Räkna med integraler

Ibland vill man bestämma värdet av en integral som inte enkelt kan beräknas genom att summera areor av kända figurer. Om man känner till funktionsuttrycket kan integralen beräknas algebraiskt med en av funktionens primitiva funktioner.

Regel

Samband mellan derivata och integral

En integral kan tolkas som en area. T.ex. kan $\displaystyle\int_{0}^{5}f(t) \, \text d t$ tolkas som arean av området mellan grafen till $f(t)$ och koordinataxlarna upp till den övre gränsen $t=5.$

Genom att ändra på den övre gränsen kommer områdets area att förändras. För en given funktion $f$ kommer arean på området mellan koordinataxlarna och $f(t)$ enbart att bero på den övre integrationsgränsen. Genom att låta den vara $x$ kan man definiera en areafunktion,

$A(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t) \, \text d t$ som beräknar arean av området mellan $f(t)$ och $t$ -axeln mellan $0$ och $x.$ Med hjälp av areaberäkningar och derivatans definition kan man visa att $A(x)=F(x) \quad \text{där} \quad F'(x)=f(x),$

dvs. att areafunktionen är en primitiv funktion till integranden.

Regel

Integralkalkylens huvudsats

Integralen av en funktion $f(x),$ på intervallet $a\leq x \leq b,$ kan beräknas med någon av funktionens primitiva funktioner $F(x).$ För att beräkna integralen bestämmer man differensen av den primitiva funktionens värde för den övre integrationsgränsen och motsvarande värde för den undre gränsen.

Regel
$\displaystyle\int_a^bf(x)\,\text{d}x=F(b)-F(a)$

Man kan motivera detta samband med ett exempel där $f(x)=0.5x+2.$ Integralen $\displaystyle\int_{2}^{6}\left(0.5x+2 \right) \, \text d x$ representeras då av den markerade arean i figuren.

Integralen kan därför beräknas genom att bestämma arean av området. I det här fallet kan man dela upp det i en rektangel med arean $4\cdot3=12$ och en triangel med arean $\frac{4 \cdot 2}{2}=4.$ Den totala arean och därmed integralens värde blir alltså $\int_2^6 (0.5x+2)\,\text{d}x=12+6=16.$ Nu kan man jämföra detta resultat med regeln om man använder $F(x)=0.25x^2+2x,$ en primitiv funktion till $f(x).$ Uttrycket $F(b)-F(a)$ blir då $0.25b^2+2b-\left(0.25a^2+2a\right).$ För att beräkna värdet av detta sätter man in integrationsgränserna $a=2$ och $b=6.$

0.25b^2+2b-\left(0.25a^2+2a\right)

b={\color{#0000FF}{6}}

,

a={\color{#009600}{2}}

0.25\cdot{\color{#0000FF}{6}}^2+2\cdot{\color{#0000FF}{6}}-\left(0.25\cdot{\color{#009600}{2}}^2+2\cdot{\color{#009600}{2}}\right)

Beräkna potens

0.25\cdot36+2\cdot6-(0.25 \cdot 4+2\cdot2)

Multiplicera faktorer

9+12-(1+4)

Ta bort parentes & byt tecken

9+12-1-4

Förenkla termer

16

Integralens värde blir alltså samma i båda fallen och man kan även visa att detta samband alltid gäller. Om $F(x)$ är primitiv funktion till $f(x)$ och $a$ och $b$ är integrationsgränser kan man ställa upp integralkalkylens huvudsats: $\int_a^b f(x)\,\text dx=\left[F(x)\right]^b_a=F(b)-F(a).$ Mittensteget $\left[F(x)\right]^b_a$ kan användas för att förtydliga vilken primitiv funktion man använder.

Metod

Beräkna integral med primitiv funktion

När man beräknar integraler kan man använda sig av integralkalkylens huvudsats. T.ex. kan man beräkna integralen

\int_{1}^{3} \left(3x^2+2\right)\, \text dx,

på detta sätt.

