Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Samband mellan derivata och integral


Regel

Samband mellan derivata och integral

Integralen i figuren kan tolkas som arean av området mellan kurvan till f(t)f(t) och koordinataxlarna upp till den övre gränsen t=x.t=x.

Eftersom områdets area beror på den övre integrationsgränsen, x,x, kan man definiera en areafunktion, A(x)=0xf(t)dt, A(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t) \, \text d t , som beräknar arean av området mellan f(t)f(t) och tt-axeln från 00 till x.x. Denna areafunktion är en primitiv funktion till integranden, vilket gör att man kan formulera ett samband mellan primitiva funktioner och integraler.

Regel

info
F(x)=0xf(t) dt om F(x)=f(x)F(x)=\displaystyle{\int_0^x} f(t)\text{ d}t \quad \text{ om } \quad F'(x)=f(x)

Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen A(x)A(x) för att beräkna arean av ett godtyckligt område under kurvan. Mellan 00 och xx beskrivs arean av integralen A(x)=0xf(t) dt. A(x)=\displaystyle{\int_0^x} f(t)\text{ d}t. Om gränsen flyttas längden hh åt höger kommer den nya gränsen bli x+hx+h och arean under grafen beskrivs av A(x+h)=0x+hf(t) dt. A(x+h)=\displaystyle{\int_0^{x+h}} f(t)\text{ d}t. Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs. A(x+h)A(x).A(x+h)-A(x).

Areaberäkningar under en kurva

Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden hh och där höjden är funktionsvärdet för f(t)f(t) vid x,x, dvs. f(x).f(x). Det ger sambandet f(x)hA(x+h)A(x). f(x)\cdot h \approx A(x+h)-A(x). Genom att låta bredden hh gå mot 00 kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja derivatans definition för att visa att A(x)A(x) är en primitiv funktion till f(x),f(x), dvs. A(x)=f(x).A'(x)=f(x).

f(x)hA(x+h)A(x)f(x)\cdot h \approx A(x+h)-A(x)
f(x)A(x+h)A(x)hf(x) \approx \dfrac{A(x+h)-A(x)}{h}
f(x)=limh0A(x+h)A(x)hf(x) =\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{A(x+h)-A(x)}{h}
Titta nu på högerledet. Det är derivatans definition för funktionen A(x),A(x), dvs. A(x)A'(x): f(x)=A(x). f(x)=A'(x). Eftersom integranden f(x)f(x) är derivatan till A(x),A(x), är A(x)A(x) en primitiv funktion till f(x)f(x) dvs. A(x)=F(x)=0xf(t)dt A(x)=F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t) \, \text d t där F(x)=f(x).F'(x)=f(x). Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och derivata är användbart när man ska beräkna integraler algebraiskt.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward