Räkna med integraler

Vi beräknar integralen med hjälp av en primitiv funktion till integranden som vi kallar f(x)=x^3-2x, och börjar därför med att finna en sådan.

Nu sätter vi in integrationsgränserna i den primitiva funktionen och beräknar differensen F(2)-F(-2).

Vi konstaterar att ∫_(-2)^2(x^3-2x ) d x =0.

Vi använder samma metod igen och börjar med att hitta en primitiv funktion till integranden som vi kan kalla f(x).

Vi sätter in integrationsgränserna i F(x) och beräknar F(4)-F(-1).

Integralen ∫_(-1)^4(3x^4+x-2 ) d x är alltså lika med 612.5.

Vi gör samma sak igen. Kom ihåg att e är ett tal.

Vi beräknar F(1)-F(0).

Vi vet nu att ∫_0^1(2e^x+ex^4 ) d x =11e/5-2.

Vi börjar med att ta fram en primitiv funktion som vi sedan kommer använda för att beräkna integralen.

Från figuren ser vi att den övre integrationsgränsen är 1 och den undre är - 1. Nu kan vi bestämma integralen genom att sätta in gränserna i F(x) och beräkna differensen F(1)-F(-1), vilket förkortas [F(x)]_(- 1)^1.

Integralen mellan -1 och 1 för funktionen är alltså lika med 5.2.

Samma sak igen! Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till f(x).

Från figuren ser vi att den övre gränsen är 0 och den undre är - 1. Nu kan vi beräkna integralen.

Integralen mellan -1 och 0 för funktionen är alltså 3.5.

Vi gör på samma sätt här, det spelar ingen roll att det är en exponentialfunktion.

Nu beräknar vi integralen av funktionen mellan 0.5 och 1.

Integralen mellan 0.5 och 1 för funktionen är alltså ca 31.

Vi ska bestämma integralen mellan x=- 2 och x=4 för funktionen f(x). För att göra det ska vi, enligt integralkalkylens huvudsats, beräkna differensen mellan en primitiv funktions värde för den övre integrationsgränsen och motsvarande värde för den undre gränsen. Från uppgiften vet vi att dessa värden är F(- 2)=2 och F(4)=6. Nu kan vi bestämma integralens värde med hjälp av integralkalkylens huvudsats.

Integralens värde är 4.

För att kunna ställa upp integralen som representeras av området måste vi känna till integranden och integrationsgränserna. Integranden är f(x)=3- 3x^2 och integrationsgränserna är de x-värden där grafen till f(x) skär x-axeln, dvs. funktionens nollställen. Dessa hittar vi genom att lösa ekvationen 3-3x^2=0.

Integrationsgränserna är alltså -1 och 1, så integralen vi ska beräkna är ∫_(-1)^1(3- 3x^2 ) d x . För att beräkna integralens värde börjar vi med att hitta en primitiv funktion F(x).

Nu använder vi den primitiva funktionen för att beräkna integralen. Mer specifikt sätter vi in övre respektive undre integrationsgränsen i F(x) och subtraherar sedan uttrycket med den nedre gränsen från uttrycket med den övre gränsen. Vi beräknar alltså F(1)-F(-1), vilket förkortat brukar skrivas [F(x)]_(-1)^1.

Alltså är integralens värde 4.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift. Integranden är g(x)=x^2-3x och integrationsgränserna är även här samma som funktionens nollställen, så vi löser ekvationen x^2-3x=0. Det gör vi t.ex. med nollproduktmetoden.

Integrationsgränserna är 0 och 3. Vi ska alltså bestämma värdet på integralen ∫_0^3(x^2-3x ) d x och börjar därför med att hitta en primitiv funktion G(x).

Nu sätter vi in integrationsgränserna i den primitiva funktionen och beräknar differensen [G(x)]_0^3, dvs. G(3)-G(0).

Vi kan konstatera att integralens värde är -4.5.

Vi beräknar vänsterled och högerled var för sig och kontrollerar sedan om de blir lika.

Vänsterledet

Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till integranden f(x)=2x.

Sedan beräknar vi integralen.

Integralen i vänsterledet har värdet 24.

Högerledet

Nu gör vi på samma sätt med högerledet. Vi kan kalla denna integrand för g(x).

Nu bestämmer vi integralen.

Högerledet blir också 24. Henrico har alltså rätt i sitt påstående.

För att beräkna integralens värde behöver vi en primitiv funktion till integranden f(x) = 6x^2.

Nu sätter vi in integrationsgränserna i den primitiva funktionen och beräknar differensen F(2)-F(1).

Integralens värde blev alltså 14. Det innebär att den blåmarkerade arean i grafen nedan är 14 areaenheter.