Innehållsförteckning
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel
5.
Räkna med integraler
Innehållet handlar om att räkna med integraler. Den förklarar hur man bestämmer primitiva funktioner och beräknar integraler algebraiskt. Det finns exempel där man använder integralkalkylens huvudsats och beräknar integraler med hjälp av primitiva funktioner. Sidan innehåller också instruktioner om hur man använder en räknare för att kontrollera svaren. Den täcker olika aspekter av integralberäkning, inklusive användning av integrationsgränser, beräkning av arean mellan grafen och koordinataxlarna, och hur man tolkar integralens värde. Denna lektion är ovärderlig om du läser matte 3b eller 3c.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Räkna med integraler
Sida av 8
Ibland vill man bestämma värdet av en integral som inte enkelt kan beräknas genom att summera areor av kända figurer. Om man känner till funktionsuttrycket kan integralen beräknas algebraiskt med en av funktionens primitiva funktioner.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Samband mellan derivata och integral
- Integralkalkylens huvudsats
- Beräkna integral med primitiv funktion
Förkunskaper
- Integral
- Primitiva funktioner
Regel
Samband mellan derivata och integral
En integral kan tolkas som en area. T.ex. kan
∫05f(t)dt
tolkas som arean av området mellan grafen till f(t) och koordinataxlarna upp till den övre gränsen t=5. Genom att ändra på den övre gränsen kommer områdets area att förändras. För en given funktion f kommer arean på området mellan koordinataxlarna och f(t) enbart att bero på den övre integrationsgränsen. Genom att låta den vara x kan man definiera en areafunktion,
A(x)=∫0xf(t)dt
som beräknar arean av området mellan f(t) och t-axeln mellan 0 och x. Med hjälp av areaberäkningar och derivatans definition kan man visa att
A(x)=F(x)da¨rF′(x)=f(x),
dvs. att areafunktionen är en primitiv funktion till integranden.Regel
Integralkalkylens huvudsats
Integralen av en funktion f(x), på intervallet a≤x≤b, kan beräknas med någon av funktionens primitiva funktioner F(x). För att beräkna integralen bestämmer man differensen av den primitiva funktionens värde för den övre integrationsgränsen och motsvarande värde för den undre gränsen.
Regel
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)Man kan motivera detta samband med ett exempel där f(x)=0,5x+2. Integralen
Integralen kan därför beräknas genom att bestämma arean av området. I det här fallet kan man dela upp det i en rektangel med arean 4⋅3=12 och en triangel med arean 24⋅2=4. Den totala arean och därmed integralens värde blir alltså
Integralens värde blir alltså samma i båda fallen och man kan även visa att detta samband alltid gäller. Om F(x) är primitiv funktion till f(x) och a och b är integrationsgränser kan man ställa upp integralkalkylens huvudsats:
∫26(0,5x+2)dx
representeras då av den markerade arean i figuren. ∫26(0,5x+2)dx=12+6=16.
Nu kan man jämföra detta resultat med regeln om man använder F(x)=0,25x2+2x, en primitiv funktion till f(x). Uttrycket F(b)−F(a) blir då 0,25b2+2b−(0,25a2+2a).
För att beräkna värdet av detta sätter man in integrationsgränserna a=2 och b=6. 0,25b2+2b−(0,25a2+2a)
SubstituteII
b=6 och a=2
0,25⋅62+2⋅6−(0,25⋅22+2⋅2)
CalcPow
Beräkna potens
0,25⋅36+2⋅6−(0,25⋅4+2⋅2)
Multiply
Multiplicera faktorer
9+12−(1+4)
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
9+12−1−4
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
16
∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a).
Mittensteget [F(x)]ab kan användas för att förtydliga vilken primitiv funktion man använder.
Metod
Beräkna integral med primitiv funktion
När man beräknar integraler kan man använda sig av integralkalkylens huvudsats. T.ex. kan man beräkna integralen
Integralen ∫13(3x2+2)dx är alltså lika med 30.
∫13(3x2+2)dx,
på detta sätt.
1
Bestäm en primitiv funktion, F(x)
expand_more Först bestämmer man en primitiv funktion till integranden, dvs. till den funktion som ska integreras.
f(x)=3x2+2
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
F(x)=D−1(3x2)+D−1(2)
AntideriveMonomCo
D-1(axn)=n+1axn+1
F(x)=33x3+D−1(2)
AntideriveConst
D-1(a)=ax
F(x)=33x3+2x
SimpQuot
Förenkla kvot
F(x)=x3+2x
2
Beräkna F(b)−F(a)
expand_more Nu sätts integrationsgränserna in i den primitiva funktionen och man beräknar differensen.
