ett användbart skissverktyg eftersom de ger information om hur grafen till en funktion beter sig när avståndet till origo blir väldigt stort, vilket t.ex. derivatans nollställen inte gör.
Metod

Skissa en graf med derivata och asymptoter

Med hjälp av en funktions derivata samt eventuella asymptoter kan man få en relativt tydlig bild av hur grafen till en funktion ser ut. Man kan t.ex. skissa grafen till funktionen f(x)=x2+xx1 f(x)=\dfrac{x^2 + x}{x - 1} med dessa verktyg.

Till att börja med avgör man var funktionen har stationära punkter. Dessa finns där derivatan är 00 så funktionen deriveras.

f(x)=x2+xx1f(x)=\dfrac{x^2 + x}{x - 1}
f(x)=D(x2+xx1)f'(x) = D\left( \dfrac{x^2 + x}{x - 1} \right)
f(x)=D(x2+x)(x1)(x2+x)D(x1)(x1)2f'(x) = \dfrac{D\left( x^2 + x \right) \cdot (x - 1) - \left( x^2 + x \right) \cdot D(x - 1)}{(x - 1)^2}
f(x)=(2x+1)(x1)(x2+x)(x1)2f'(x) = \dfrac{\left( 2x + 1 \right) \cdot (x - 1) - \left( x^2 + x \right)}{(x - 1)^2}
f(x)=x22x1(x1)2f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}

För att hitta xx-värdena i de stationära punkterna sätter man derivatan lika med 00 och löser ekvationen. I exemplet sker detta bara då täljaren antar värdet 00.

x22x1=0x^2 - 2x - 1 = 0
x=1±2x=1\pm\sqrt{2}

Funktionen har alltså stationära punkter där x=12-0.4x = 1 - \sqrt{2}\approx\text{-}0.4 och x=1+22.4.x = 1 + \sqrt{2}\approx2.4. Punkternas y-y\text{-}värden hittar man genom att sätta in x-x\text{-}värdena i funktionsuttrycket. Eftersom man bara ska skissa grafen behöver koordinaterna inte vara exakta, utan det går bra att använda de avrundade värdena -0.4\text{-}0.4 respektive 2.4.2.4.

f(x)=x2+xx1f(x) = \dfrac{x^2 + x}{x - 1}
x-0.4x \approx {\color{#0000FF}{\text{-}0.4}}
f(-0.4)(-0.4)2+(-0.4)-0.41f({\color{#0000FF}{\text{-}0.4}}) \approx \dfrac{\left( {\color{#0000FF}{\text{-}0.4}} \right)^2 + ({\color{#0000FF}{\text{-}0.4}})}{{\color{#0000FF}{\text{-}0.4}} - 1}
f(-0.4)0.17142f(\text{-}0.4) \approx 0.17142\ldots
f(-0.4)0.2f(\text{-}0.4) \approx 0.2

Koordinaterna för funktionens ena stationära punkt är alltså ungefär (-0.4,0.2).(\text{-}0.4, 0.2).

f(x)=x2+xx1f(x) = \dfrac{x^2 + x}{x - 1}
x2.4x \approx {\color{#0000FF}{2.4}}
f(2.4)(2.4)2+2.42.41f({\color{#0000FF}{2.4}}) \approx \dfrac{\left( {\color{#0000FF}{2.4}} \right)^2 + {\color{#0000FF}{2.4}}}{{\color{#0000FF}{2.4}} - 1}
f(2.4)5.82857f(2.4) \approx 5.82857\ldots
f(2.4)5.8f(2.4) \approx 5.8

Koordinaterna för den andra stationära punkten är ungefär (2.4,5.8).(2.4,5.8).

För att avgöra vilken karaktär de stationära punkterna har kan man undersöka andraderivatans tecken i punkterna. Då måste man först bestämma funktionens andraderivata genom att derivera ytterligare en gång.

f(x)=x22x1(x1)2f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}
f(x)=D(x22x1(x1)2)f''(x) = D\left( \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \right)
f(x)=D(x22x1)(x1)2(x22x1)D((x1)2)((x1)2)2f''(x) = \dfrac{D\left( x^2 - 2x - 1 \right) \cdot (x - 1)^2 - \left( x^2 - 2x - 1 \right) \cdot D\left(\left(x - 1\right)^2\right)}{\left(\left(x - 1\right)^2\right)^2}
f(x)=(2x2)(x1)2(x22x1)2(x1)1((x1)2)2f''(x) = \dfrac{\left( 2x - 2\right) \cdot (x - 1)^2 - \left( x^2 - 2x - 1 \right) \cdot 2(x - 1) \cdot 1}{\left(\left(x - 1\right)^2\right)^2}
f(x)=2(x1)22(x22x1)(x1)3f''(x) = \dfrac{2 \left( x - 1\right)^2 - 2\left( x^2 - 2x - 1 \right)}{\left(x - 1\right)^3}