1

Bestäm en primitiv funktion,

F(x)

Först bestämmer man en primitiv funktion till integranden, dvs. till den funktion som ska integreras.

f(x)=3x^2+2

Bestäm en primitiv funktion

F(x)=D^{\text{-}1}\left(3x^2\right)+D^{\text{-}1}(2)

D ^{\text{-}1}\left(ax^n\right)=\dfrac{ax^{n+1}}{n+1}

F(x)=\dfrac{3x^3}{3}+D^{\text{-}1}(2)

D ^{\text{-}1}(a) = ax

F(x)=\dfrac{3x^3}{3}+2x

Förenkla kvot

F(x)=x^3+2x

2

Beräkna

F(b)-F(a)

Nu sätts integrationsgränserna in i den primitiva funktionen och man beräknar differensen.

\displaystyle\int_{1}^{3}\left(3x^2+2 \right) \, \text d x

\displaystyle \int_a^b f(x) \ \text dx=[F(x)]_a^b

\left[x^3+2x\right]_1^3

\left[F(x)\right]_{{\color{#009600}{1}}}^{\color{#0000FF}{3}}=F\left({\color{#0000FF}{3}}\right)-F\left({\color{#009600}{1}}\right)

{\color{#0000FF}{3}}^3+2\cdot{\color{#0000FF}{3}}-\left({\color{#009600}{1}}^3+2\cdot{\color{#009600}{1}}\right)

Förenkla potens & produkt

27+6-(1+2)

Ta bort parentes & byt tecken

27+6-1-2

Förenkla termer

30

Integralen

\int_{1}^{3} \left(3x^2+2\right)\, \text dx

är alltså lika med

30.

Beräkna integralen

Uppgift

Beräkna integralen $\int_{0}^{5} \left(e^{2x}-8\right)\, \text dx$ algebraiskt. Avrunda till heltal.

Lösning

Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till

f(x)=e^{2x}-8.

f(x)=e^{2x}-8

Bestäm en primitiv funktion

F(x)=D^{\text{-}1}\left(e^{2x}\right)-D^{\text{-}1}(8)

D ^{\text{-}1}\left(e^{kx}\right) = \dfrac{e^{kx}}{k}

F(x)=\dfrac{e^{2x}}{2}-D^{\text{-}1}(8)

D ^{\text{-}1}(a) = ax

F(x)=\dfrac{e^{2x}}{2}-8x

Nu använder vi integralkalkylens huvudsats för att beräkna integralen.

\displaystyle\int_{0}^{5}\left(e^{2x}-8x \right) \, \text d x

\displaystyle \int_a^b f(x) \ \text dx=[F(x)]_a^b

\left[\dfrac{e^{2x}}{2}-8x\right]_0^5

\left[F(x)\right]_{{\color{#009600}{0}}}^{\color{#0000FF}{5}}=F\left({\color{#0000FF}{5}}\right)-F\left({\color{#009600}{0}}\right)

\dfrac{e^{2\cdot {\color{#0000FF}{5}}}}{2}-8\cdot{\color{#0000FF}{5}}-\left(\dfrac{e^{2\cdot {\color{#009600}{0}}}}{2}-8\cdot{\color{#009600}{0}}\right)

Multiplicera faktorer

\dfrac{e^{10}}{2}-40-\dfrac{e^0}{2}

a^0=1

\dfrac{e^{10}}{2}-40-\dfrac{1}{2}

Slå in på räknare

10\,972.73289\ldots

Avrunda till närmaste heltal

\sim 10\,973

Integralens värde är alltså ungefär lika med

10\,973.

Visa lösning

Integralens värde på räknare

Man kan använda räknaren för att numeriskt beräkna en bestämd integral på ett intervall. Man trycker då på knappen MATH och bläddrar ner till 9:fnInt(. Tryck ENTER.

Texas instruments TI-82, meny med integralverktyg fnInt valt

Därefter skriver man, separerat med kommatecken, i följande ordning.

Funktionsuttrycket för integranden
Variabeln man ska integrera med avseende på
$x$ -värdet för undre integrationsgränsen
$x$ -värdet för övre integrationsgränsen

Avsluta med ENTER. Räknaren ger då integralens värde.

Texas instruments TI-82, beräkna integral på räknare

Videohandledningar

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

Formelsamling

Kurs 1

Kurs 2

Kurs 3

Kurs 4

Kurs 5

Räkna med integraler

Samband mellan derivata och integral

Integralkalkylens huvudsats

Regel

Beräkna integral med primitiv funktion

1

2

Exempel

Beräkna integralen

Digitala verktyg