Polynomfunktioner

Eftersom vi ska hitta funktionens nollställen, dvs. de x-värden där funktionen är 0 , sätter vi funktionsuttrycket lika med 0 och löser ekvationen.

Ett nollställe finns alltså i x=0. Vi löser andragradsekvationen med pq-formeln.

Förutom x=0 har funktionen nollställena x=1 och x=9. Vi kontrollerar nollställena med räknaren. Först trycker vi på Y= för att skriva in funktionsuttrycket och sedan på GRAPH för att rita upp grafen.

Man kan behöva ändra på inställningarna för koordinatsystemet för att se alla nollställen. Vi trycker sedan på CALC och väljer alternativet zero. Den utritade grafen visas då igen och vi anger den vänstra och högra gränsen för området där räknaren ska leta efter ett nollställe samt en gissning var nollstället kan tänkas vara. Genom att gissa på ett x-värde som ligger nära extrempunkten så hittar räknaren extrempunktens x-värde snabbare. Räknaren visar då ett av nollställena.

Vi får sedan upprepa proceduren för att hitta de andra två nollställena.

Vi ser att både den algebraiska och grafiska lösningen ger svaren x=0, x=1 och x=9.

Vi sätter ännu en gång funktionen lika med noll och använder nollproduktmetoden för att lösa ekvationen.

Funktionens nollställen är x=0 och x=1. Vi kontrollerar med räknaren på samma sätt som i tidigare deluppgift och får då följande resultat.

Den algebraiska och grafiska lösningen ger alltså samma resultat.

Vi löser även denna uppgift genom att sätta funktionen lika med noll och använda nollproduktmetoden.

Funktionen har alltså ett nollställe i x=0. Andragradsekvationen löser vi genom att addera 4 och dra roten ur.

Nollställena är x=-2, x=0, och x=2. Vi kontrollerar på samma sätt som tidigare och får följande tre nollställen.

Även här ger den algebraiska och grafiska lösningen samma resultat.

Det finns ett samband som säger att en polynomfunktion av grad n kan maximalt ha n-1 extrempunkter. Vet vi funktionens grad kan vi alltså bestämma hur många extrempunkter den maximalt kan ha. Graden bestäms av funktionsuttryckets högsta exponent, och är alltså i detta fall 5. Maximala antalet möjliga extrempunkter är därför 5-1=4 stycken.

Vi ritar nu funktionens graf med räknaren och använder därefter räknarens verktyg för att bestämma max- och minpunkter. Vi trycker först på Y= för att skriva in funktionsuttrycket och sedan på GRAPH för att rita grafen.

Om inte alla extrempunkter syns kan man ändra på koordinatsystemets inställningar. Vi trycker nu på CALC (2nd + TRACE) och väljer "minimum" eller "maximum" beroende på vilken av extrempunkterna vi vill bestämma först. Vi bestämmer maxpunkten först. Kurvan visas då igen, och för att räknaren ska kunna bestämma extrempunkten måste vi ange intervallet där räknaren ska leta (left och right bound) samt göra en gissning. Räknaren visar då ett närmevärde för maxpunktens koordinater.

Funktionen har alltså en maxpunkt i ungefär (-1.3,1.2). För att hitta minimipunkten gör vi samma sak en gång till, men väljer istället "minimum" i CALC-menyn. Det ger följande resultat.

Vi ser att minimipunktens koordinater är ungefär (1.3,-5.2). Terrasspunktens koordinater får vi läsa av på egen hand, och de är (0,-2).

Grafen till en tredjegradare med 2 extrempunkter måste vända 2 gånger. Utifrån denna information kan vi dock inte säga något om antalet nollställen. Grafen kan nämligen ha antingen 1, 2 eller 3 nollställen. Figuren visar de tre olika varianterna.

Informationen var alltså inte tillräcklig för att veta hur många nollställen just polynomet p(x) har, det kan ha antingen 1, 2 eller 3 st.

Grafen till en tredjegradare utan extrempunkter kommer istället aldrig vända, utan vara växande eller avtagande längs hela grafen. Funktionen kommer därför skära x-axeln precis en gång. Grafen visar ett exempel.

I detta fall var informationen alltså tillräcklig för att veta att q(x) måste ha 1 nollställe.

Funktionsuttrycket är ett andragradspolynom vilket betyder att den har formen av en parabel. Om vi kan avgöra vilken typ av extremvärde polynomet antar (maximum eller minimum), samt bestämma symmetrilinjen kan vi ange intervallet där funktionen är avtagande.

Typ av extrempunkt

Eftersom variabeltermen x^2 har en positiv koefficient måste polynomets graf ha ett minimum. Grafen måste därför avta till vänster om symmetrilinjen.

Symmetrilinje

Symmetrilinjens ekvation kan bestämmas med den första termen i pq-formeln. Vi sätter polynomet lika med 0 och läser av koefficienten till x-termen: 0=x^2+2x-8. Koefficienten till x är p=2. Nu sätter vi in det i x_s=- p2 för att beräkna symmetrilinjens ekvation.

