Räkna med integraler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Ibland vill man bestämma värdet av en integral som inte enkelt kan beräknas genom att summera areor av kända figurer. Om man känner till funktionsuttrycket kan integralen beräknas algebraiskt med en av funktionens primitiva funktioner.
Regel

Samband mellan derivata och integral

En integral kan tolkas som en area. T.ex. kan 05f(t)dt \displaystyle\int_{0}^{5}f(t) \, \text d t tolkas som arean av området mellan grafen till f(t)f(t) och koordinataxlarna upp till den övre gränsen t=5.t=5.

Genom att ändra på den övre gränsen kommer områdets area att förändras. För en given funktion ff kommer arean på området mellan koordinataxlarna och f(t)f(t) enbart att bero på den övre integrationsgränsen. Genom att låta den vara xx kan man definiera en areafunktion,

A(x)=0xf(t)dt A(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t) \, \text d t som beräknar arean av området mellan f(t)f(t) och tt-axeln mellan 00 och x.x. Med hjälp av areaberäkningar och derivatans definition kan man visa att A(x)=F(x)dra¨F(x)=f(x), A(x)=F(x) \quad \text{där} \quad F'(x)=f(x),

dvs. att areafunktionen är en primitiv funktion till integranden.
Regel

Integralkalkylens huvudsats

Integralen av en funktion f(x),f(x),intervallet axb,a\leq x \leq b, kan beräknas med någon av funktionens primitiva funktioner F(x).F(x). För att beräkna integralen bestämmer man differensen av den primitiva funktionens värde för den övre integrationsgränsen och motsvarande värde för den undre gränsen.

Regel

abf(x)dx=F(b)F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,\text{d}x=F(b)-F(a)

Man kan motivera detta samband med ett exempel där f(x)=0.5x+2.f(x)=0.5x+2. Integralen 26(0.5x+2)dx \displaystyle\int_{2}^{6}\left(0.5x+2 \right) \, \text d x representeras då av den markerade arean i figuren.

Integralen kan därför beräknas genom att bestämma arean av området. I det här fallet kan man dela upp det i en rektangel med arean 43=124\cdot3=12 och en triangel med arean 422=4.\frac{4 \cdot 2}{2}=4. Den totala arean och därmed integralens värde blir alltså 26(0.5x+2)dx=12+6=16. \int_2^6 (0.5x+2)\,\text{d}x=12+6=16. Nu kan man jämföra detta resultat med regeln om man använder F(x)=0.25x2+2x,F(x)=0.25x^2+2x, en primitiv funktion till f(x).f(x). Uttrycket F(b)F(a)F(b)-F(a) blir då 0.25b2+2b(0.25a2+2a). 0.25b^2+2b-\left(0.25a^2+2a\right). För att beräkna värdet av detta sätter man in integrationsgränserna a=2a=2 och b=6.b=6.

0.25b2+2b(0.25a2+2a)0.25b^2+2b-\left(0.25a^2+2a\right)
b=6b={\color{#0000FF}{6}}, a=2a={\color{#009600}{2}}
0.2562+26(0.2522+22)0.25\cdot{\color{#0000FF}{6}}^2+2\cdot{\color{#0000FF}{6}}-\left(0.25\cdot{\color{#009600}{2}}^2+2\cdot{\color{#009600}{2}}\right)
0.2536+26(0.254+22)0.25\cdot36+2\cdot6-(0.25 \cdot 4+2\cdot2)
9+12(1+4)9+12-(1+4)
9+12149+12-1-4
1616

Integralens värde blir alltså samma i båda fallen och man kan även visa att detta samband alltid gäller. Om F(x)F(x) är primitiv funktion till f(x)f(x) och aa och bb är integrationsgränser kan man ställa upp integralkalkylens huvudsats: abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a). \int_a^b f(x)\,\text dx=\left[F(x)\right]^b_a=F(b)-F(a). Mittensteget [F(x)]ab\left[F(x)\right]^b_a kan användas för att förtydliga vilken primitiv funktion man använder.

Metod

Beräkna integral med primitiv funktion

När man beräknar integraler kan man använda sig av integralkalkylens huvudsats. T.ex. kan man beräkna integralen 13(3x2+2)dx, \int_{1}^{3} \left(3x^2+2\right)\, \text dx, på detta sätt.

