Räkna med integraler

Området kan delas upp i två bitar: en under funktionen g(x) mellan grafernas skärningspunkter (blått område), och en under funktionen f(x) mellan funktionernas andra skärningspunkt och f(x):s nollställe (rött område).

För att bestämma arean av det gröna området kan vi alltså beräkna arean av det blå och röda området var för sig och sedan addera dem. Vi ställer upp en integral för varje område.

Blått område

Vi ser att det blå områdets nedre integrationsgräns är x=0. Den övre gränsen motsvaras av grafernas andra skärningspunkt, så vi likställer funktionerna och löser ekvationen för att hitta detta x.

Den övre integrationsgränsen är alltså x=5, så vi kan bestämma arean av det blå området genom att beräkna värdet av integralen ∫_0^5(x^2-6x+10 ) d x . För att göra det måste vi först bestämma en primitiv funktion till integranden g(x).

Nu kan vi beräkna integralens värde.

Det blå området har arean 503.

Rött område

Vi ser att den nedre integrationsgränsen för integralen som representerar det röda området är samma som övre gränsen för det blå området, dvs. 5. Vi kan också se att röda områdets övre gräns motsvaras av nollstället till f(x), så vi löser ekvationen f(x)=0 för att hitta den.

Innan vi kan beräkna integralen mellan x=5 och x=10 måste vi bestämma en primitiv funktion till f(x).

Nu beräknar vi integralens värde.

Det röda området har arean 252.

Grönt område

Det gröna området är lika med summan av det blå och röda området, så vi adderar dessa.

Arean av det gröna området är alltså 175/6 a.e.

Eftersom grafen representerar den primitiva funktionen F(x) så kan vi använda integralkalkylens huvudsats för att beräkna integralen, trots att vi inte har något funktionsuttryck för integranden f(x). Vi gör det genom att bestämma differensen F(5)-F(- 2). Värdet på F(5) och F(- 2) läser vi av direkt i figuren. F(- 2)=- 1 och F(5)=- 2. Nu kan vi beräkna integralens värde.

Vi konstaterar att integralen har värdet - 1.