∫13(3x2+2)dx
FundCalc
∫abf(x)dx=[F(x)]ab
[x3+2x]13
EnterIntLimitsFx
[F(x)]13=F(3)−F(1)
33+2⋅3−(13+2⋅1)
SimpPowProd
Förenkla potens & produkt
27+6−(1+2)
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
27+6−1−2
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
30
Exempel
Beräkna integralen
Beräkna integralen
∫05(e2x−8)dx
algebraiskt. Avrunda till heltal. {"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["10973"]}}
Ledtråd
Börja med att hitta en primitiv funktion till funktionen inuti integranden. Använd den för att beräkna integralen.
Lösning
Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till f(x)=e2x−8.
Nu använder vi integralkalkylens huvudsats för att beräkna integralen.
Integralens värde är alltså ungefär lika med 10973.
f(x)=e2x−8
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
F(x)=D−1(e2x)−D−1(8)
AntideriveECo
D-1(ekx)=kekx
F(x)=2e2x−D−1(8)
AntideriveConst
D-1(a)=ax
F(x)=2e2x−8x
∫05(e2x−8x)dx
FundCalc
∫abf(x)dx=[F(x)]ab
[2e2x−8x]05
EnterIntLimitsFx
[F(x)]05=F(5)−F(0)
2e2⋅5−8⋅5−(2e2⋅0−8⋅0)
Multiply
Multiplicera faktorer
2e10−40−2e0
ExponentZero
a0=1
2e10−40−21
UseCalc
Slå in på räknare
10972,73289…
RoundInt
Avrunda till närmaste heltal
∼10973
Digitala verktyg
Integralens värde på räknare
Man kan använda räknaren för att numeriskt beräkna en bestämd integral på ett intervall. Man trycker då på knappen MATH och bläddrar ner till 9:fnInt(
. Tryck ENTER.
Därefter skriver man, separerat med kommatecken, i följande ordning.
- Funktionsuttrycket för integranden
- Variabeln man ska integrera med avseende på
- x-värdet för undre integrationsgränsen
- x-värdet för övre integrationsgränsen
Avsluta med ENTER. Räknaren ger då integralens värde.
Regel
Area mellan två kurvor
Arean mellan två kurvor kan beräknas genom att man subtraherar integralen av den övre funktionen med den undre. Om integralerna har samma gränser kan de läggas ihop till en enda integral.
Subtrahera integraler
∫abf(x)dx−∫abg(x)dx=∫ab(f(x)−g(x))dx.
Om f(x)≥g(x) mellan gränserna kan arean A alltså beräknas som integralen av differensen mellan f(x) och g(x). A=∫ab(f(x)−g(x))dx
Den här regeln gäller alltid, men härledningen ser lite olika ut beroende på hur kurvorna befinner sig i förhållande till x-axeln. Det beror på att man måste ta hänsyn till att integraler för funktioner under x-axeln är negativa.
Härledning
En eller båda kurvor är under x-axelnKurvorna på vardera sida om x-axeln
När kurvorna är på vardera sida om x-axeln kan man inte direkt se på området som differensen mellan två integraler. Istället kan man se det sökta området som summan av areorna mellan kurvorna och x-axeln.
A=∫abf(x)dx+(−∫abg(x)dx)
AddNeg
a+(−b)=a−b
A=∫abf(x)dx−∫abg(x)dx
CombIntSameLimits
Slå ihop integraler
A=∫ab(f(x)−g(x))dx
Båda kurvorna under x-axeln
Det sista fallet är om båda kurvorna befinner sig under x-axeln. Här motsvarar istället det sökta området arean mellan g(x) och x-axeln subtraherat med arean mellan f(x) och x-axeln.
A=−∫abg(x)dx−(−∫abf(x)dx)
SubNeg
a−(−b)=a+b
A=−∫abg(x)dx+∫abf(x)dx
RearrangeTerms
Omarrangera termer
A=∫abf(x)dx−∫abg(x)dx
CombIntSameLimits
Slå ihop integraler
A=∫ab(f(x)−g(x))dx
Exempel
Att hitta arean mellan två kurvor
Find the area on the first quadrant between the curves y=f(x) and y=g(x), where
It can be seen from the graph that the curves intersect at the point (2,2). The area lies between the y-axis and both curves, so the area is within the interval [0,2]. Next, note that g(x) is above f(x), so the area can be found using the integral
In order to evaluate the integral, a primitive to 3−0,5x−0,5x2 needs to be found.
This primitive can be used to evaluate the integral.