Symmetrilinjen är x=- 1. Grafen är avtagande till vänster om denna, dvs. i intervallet x≤-1.

Även detta polynom är ett andragradspolynom så den har formen av en parabel.

Typ av extrempunkt

Variabeltermen x^2 har en negativ koefficient och det innebär att polynomets graf har en maxpunkt. Grafen är därför avtagande höger om symmetrilinjen.

Symmetrilinje

Återigen använder vi pq-formeln för att bestämma symmetrilinjen. Men först måste ekvationens skrivas om till pq-form: 0=- x^2+14x+15 ⇔ 0=x^2-14x-15. Vi ser att p=- 14 och sätter in detta i formeln för att bestämma symmetrilinjens ekvation.

Funktionen är avtagande i intervallet till höger om x=7, dvs. x≥ 7.

Till vänster om origo hittar vi negativa x-värden och till höger positiva. För att få en uppfattning om hur funktionerna beter sig kan vi sätta in några olika x-värden.

Polynomfunktionen y=x^3 antar alltså negativa y-värden för negativa x och positiva y-värden för positiva x. Det beror på att den har en udda exponent. Funktionen kommer därför bli "mer negativ" (↙) ju längre åt vänster vi går och "mer positiv" (↗) ju längre åt höger vi går. Detta ger funktionen dess asymmetriska utseende.

Funktionen y=x^4 antar däremot positiva y-värden både för negativa och positiva x eftersom den har en jämn exponent. Det gör att större och större positiva, men också negativa, x-värden kommer ge positiva funktionsvärden, vilket gör att grafen blir symmetrisk.

Skillnaden i grafernas utseende har alltså att göra med att x^3 har en udda exponent och att x^4 har en jämn exponent.

Vi tittar på graferna, en i taget.

Grön graf

Den gröna grafen har fyra nollställen eftersom den skär x-axeln fyra gånger.

Det betyder att graden måste vara minst 4. Det finns bara två funktioner som inte är tredjegradsfunktioner: p(x) och f(x). För att bestämma vilken av dem det är tar vi reda på vad de har för nollställen.

Lösningarna till ekvationerna, och därmed nollställena till funktionen, är x=-5, x=-2, x=1 och x=4, vilket stämmer överens med den gröna grafen. Vi tittar även på nollställena till f(x) för att se om den kan uteslutas.

Lösningarna till ekvationerna är x=-4, x=-2, x=1 och x=5, dvs. inte de x där den gröna grafen skär x-axeln. Därför ska p(x) paras ihop med den gröna grafen.

Röd graf

Den röda grafen har ett nollställe och skär y-axeln där y=4.

Det betyder att vi kan utesluta f(x) eftersom den har fyra nollställen. Det kan inte heller vara g(x) eftersom den har konstanttermen -2, vilket skulle betyda att grafen skär y-axeln i y=-2. Då återstår två funktioner: q(x)=0.5x^3+4 och h(x)=0.5(x+4)(x^2+2). Vi bestämmer nollställena för q(x).

q(x) har alltså nollstället x=-2 och därför kan det inte motsvara den röda grafen. Det måste alltså vara h(x) som är rätt funktion.

Blå graf

Den blå grafen har ett nollställe och skär y-axeln i x=-2.

Det utesluter f(x) som har fyra nollställen och q(x) som har konstanttermen 4. Det finns bara en funktion kvar som det kan vara: g(x).

Sammanfattning

Vi kan nu sammanfatta våra resultat i koordinatsystemet.

Vi kan se att grafernas nollställen skiljer sig åt och kan utnyttja det för att avgöra vilken funktion de hör ihop med. Vi börjar därför med att bestämma varje polynomfunktions nollställen genom att sätta respektive funktion lika med 0 och lösa ekvationerna.

p(x)

Lösningarna till ekvationerna är x=-5, x=-2, x=1 och x=4. Vi ser att den gröna grafen har precis dessa fyra nollställen.

q(x)

Det finns ingen graf med enbart nollstället x=-2, så ingen av dem representerar funktionen q(x).

f(x)

Ekvationernas lösningar är x=-4, x=-2, x=1 och x=5. Ingen av graferna har kombinationen av dessa fyra nollställen, så f(x) finns inte representerad.

g(x)

Den blå grafen ser ut att ha detta nollställe.

h(x)

Det finns inget reellt tal vars kvadrat är negativt. Den andra ekvationen har alltså inga reella lösningar. Det betyder att grafen till h(x) endast har ett nollställe. Funktionen ska alltså paras ihop med en graf med det enda nollstället x=-4: den röda.

Vi har nu hittat matchande funktioner till alla grafer och sammanfattningsvis hör röd graf hör ihop med h(x), grön graf med p(x) och blå graf med g(x).