Regel

Samband mellan derivata och integral

Integralen i figuren kan tolkas som arean av området mellan kurvan till f(t)f(t) och koordinataxlarna upp till den övre gränsen t=x.t=x.

Eftersom områdets area beror på den övre integrationsgränsen, x,x, kan man definiera en areafunktion, A(x)=0xf(t)dt, A(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t) \, \text d t , som beräknar arean av området mellan f(t)f(t) och tt-axeln från 00 till x.x. Denna areafunktion är en primitiv funktion till integranden, vilket gör att man kan formulera ett samband mellan primitiva funktioner och integraler.

Regel

F(x)=0xf(t) dt om F(x)=f(x)F(x)=\displaystyle{\int_0^x} f(t)\text{ d}t \quad \text{ om } \quad F'(x)=f(x)

Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen A(x)A(x) för att beräkna arean av ett godtyckligt område under kurvan. Mellan 00 och xx beskrivs arean av integralen A(x)=0xf(t) dt. A(x)=\displaystyle{\int_0^x} f(t)\text{ d}t. Om gränsen flyttas längden hh åt höger kommer den nya gränsen bli x+hx+h och arean under grafen beskrivs av A(x+h)=0x+hf(t) dt. A(x+h)=\displaystyle{\int_0^{x+h}} f(t)\text{ d}t. Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs. A(x+h)A(x).A(x+h)-A(x).

Areaberäkningar under en kurva

Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden hh och där höjden är funktionsvärdet för f(t)f(t) vid x,x, dvs. f(x).f(x). Det ger sambandet f(x)hA(x+h)A(x). f(x)\cdot h \approx A(x+h)-A(x). Genom att låta bredden hh gå mot 00 kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja derivatans definition för att visa att A(x)A(x) är en primitiv funktion till f(x),f(x), dvs. A(x)=f(x).A'(x)=f(x).

f(x)hA(x+h)A(x)f(x)\cdot h \approx A(x+h)-A(x)
f(x)A(x+h)A(x)hf(x) \approx \dfrac{A(x+h)-A(x)}{h}
f(x)=limh0A(x+h)A(x)hf(x) =\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{A(x+h)-A(x)}{h}
Titta nu på högerledet. Det är derivatans definition för funktionen A(x),A(x), dvs. A(x)A'(x): f(x)=A(x). f(x)=A'(x). Eftersom integranden f(x)f(x) är derivatan till A(x),A(x), är A(x)A(x) en primitiv funktion till f(x)f(x) dvs. A(x)=F(x)=0xf(t)dt A(x)=F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t) \, \text d t där F(x)=f(x).F'(x)=f(x). Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och derivata är användbart när man ska beräkna integraler algebraiskt.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}