{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Samband mellan derivata och integral
tune
{{ topic.label }}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Regel

Samband mellan derivata och integral

Integralen i figuren kan tolkas som arean av området mellan kurvan till f(t) och koordinataxlarna upp till den övre gränsen t=x.
Eftersom områdets area beror på den övre integrationsgränsen, x, kan man definiera en areafunktion,
som beräknar arean av området mellan f(t) och t-axeln från 0 till x. Denna areafunktion är en primitiv funktion till integranden, vilket gör att man kan formulera ett samband mellan primitiva funktioner och integraler.

Regel

Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen A(x) för att beräkna arean av ett godtyckligt område under kurvan. Mellan 0 och x beskrivs arean av integralen
Om gränsen flyttas längden h åt höger kommer den nya gränsen bli x+h och arean under grafen beskrivs av
Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs. A(x+h)A(x).
Areaberäkningar under en kurva
Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden h och där höjden är funktionsvärdet för f(t) vid x, dvs. f(x). Det ger sambandet
Genom att låta bredden h gå mot 0 kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja derivatans definition för att visa att A(x) är en primitiv funktion till f(x), dvs.
Titta nu på högerledet. Det är derivatans definition för funktionen A(x), dvs. :
Eftersom integranden f(x) är derivatan till A(x), är A(x) en primitiv funktion till f(x) dvs.
där Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och derivata är användbart när man ska beräkna integraler algebraiskt.
close
Community