Metod

Beräkna integral med primitiv funktion

När man beräknar integraler kan man använda sig av integralkalkylens huvudsats. T.ex. kan man beräkna integralen

\int_{1}^{3} (3 x^{2} + 2) d x,

på detta sätt.

Bestäm en primitiv funktion,

F (x)

Först bestämmer man en primitiv funktion till integranden, dvs. till den funktion som ska integreras.

f (x) = 3 x^{2} + 2

Bestäm en primitiv funktion

F (x) = D^{- 1} (3 x^{2}) + D^{- 1} (2)

$D^{- 1} (a x^{n}) = \frac{a x ^{n + 1}}{n + 1}$

F (x) = \frac{3 x ^{3}}{3} + D^{- 1} (2)

$D^{- 1} (a) = a x$

F (x) = \frac{3 x ^{3}}{3} + 2 x

Förenkla kvot

F (x) = x^{3} + 2 x

Beräkna

F (b) - F (a)

Nu sätts integrationsgränserna in i den primitiva funktionen och man beräknar differensen.

\int_{1}^{3} (3 x^{2} + 2) d x

$\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b}$

[x^{3} + 2 x]_{1}^{3}

$[F (x)]_{1}^{3} = F (3) - F (1)$

3^{3} + 2 \cdot 3 - (1^{3} + 2 \cdot 1)

Förenkla potens & produkt

27 + 6 - (1 + 2)

Ta bort parentes & byt tecken

27 + 6 - 1 - 2

Addera och subtrahera termer

30

Integralen

\int_{1}^{3} (3 x^{2} + 2) d x

är alltså lika med

30 .