Räkna med integraler

Vi ritar upp de rektanglar som undersumman använder. Eftersom området går från x=0 till x=4 och vi ska få plats med 4 staplar får varje stapel en bredd på 44 = 1. För att det ska vara en undersumma får ingen stapel nå över grafen.

En rektangels area beräknas med bredd gånger höjd. Höjden bestäms genom att sätta in varje rektangels vänstra x-värde i funktionen f(x) = e^x. I bilden visas t.ex. hur rektangel 2 har höjden f(1). Vi gör en tabell för alla rektanglars höjdvärden.

Arean för rektangel 1 blir alltså 1* e^0, för rektangel 2 blir det 1* e^1 osv. Undersumman blir e^0 + e^1 + e^2+ e^3 ≈ 31,2.

Nu ritar vi översumman istället. Bredden är samma som tidigare, men nu får ingen stapel sluta under grafen.

För att få ut varje rektangels höjd är det istället deras högra x-värden som ska användas, eftersom det x-värdet hör till den högsta punkten för varje rektangel.

Nu kan vi beräkna och summera areorna som tidigare. Översumman blir då e^1 + e^2+ e^3 + e^4 ≈ 84,8.

För att beräkna en integral behöver vi en primitiv funktion till integranden f(x) = e^x. Eftersom den funktionen är lika med sin egen derivata måste F(x) = e^x vara en primitiv funktion. Vi använder detta för att beräkna integralens värde.

Integralens värde är alltså ungefär 53,6. Differensen mellan över- och undersumma blir 84,8 - 31,2 = 53,6. Nu räknar vi med avrundade värden, men det ser ut som att differensen blir exakt lika med integralens värde! För att få en förklaring tittar vi närmare på hur differensen bildas i det allmänna fallet, för någon växande funktion f(x). Här representeras undersumman av röda staplar, så att de blå områdena är differensen mellan summorna.

Den första blå rektangeln har då höjden f(x_1) - f(a) och bredden Δ x. Tabellen visar areauttrycket för var och en av de blå rektanglarna.

Differensen mellan över- och undersumma får vi genom att lägga ihop dessa blå areor. Vi gör det och förenklar uttrycket.

Översumman minus undersumman blir alltså Δ x( f(b) - f(a)). Eftersom bredden Δ x är 1 i den här uppgiften kan uttrycket förenklas vidare till endast f(b) - f(a). Jämför nu detta med integralkalkylens huvudsats: ∫_a^bf(x) d x = F(b) - F(a). Integralens värde är alltså F(b) - F(a). Detta är inte nödvändigtvis lika med över- och undersummans differens, f(b) - f(a), men i vårt fall blir det så! Vårt f(x) var ju funktionen e^x, som har den speciella egenskapen att vara lika med sin derivata. Därför är f(x) = F(x) = e^x, vilket ger att ∫_a^bf(x) d x = F(b) - F(a) = f(b) - f(a).