mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open

Samband mellan derivata och integral


Regel

Samband mellan derivata och integral

Integralen i figuren kan tolkas som arean av området mellan kurvan till och koordinataxlarna upp till den övre gränsen

Eftersom områdets area beror på den övre integrationsgränsen, kan man definiera en areafunktion, som beräknar arean av området mellan och -axeln från till Denna areafunktion är en primitiv funktion till integranden, vilket gör att man kan formulera ett samband mellan primitiva funktioner och integraler.

Regel

Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen för att beräkna arean av ett godtyckligt område under kurvan. Mellan och beskrivs arean av integralen Om gränsen flyttas längden åt höger kommer den nya gränsen bli och arean under grafen beskrivs av Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs.

Areaberäkningar under en kurva

Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden och där höjden är funktionsvärdet för vid dvs. Det ger sambandet Genom att låta bredden gå mot kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja derivatans definition för att visa att är en primitiv funktion till dvs.

Titta nu på högerledet. Det är derivatans definition för funktionen dvs. : Eftersom integranden är derivatan till är en primitiv funktion till dvs. där Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och derivata är användbart när man ska beräkna integraler algebraiskt.