När man nu har andraderivatan sätter man in de stationära punkternas x-x\text{-}värden och beräknar. I det här fallet är det endast tecknet som är intressant. Därav får inte avrundade x-x\text{-}värden stoppas in i uttrycket eftersom felmarginalen skulle kunna leda till fel klassificering.

f(x)=2(x1)22(x22x1)(x1)3f''(x) = \dfrac{2 \left( x - 1\right)^2 - 2\left( x^2 - 2x - 1 \right)}{\left(x - 1\right)^3}
f(12)=2(121)22((12)22(12)1)(121)3f''\left({\color{#0000FF}{1 - \sqrt{2}}}\right) = \dfrac{2 \left( {\color{#0000FF}{1 - \sqrt{2}}} - 1\right)^2 - 2\left( \left( {\color{#0000FF}{1 - \sqrt{2}}} \right)^2 - 2\left( {\color{#0000FF}{1 - \sqrt{2}}} \right) - 1 \right)}{\left({\color{#0000FF}{1 - \sqrt{2}}} - 1\right)^3}
f(12)=-1.41421f''\left(1 - \sqrt{2}\right) = \text{-} 1.41421\ldots

Andraderivatan då x=12x = 1 - \sqrt{2} är negativ, så det finns en maximipunkt där.

f(x)=2(x1)22(x22x1)(x1)3f''(x) = \dfrac{2 \left( x - 1\right)^2 - 2\left( x^2 - 2x - 1 \right)}{\left(x - 1\right)^3}
f(1+2)=2(1+21)22((1+2)22(1+2)1)(1+21)3f''\left({\color{#0000FF}{1 + \sqrt{2}}}\right) = \dfrac{2 \left( {\color{#0000FF}{1 + \sqrt{2}}} - 1\right)^2 - 2\left( \left( {\color{#0000FF}{1 + \sqrt{2}}} \right)^2 - 2\left( {\color{#0000FF}{1 + \sqrt{2}}} \right) - 1 \right)}{\left({\color{#0000FF}{1 + \sqrt{2}}} - 1\right)^3}
f(1+2)=1.41421f''\left(1 + \sqrt{2}\right) = 1.41421\ldots

När x=1+2x = 1 + \sqrt{2} är andraderivatan istället positiv, så där finns en minimipunkt. Man kan nu markera de ungefärliga stationära punkterna (-0.4,0.2)(\text{-}0.4,\, 0.2) och (2.4,5.8)(2.4,\, 5.8) som en maximi- respektive minimipunkt i ett koordinatsystem.


Nu fortsätter man med att söka efter vertikala asymptoter. I det här fallet är f(x)f(x) en rationell funktion — då är det lämpligt att leta där den är odefinierad, dvs. då x=1.x = 1. När xx går mot 11 går hela kvoten mot oändligheten, så funktionen har den vertikala asymptoten x=1.x = 1. Detta kan man bekräfta numeriskt genom att sätta in x-x\text{-}värden närmare och närmare 11 i funktionsuttrycket.

xx 1.11.1 1.011.01 1.0011.001 1.00011.0001 1+\to 1^+
x2+xx1\dfrac{x^2+x}{x-1} 23.123.1 203.01203.01 2003.0012003.001 20003.000120\,003.0001 \to \infty

Nu kan denna asymptot markeras i koordinatsystemet.

Man avgör om en funktion har en sned asymptot genom att först beräkna gränsvärdet limxf(x)x. \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}. Om gränsvärdet existerar motsvarar det en eventuell asymptots k-k\text{-}värde.

limxf(x)x\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}
limxx2+xx1undefinedx\lim\limits_{x\to\infty}\left.\dfrac{x^2+x}{x-1}\middle/x\right.
limxx2+xx(x1)\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2+x}{x(x-1)}
limxx+1x1\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x+1}{x-1}

Man undersökar ofta vad som händer med en gränsvärdeskvot när xx går mot oändligheten genom att förkorta med termen av högst grad. Här ska alltså bråket förkortas med x.x.

limxx+1x1\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x+1}{x-1}
limx(x+1)/x(x1)/x\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{(x+1)/x}{(x-1)/x}
limxxx+1xxx1x\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}
limx1+1x11x\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}

När xx nu går mot oändligheten kommer bråken med xx i nämnaren gå mot 0.0.

limx1+1x11x\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}
1+010\dfrac{1 + 0}{1 - 0}
11\dfrac{1}{1}
11

Om funktionen har en sned asymptot är dess k-k\text{-}värde 1.1. Man beräknar nu gränsvärdet limx(f(x)kx). \lim\limits_{x\to\infty}(f(x) - kx). Om det existerar är det asymptotens m-m\text{-}värde.

limx(f(x)kx)\lim\limits_{x\to\infty}\left(f(x) - kx\right)
limx(x2+xx11x)\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2+x}{x-1} - 1 \cdot x\right)
22

Funktionens sneda asymptot är alltså den räta linjen y=x+2.y = x + 2. Även denna markeras i koordinatsystemet.