The area is 311 square units.
f(x)=0,5x2,
and
g(x)=3−0,5x.
Give the answer exactly. {"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">A<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"s.u.","answer":{"text":["\\frac{11}{3}"]}}
Ledtråd
Find the point of intersection of both curves. Which function lies above the other?
Lösning
In order to find the area begin by looking at the point at which both curves intersect in the first quadrant.
A=∫02(g(x)−f(x))dx.
Substitute the expressions for both functions and evaluate the resulting integral.
A=∫02(g(x)−f(x))dx
SubstituteII
g(x)=3−0,5x och f(x)=0,5x2
A=∫02((3−0,5x)−0,5x2)dx
RemovePar
Ta bort parentes
A=∫02(3−0,5x−0,5x2)dx
D-1(3)−D-1(0,5x)−D-1(0,5x2)
AntideriveConst
D-1(a)=ax
3x−D-1(0,5x)−D-1(0,5x2)
AntideriveXCo
D-1(ax)=2ax2
3x−20,5x−D-1(0,5x2)
AntideriveMonomCo
D-1(axn)=n+1axn+1
3x−20,5x−30,5x3
ExpandFrac
Förläng med 2
3x−4x2−6x3
A=∫02(3−0,5x−0,5x2)dx
FundCalc
∫abf(x)dx=[F(x)]ab
A=[3x−4x2−6x3]02
EnterIntLimits
[F(x)]ab=F(b)−F(a)
A=[3(2)−422−623]−[3(0)−402−603]
▼
Förenkla vänsterled
Multiply
Multiplicera faktorer
A=[6−422−623]−[0−402−603]
CalcPow
Beräkna potens
A=[6−44−68]−[0−40−60]
CalcQuot
Beräkna kvot
A=[6−1−68]−[0−0−0]
SubTerms
Subtrahera termer
A=5−68
ExpandFrac
Förläng med 6
A=65⋅6−68
Multiply
Multiplicera faktorer
A=630−68
SubFrac
Subtrahera bråk
A=630−8
SubTerms
Subtrahera termer
A=622
ReduceFrac
Förkorta med 2
A=311
Räkna med integraler
Övningar
Bestäm det gröna områdets area. Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"a.e.","answer":{"text":["\\dfrac{175}{6}"]}}
security
report
code
security
report
code
Området kan delas upp i två bitar: en under funktionen g(x) mellan grafernas skärningspunkter (blått område), och en under funktionen f(x) mellan funktionernas andra skärningspunkt och f(x):s nollställe (rött område).
För att bestämma arean av det gröna området kan vi alltså beräkna arean av det blå och röda området var för sig och sedan addera dem. Vi ställer upp en integral för varje område.
Blått område
Vi ser att det blå områdets nedre integrationsgräns är x=0. Den övre gränsen motsvaras av grafernas andra skärningspunkt, så vi likställer funktionerna och löser ekvationen för att hitta detta x.
Den övre integrationsgränsen är alltså x=5, så vi kan bestämma arean av det blå området genom att beräkna värdet av integralen ∫_0^5(x^2-6x+10 ) d x . För att göra det måste vi först bestämma en primitiv funktion till integranden g(x).
Nu kan vi beräkna integralens värde.
Det blå området har arean 503.
Rött område
Vi ser att den nedre integrationsgränsen för integralen som representerar det röda området är samma som övre gränsen för det blå området, dvs. 5. Vi kan också se att röda områdets övre gräns motsvaras av nollstället till f(x), så vi löser ekvationen f(x)=0 för att hitta den.
Innan vi kan beräkna integralen mellan x=5 och x=10 måste vi bestämma en primitiv funktion till f(x).
Nu beräknar vi integralens värde.
Det röda området har arean 252.
Grönt område
Det gröna området är lika med summan av det blå och röda området, så vi adderar dessa.
Arean av det gröna området är alltså 175/6 a.e.
security
report
code
F är en primitiv funktion till funktionen f. I figuren visas grafen till funktionen F. Bestäm ∫−25f(x)dx.
Nationella provet HT12 3b/3c
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-1"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom grafen representerar den primitiva funktionen F(x) så kan vi använda integralkalkylens huvudsats för att beräkna integralen, trots att vi inte har något funktionsuttryck för integranden f(x). Vi gör det genom att bestämma differensen F(5)-F(- 2). Värdet på F(5) och F(- 2) läser vi av direkt i figuren. F(- 2)=- 1 och F(5)=- 2. Nu kan vi beräkna integralens värde.
Vi konstaterar att integralen har värdet - 1.
security
report
code
Räkna med integraler
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll