Räkna med integraler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Ibland vill man bestämma värdet av en integral som inte enkelt kan beräknas genom att summera areor av kända figurer. Om man känner till funktionsuttrycket kan integralen beräknas algebraiskt med en av funktionens primitiva funktioner.
Regel

Samband mellan derivata och integral

En integral kan tolkas som en area. T.ex. kan 05f(t)dt \displaystyle\int_{0}^{5}f(t) \, \text d t tolkas som arean av området mellan grafen till f(t)f(t) och koordinataxlarna upp till den övre gränsen t=5.t=5.

Genom att ändra på den övre gränsen kommer områdets area att förändras. För en given funktion ff kommer arean på området mellan koordinataxlarna och f(t)f(t) enbart att bero på den övre integrationsgränsen. Genom att låta den vara xx kan man definiera en areafunktion,

A(x)=0xf(t)dt A(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t) \, \text d t som beräknar arean av området mellan f(t)f(t) och tt-axeln mellan 00 och x.x. Med hjälp av areaberäkningar och derivatans definition kan man visa att A(x)=F(x)dra¨F(x)=f(x), A(x)=F(x) \quad \text{där} \quad F'(x)=f(x),

dvs. att areafunktionen är en primitiv funktion till integranden.
Regel

Integralkalkylens huvudsats

Integralen av en funktion f(x),f(x),intervallet axb,a\leq x \leq b, kan beräknas med någon av funktionens primitiva funktioner F(x).F(x). För att beräkna integralen bestämmer man differensen av den primitiva funktionens värde för den övre integrationsgränsen och motsvarande värde för den undre gränsen.

Regel

abf(x)dx=F(b)F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)\,\text{d}x=F(b)-F(a)
Metod

Beräkna integral med primitiv funktion

När man beräknar integraler kan man använda sig av integralkalkylens huvudsats. T.ex. kan man beräkna integralen 13(3x2+2)dx, \int_{1}^{3} \left(3x^2+2\right)\, \text dx, på detta sätt.

Först bestämmer man en primitiv funktion till integranden, dvs. till den funktion som ska integreras.

f(x)=3x2+2f(x)=3x^2+2
F(x)=D-1(3x2)+D-1(2)F(x)=D^{\text{-}1}\left(3x^2\right)+D^{\text{-}1}(2)
F(x)=3x33+D-1(2)F(x)=\dfrac{3x^3}{3}+D^{\text{-}1}(2)
F(x)=3x33+2xF(x)=\dfrac{3x^3}{3}+2x
F(x)=x3+2xF(x)=x^3+2x

Nu sätts integrationsgränserna in i den primitiva funktionen och man beräknar differensen.

13(3x2+2)dx\displaystyle\int_{1}^{3}\left(3x^2+2 \right) \, \text d x
[x3+2x]13\left[x^3+2x\right]_1^3
[F(x)]13=F(3)F(1)\left[F(x)\right]_{{\color{#009600}{1}}}^{\color{#0000FF}{3}}=F\left({\color{#0000FF}{3}}\right)-F\left({\color{#009600}{1}}\right)
33+23(13+21){\color{#0000FF}{3}}^3+2\cdot{\color{#0000FF}{3}}-\left({\color{#009600}{1}}^3+2\cdot{\color{#009600}{1}}\right)
27+6(1+2)27+6-(1+2)
27+61227+6-1-2
3030

Integralen 13(3x2+2)dx\int_{1}^{3} \left(3x^2+2\right)\, \text dx är alltså lika med 30.30.