För att få en ännu bättre idé om grafens utseende kan man bestämma några ytterligare punkter på grafen. I det här fallet är det inte helt uppenbart hur snabbt grafen närmar sig asymptoterna så det kan vara intressant att undersöka några x-x\text{-}värden omkring extrempunkterna.

xx x2+xx1\dfrac{x^2 + x}{x - 1} f(x)f(x)
-2{\color{#0000FF}{\text{-} 2}} (-2)2+(-2)-21\dfrac{({\color{#0000FF}{\text{-} 2}})^2 + ({\color{#0000FF}{\text{-} 2}})}{{\color{#0000FF}{\text{-} 2}} - 1} -0.67\sim \text{-} 0.67
0.5{\color{#0000FF}{0.5}} 0.52+0.50.51\dfrac{{\color{#0000FF}{0.5}}^2 + {\color{#0000FF}{0.5}}}{{\color{#0000FF}{0.5}} - 1} -1.5\text{-} 1.5
1.5{\color{#0000FF}{1.5}} 1.52+1.51.51\dfrac{{\color{#0000FF}{1.5}}^2 + {\color{#0000FF}{1.5}}}{{\color{#0000FF}{1.5}} - 1} 7.57.5
4{\color{#0000FF}{4}} 42+441\dfrac{{\color{#0000FF}{4}}^2 + {\color{#0000FF}{4}}}{{\color{#0000FF}{4}} - 1} 6.67\sim 6.67

När dessa punkter placeras ut blir det ännu tydligare hur grafen ser ut.

Nu finns det tillräckligt med information för att skissa grafen. När avståndet till origo ökar ska grafen närma sig asymptoterna. Grafen till f(x)=x2+xx1f(x)=\frac{x^2 + x}{x - 1} ser alltså ut på följande vis.

Det här är bra riktlinjer när man ska skissa grafer. I vissa fall kan det dock vara lämpligt att göra dessa steg i en annan ordning.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
Bestäm de stationära punkterna till funktionen f(x)=x2+1x.f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}.
b
Avgör de stationära punkternas karaktärer och markera punkterna i ett koordinatsystem.
c
Bestäm eventuella vertikala asymptoter till f(x)f(x) och markera dem i koordinatsystemet.
d
Bestäm eventuella sneda asymptoter till f(x)f(x) och markera dem i koordinatsystemet.
e
Skissa grafen till f(x).f(x).
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa grafen till funktionen g(x)g(x) givet följande teckentabell samt att funktionen har den vertikala asymptoten x=-1x=\text{-}1 och den sneda asymptoten y=x1.y=x-1.

xx -2\text{-}2 -1\text{-}1 00
g(x)g'(x) ++ 00 - odef. - 00 ++
g(x)g(x) \nearrow -4\text{-}4 \searrow odef. \searrow 00 \nearrow
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) har de vertikala asymptoterna x=-3x=\text{-}3 och x=3x=3 samt den horisontella asymptoten y=-2.y=\text{-}2. För funktionen gäller bl.a. att f(-10)=f(10)=0,f(-2)=f(2)=-125   ochf(-5)=f(5)=-158.\begin{aligned} &f(\text{-}\sqrt{10})=f(\sqrt{10})=0,\\[0.45em] &f(\text{-}2)=f(2)=\text{-}\dfrac{12}{5}\ \ \ \text{och}\\[0.85em] &f(\text{-}5)=f(5)=\text{-}\dfrac{15}{8}. \end{aligned} Dessutom gäller följande för funktionens enda stationära punkt. f(0)=-209,f(0)<0\begin{aligned} f(0)=\text{-}\dfrac{20}{9}, \quad f''(0) < 0 \end{aligned}

Skissa grafen till f(x)f(x) med hjälp av detta.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa grafen till funktionen f(x)=x2x4.f(x) = \dfrac{x^2}{x-4}.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet att f(x)=x(x5)(x2+4x), f(x)=\dfrac{x}{(x-5)\left(x^2+4x\right)}, vilka av följande påståenden om funktionen är sanna? A: Grafen nrmar sig en vertikal asymptot nr a¨a¨x gr mot a˚-5.B: Funktionen r inte definierad i a¨x=0.C: Funktionen har den vertikala asymptoten x=0.D: f(x) d a˚x5+.E: limxf(x)x=1.\begin{aligned} &\text{A: Grafen närmar sig en vertikal asymptot när }x\text{ går mot }\text{-}5.\\[0.3em] &\text{B: Funktionen är inte definierad i }x=0.\\[0.3em] &\text{C: Funktionen har den vertikala asymptoten } x=0.\\[0.3em] &\text{D: }f(x)\rightarrow\infty\text{ då }x\rightarrow 5^+.\\[0.3em] &\text{E: }\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}=1. \end{aligned}

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa grafen till funktionen h(x)=1(x3x2)(x23x)+1. h(x)=\dfrac{1}{\left(x^3-x^2\right)\left(x^2-3x\right)}+1.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}