Samband mellan derivata och integral

Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen A(x) för att beräkna arean av ett godtyckligt område under kurvan. Mellan 0 och x beskrivs arean av integralen A(x)= ∫_0^x f(t)dt. Om gränsen flyttas längden h åt höger kommer den nya gränsen bli x+h och arean under grafen beskrivs av A(x+h)= ∫_0^(x+h) f(t)dt. Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs. A(x+h)-A(x).

Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden h och där höjden är funktionsvärdet för f(t) vid x, dvs. f(x). Det ger sambandet f(x)* h ≈ A(x+h)-A(x). Genom att låta bredden h gå mot 0 kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja derivatans definition för att visa att A(x) är en primitiv funktion till f(x), dvs. A'(x)=f(x).

Titta nu på högerledet. Det är derivatans definition för funktionen A(x), dvs. A'(x): f(x)=A'(x). Eftersom integranden f(x) är derivatan till A(x), är A(x) en primitiv funktion till f(x) dvs. A(x)=F(x)= ∫_0^xf(t) d t där F'(x)=f(x). Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och derivata är användbart när man ska beräkna integraler algebraiskt.