1

Bestäm en primitiv funktion, F(x)F(x)

Först bestämmer man en primitiv funktion till integranden, dvs. till den funktion som ska integreras.

f(x)=3x2+2f(x)=3x^2+2
F(x)=D-1(3x2)+D-1(2)F(x)=D^{\text{-}1}\left(3x^2\right)+D^{\text{-}1}(2)
F(x)=3x33+D-1(2)F(x)=\dfrac{3x^3}{3}+D^{\text{-}1}(2)
F(x)=3x33+2xF(x)=\dfrac{3x^3}{3}+2x
F(x)=x3+2xF(x)=x^3+2x

2

Beräkna F(b)F(a)F(b)-F(a)

Nu sätts integrationsgränserna in i den primitiva funktionen och man beräknar differensen.

13(3x2+2)dx\displaystyle\int_{1}^{3}\left(3x^2+2 \right) \, \text d x
[x3+2x]13\left[x^3+2x\right]_1^3
[F(x)]13=F(3)F(1)\left[F(x)\right]_{{\color{#009600}{1}}}^{\color{#0000FF}{3}}=F\left({\color{#0000FF}{3}}\right)-F\left({\color{#009600}{1}}\right)
33+23(13+21){\color{#0000FF}{3}}^3+2\cdot{\color{#0000FF}{3}}-\left({\color{#009600}{1}}^3+2\cdot{\color{#009600}{1}}\right)
27+6(1+2)27+6-(1+2)
27+61227+6-1-2
3030
Integralen 13(3x2+2)dx\int_{1}^{3} \left(3x^2+2\right)\, \text dx är alltså lika med 30.30.
Uppgift

Beräkna integralen 05(e2x8)dx \int_{0}^{5} \left(e^{2x}-8\right)\, \text dx algebraiskt. Avrunda till heltal.

Lösning
Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till f(x)=e2x8.f(x)=e^{2x}-8.
f(x)=e2x8f(x)=e^{2x}-8
F(x)=D-1(e2x)D-1(8)F(x)=D^{\text{-}1}\left(e^{2x}\right)-D^{\text{-}1}(8)
F(x)=e2x2D-1(8)F(x)=\dfrac{e^{2x}}{2}-D^{\text{-}1}(8)
F(x)=e2x28xF(x)=\dfrac{e^{2x}}{2}-8x
Nu använder vi integralkalkylens huvudsats för att beräkna integralen.
05(e2x8x)dx\displaystyle\int_{0}^{5}\left(e^{2x}-8x \right) \, \text d x
[e2x28x]05\left[\dfrac{e^{2x}}{2}-8x\right]_0^5
[F(x)]05=F(5)F(0)\left[F(x)\right]_{{\color{#009600}{0}}}^{\color{#0000FF}{5}}=F\left({\color{#0000FF}{5}}\right)-F\left({\color{#009600}{0}}\right)
e25285(e20280)\dfrac{e^{2\cdot {\color{#0000FF}{5}}}}{2}-8\cdot{\color{#0000FF}{5}}-\left(\dfrac{e^{2\cdot {\color{#009600}{0}}}}{2}-8\cdot{\color{#009600}{0}}\right)
e10240e02\dfrac{e^{10}}{2}-40-\dfrac{e^0}{2}
e1024012\dfrac{e^{10}}{2}-40-\dfrac{1}{2}
10972.7328910\,972.73289\ldots
Avrunda till närmaste heltal
10973\sim 10\,973
Integralens värde är alltså ungefär lika med 10973.10\,973.
Visa lösning Visa lösning

Man kan använda räknaren för att numeriskt beräkna en bestämd integral på ett intervall. Man trycker då på knappen MATH och bläddrar ner till 9:fnInt(. Tryck ENTER.

Texas instruments TI-82, meny med integralverktyg fnInt valt

Därefter skriver man, separerat med kommatecken, i följande ordning.

  1. Funktionsuttrycket för integranden
  2. Variabeln man ska integrera med avseende på
  3. xx-värdet för undre integrationsgränsen
  4. xx-värdet för övre integrationsgränsen

Avsluta med ENTER. Räknaren ger då integralens värde.

Texas instruments TI-82, beräkna integral på räknare

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}