Räkna med integraler

Vi börjar med att ta fram ett uttryck för integralens värde. Det gör vi med integralkalkylens huvudsats så vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till integranden f(x)=ke^(kx).

Den här primitiva funktionen använder vi för att ta fram ett uttryck för integralens värde.

Nu har vi ett uttryck för integralen. Detta ska vara lika med e^3-1.

k är alltså 3/4.

Vi gör på liknande sätt och börjar med att ta fram ett uttryck för integralen med hjälp av en primitiv funktion till integranden.

Nu kan vi använda integralkalkylens huvudsats för att ta fram ett uttryck för integralens värde.

Nu har vi ett uttryck som enbart beror på k. Detta ska vara lika med 18, vilket ger oss en andragradsekvation.

Den här ekvationen kan vi lösa med pq-formeln.

Vi får två lösningar, men eftersom k ska vara positivt kan vi utesluta den negativa lösningen. Konstanten k måste alltså vara 1.

När man beräknar integraler är det vanligt att använda den primitiva funktion där C=0. Men för att undersöka om det inte spelar någon roll vad den har för värde bestämmer vi alla primitiva funktioner till integranden f(x)=2x^3+2x.

Med hjälp av integralkalkylens huvudsats kan vi nu beräkna integralen.

Titta nu på de två sista termerna. Där står C-C och det är alltid lika med 0, oavsett värde på C. Kvar blir då 4^2-1^2+4^4/2-1^4/2, som är ett uttryck som inte beror på C. Det spelar alltså ingen roll vad C är eftersom man alltid kommer att få C-C=0 på slutet. Man får därför alltid samma värde på integralen.

<ebox type="Extra" title="Integralens värde"> Det är inte nödvändigt att beräkna integralens värde för den här uppgiften, men vi visar ändå vad det blir för den intresserade.

Värdet på integralen är alltså 382.5 oavsett vilken primitiv funktion man använder.

Vi ser att integralområdet sträcker sig från funktionens lägsta till högsta nollställe. För att bestämma integrationsgränserna behöver vi därför bestämma funktionens nollställen.

Ett nollstället är alltså x=0. Övriga nollställen bestäms genom att lösa andragradsfunktionen x^2-7x+10=0.

Eftersom det är det lägsta och högsta nollstället som representerar integrationsgränserna är dessa x=0 och x=5. Det skuggade området beskrivs alltså av integralen ∫_0^5(x^3-7x^2+10x ) d x . För att beräkna dess värde börjar vi med att bestämma en primitiv funktion till integranden.

Vi beräknar nu integralen genom att subtrahera F(0) från F(5).

Integralens värde är alltså - 12512.

En integral använder en enda funktion åt gången. Eftersom det här områdets tak utgörs av olika funktioner på olika intervall måste vi använda en integral per delområde.

f(x) & = x+1 g(x) & = - x^2+3x+4 Strategin är alltså att ställa upp en integral per delområde och beräkna deras areor separat. Dessa kan sedan läggas ihop för att få totalarean.

Område 1

Det första området går från x=0 till x=3 och ligger mellan x-axeln och funktionen f(x) = x+1. Den arean beskrivs då med integralen ∫_0^3(x+1) dx. För att beräkna integralen behöver vi först en primitiv funktion till integranden.

Nu kan vi använda den här primitiva funktionen för att beräkna integralens värde.

Område 2

Det andra området går från x=3 till x=4 och ligger mellan x-axeln och funktionen g(x) = - x^2+3x+4. Den arean beskrivs då med integralen ∫_3^4(- x^2+3x+4) dx.

Precis som tidigare behöver vi först en primitiv funktion.

Nu kan vi använda den här primitiva funktionen för att beräkna integralens värde.

De två areorna kan nu läggas ihop.

Området är alltså 293 a.e. stort.

Vi använder grafernas skärningspunkt för att dela upp området i två delar.

f(x) & = sqrt(x) g(x) & = - 2x +10 Sedan gör vi som tidigare och beräknar de två areorna separat.

Område 1

Det första området går från x=0 till x=4 och ligger mellan x-axeln och funktionen f(x) = sqrt(x). Den arean beskrivs med integralen ∫_0^4 sqrt(x) dx. För att beräkna integralen behövs en primitiv funktion till integranden.

Nu kan vi använda den här primitiva funktionen för att beräkna integralens värde.

Område 2

Det sista området är en triangel och kräver ingen integral. Det går förstås att bestämma arean på det sättet också, men trianglar har också en areaformel: A = Bas * Höjd/2. Den här triangeln har basen 1 och höjden 2. Arean blir alltså 1* 22 = 1 a.e. Nu kan vi lägga ihop delarna.

Områdets area är alltså 193 a.e.