Uppgift

Beräkna integralen 05(e2x8)dx \int_{0}^{5} \left(e^{2x}-8\right)\, \text dx algebraiskt. Avrunda till heltal.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna integralerna algebraiskt. Avrunda till heltal och kontrollera svaret med räknare.

a

02(x+70)dx\displaystyle\int_{0}^{2}\left(x+70 \right) \, \text d x

b

-30(3x2+18ex)dx\displaystyle\int_{\text{-}3}^{0}\left(3x^2+18e^x \right) \, \text d x

c

-4-1(2x2+4x)dx\displaystyle\int_{\text{-}4}^{\text{-}1}\left(2x^2+4x \right) \, \text d x

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna integralerna algebraiskt. Svara exakt.

a

-22(x32x)dx\displaystyle\int_{\text{-}2}^{2}\left(x^3-2x \right) \, \text d x

b

-14(3x4+x2)dx\displaystyle\int_{\text{-}1}^{4}\left(3x^4+x-2 \right) \, \text d x

c

01(2ex+ex4)dx\displaystyle\int_{0}^{1}\left(2e^x+ex^4 \right) \, \text d x

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet av de integraler som representeras av följande markerade områden. Svara med två värdesiffror.


a


b


c
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm integralen -24f(x)dx \displaystyle\int_{\text{-} 2}^{4}f(x) \, \text d x om F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)f(x) och vi vet att F(-2)=2F(\text{-} 2)= 2 samt att F(4)=6.F(4)= 6.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet av de integraler som representeras av följande markerade områden.

a


b
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Henrico påstår att 152xdx=215xdx. \displaystyle \int_1^5 2x \, \text{d}x = 2 \cdot \displaystyle \int_1^5 x \, \text{d}x. Har Henrico rätt i sitt påstående? Motivera ditt svar.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna 126x2 dx\displaystyle \int_{1}^2 6x^2 \text{ d}x algebraiskt.

Nationella provet HT12 3b/3c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna integralerna och svara exakt.

s

151tdt\displaystyle\int_{1}^{5}\dfrac{1}{\sqrt{t}} \, \text d t

b

-30(es+e-s)ds\displaystyle\int_{\text{-}3}^{0}\left(e^s+e^{\text{-} s} \right) \, \text d s

c

-210(2v2v)dv\displaystyle\int_{\text{-}2}^{10}\left(2^v-2v \right) \, \text d v

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm den positiva konstanten kk om

a

04kekxdx=e31.\displaystyle\int_{0}^{4}ke^{kx} \, \text d x =e^{3}-1.

b

-1k(3x+9)dx=18.\displaystyle\int_{\text{-}1}^{k}\left(3x+9 \right) \, \text d x =18.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att det inte spelar någon roll vilken primitiv funktion som används när man beräknar integralen 14(2x3+2x)dx. \displaystyle\int_{1}^{4}\left(2x^3+2x \right) \, \text d x .

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm integralen som representeras av det skuggade området. Svara exakt.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna arean av de markerade områdena.


a

f(x)=x+1g(x)=-x2+3x+4\begin{aligned} f(x) & = x+1 \\ g(x) & = \text{-} x^2+3x+4 \end{aligned}


b


f(x)=0.6767e2xg(x)=4.596+0.551x20.147x3\begin{aligned} f(x) & = 0.6767e^{2x} \\ g(x) & = 4.596 + 0.551x^2 - 0.147x^3 \end{aligned}


c

f(x)=xg(x)=-2x+10\begin{aligned} f(x) & = \sqrt{x} \\ g(x) & = \text{-} 2x +10 \end{aligned}

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm det gröna områdets area. Svara exakt.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

FF är en primitiv funktion till funktionen f.f. I figuren visas grafen till funktionen F.F. Bestäm -25f(x)dx.\displaystyle\int_{\text{-} 2}^{5}f(x) \, \text d x .

NP-primitiv.svg
Nationella provet HT12 3b/3c
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När man använder staplar för att uppskatta arean under en kurva kan staplarnas höjd bestämmas på olika sätt. Om höjden bestäms av funktionens lägsta punkt över stapeln kallas det en undersumma. Om höjden bestäms av funktionens högsta punkt över stapeln kallas det en översumma.

uppskatta integral med översumma och undersumma


a

Uppskatta 04exdx\displaystyle\int_{0}^{4}e^x \, \text d x med både över- och undersumma för fyra delintervall.

b

Beräkna integralens exakta värde. Jämför sedan värdet med differensen av över- och undersumman. Vilket samband ser du? Varför blir det så?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}