Regel

Addera och subtrahera integraler

När man ska beräkna summan av två integraler med samma integrationsgränser kan man samla funktionsuttrycken inom en enda integral.

abf(x)dx+abg(x)dx=ab(f(x)+g(x))dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) + g(x) \right) \, \text d x

Detta kan visualiseras grafiskt med integralerna av f(x)=1f(x) = 1 och g(x)=x.g(x) = \sqrt{x}. Regeln är dock generell och gäller för alla integrerbara funktioner och gränser.

Integreringsregler5.svg

Motsvarande regel gäller vid subtraktion av integraler med samma integrationsgränser.

abf(x)dxabg(x)dx=ab(f(x)g(x))dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x - \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) - g(x) \right) \, \text d x

Dessa två samband kan härledas med integralkalkylens huvudsats.

Härledning

abf(x)dx±abg(x)dx=ab(f(x)±g(x))dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x \pm \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \pm g(x) \right) \, \text d x
För att visa sambandet uttrycker man först vänsterledet med primitiva funktioner. Här visas för addition, men motsvarande resonemang gäller även för subtraktion.
abf(x)dx+abg(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{a}^{b}g(x) \, \text d x
[F(x)]ab+[G(x)]ab\left[ F(x) \right]_{a}^{b} + \left[ G(x) \right]_{a}^{b}
[F(x)]ab=F(b)F(a)\left[F(x)\right]_a^b = F(b)-F(a)
F(b)F(a)+G(b)G(a)F(b) - F(a) + G(b) - G(a)
F(b)+G(b)F(a)G(a)F(b) + G(b) - F(a) - G(a)
-ab=-(a+b)\text{-} a-b=\text{-}(a+b)
F(b)+G(b)(F(a)+G(a))F(b) + G(b) - (F(a) + G(a))

Det här uttrycket kan man skriva som [F(x)+G(x)]ab. \left[ F(x) + G(x) \right]_{a}^{b}. Nu kan man använda huvudsatsen igen, fast åt andra hållet. Då får man ab(f(x)+g(x))dx. \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) + g(x) \right) \, \text d x .

Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}