Polynomfunktioner

Vi ska bestämma de $x$-värden där funktionen skär $x$-axeln, dvs. där $y$ är $0.$ Det innebär att vi ska lösa ekvationen$x^3+20x^2+19x=0.$

Algebraisk lösning

Vi börjar med att använda en av metoderna för att lösa polynomekvationer algebraiskt. Eftersom alla termer innehåller $x$ kan vi bryta ut det och sedan använda nollproduktmetoden.

$x^3+20x^2+19x=0$
Bryt ut $x$
$x\left(x^2+20x+19\right)=0$
Använd nollproduktmetoden
$\begin{array}{l}x=0 \\ x^2+20x+19=0 \end{array}$

Ekvationen har alltså lösningarna $x=0,$ $x=\text{-}19$ och $x=\text{-}1.$ Dessa är funktionens nollställen.

Grafisk kontroll

Nu använder vi metoden för att lösa polynomekvationer grafiskt för att kontrollera nollställena med räknaren. Vi börjar med att skriva in funktionsuttrycket och rita grafen. Om man inte ser hela grafen kan man behöva ändra räknarens fönsterinställningar genom att t.ex. använda ZoomFit.

Algebraiskt hittade vi tre nollställen till funktionen, $x=\text{-}19,$ $x=\text{-}1$ och $x=0,$ men här ser det ut som att det bara finns två. Vi börjar dock med att bestämma det vänstra nollstället innan vi undersöker området kring origo närmare.

Genom att trycka på CALC (2nd + TRACE) och välja alternativet zero kan vi sedan bestämma vänstra (Left bound?) och högra gränsen (Right bound?) för området där räknaren ska leta efter nollställen.

Det vänstra nollstället är $x=\text{-}19,$ vilket stämmer. För att undersöka området runt origo kan vi t.ex. använda ZoomBox för att zooma in där.

Nu ser vi att det egentligen var två olika nollställen. Genom att använda verktyget Zero två gånger till får vi att de två återstående nollställena är $x=\text{-}1$ och $x=0,$ vilket stämmer överens med det vi kom fram till algebraiskt.

Vi bestämmer en sak i taget.

Nollställen

Vi börjar med nollställena. Dessa är de $x$-värden där funktionsvärdet är lika med $0$, dvs. där grafen skär $x$-axeln. I figuren ser vi att dessa är $x=\text{-}6,$ $x=1,$ $x=3$ och $x=6.5.$

Extrempunkter

Eftersom det är ett sjättegradspolynom kan det maximalt ha $6-1=5$ extrempunkter, men i det här fallet ser vi att grafen bara har tre stycken: två minimipunkter med koordinaterna $(\text{-}1,\text{-}5)$ och $(5,\text{-}7)$ samt en maximipunkt i $(2,3).$

Den högra minimipunkten är ett globalt minimum eftersom funktionen aldrig kommer anta ett lägre $y$-värde än i den punkten. Den andra minimipunkten är lokal. Maximipunkten är också lokal, eftersom funktionsvärdet kan bli oändligt stort. Det saknas därför globalt maximum.

Terrasspunkter

Grafen har en terrasspunkt i $(\text{-}5,\text{-}0.5),$ eftersom grafen planar ut där.

Växande och avtagande

Till sist avgör vi på vilka intervall funktionen är växande $(\nearrow)$ och avtagande $(\searrow)$. Intervallgränserna hamnar vid extrempunkterna eftersom det är där funktionen byter mellan dessa egenskaper. Intervallgränserna har alltså $x$-värdena $\text{-}1,$ $2$ och $5.$

Vi ser i figuren att grafen är avtagande på intervallen markerade med röda pilar och växande där de är gröna. Vi sammanfattar dessa i en tabell.