Polynomfunktioner
{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}Kanaler
Direktmeddelanden
Regel
Antal nollställen till polynomfunktioner
En polynomfunktions nollställen är de x-värden där grafen till funktionen skär x-axeln. Generellt gäller att ett polynom av grad n maximalt kan ha n stycken nollställen. Exempelvis kan en tredjegradsfunktion ha 1, 2, eller 3 nollställen beroende på grafens form och placering i y-led.
Metod
Bestämma nollställen till en polynomfunktion
Algebraisk lösning
Vi börjar med att använda en av metoderna för att lösa polynomekvationer algebraiskt. Eftersom alla termer innehåller x kan vi bryta ut det och sedan använda nollproduktmetoden.
I det här fallet får vi ut en lösning direkt, x=0, samt en andragradsekvation som löses med t.ex. pq-formeln.Använd pq-formeln: p=20,q=19
Beräkna kvot
Beräkna potens
Förenkla termer
Beräkna rot
Ange lösningar
Ekvationen har alltså lösningarna x=0, x=-19 och x=-1. Dessa är funktionens nollställen.
Grafisk kontroll
Nu använder vi metoden för att lösa polynomekvationer grafiskt för att kontrollera nollställena med räknaren. Vi börjar med att skriva in funktionsuttrycket och rita grafen. Om man inte ser hela grafen kan man behöva ändra räknarens fönsterinställningar genom att t.ex. använda ZoomFit.
Algebraiskt hittade vi tre nollställen till funktionen, x=-19, x=-1 och x=0, men här ser det ut som att det bara finns två. Vi börjar dock med att bestämma det vänstra nollstället innan vi undersöker området kring origo närmare.
Genom att trycka på CALC (2nd + TRACE) och välja alternativet zero kan vi sedan bestämma vänstra (Left bound?) och högra gränsen (Right bound?) för området där räknaren ska leta efter nollställen.
Det vänstra nollstället är x=-19, vilket stämmer. För att undersöka området runt origo kan vi t.ex. använda ZoomBox för att zooma in där.
Nu ser vi att det egentligen var två olika nollställen. Genom att använda verktyget Zero två gånger till får vi att de två återstående nollställena är x=-1 och x=0, vilket stämmer överens med det vi kom fram till algebraiskt.
Begrepp
Egenskaper hos polynomfunktioner
Utseendet på en polynomfunktions graf beror bl.a. på funktionens grad. Förstagradspolynom, dvs. linjära funktioner, är räta linjer och andragradspolynom har formen av en parabel. Grafer till polynomfunktioner av högre grad, t.ex. tredjegradspolynom och fjärdegradspolynom, vänder ofta flera gånger och kan få mer komplicerade utseenden.
Graferna har dock en del gemensamma egenskaper som kan vara viktiga att känna till.
Begrepp
Lokala och globala extrempunkter
Det finns lokala och globala extrempunkter. Alla extrempunkter räknas som lokala, men den punkt där funktionen har sitt största eller minsta värde kallas även för global maximipunkt respektive global minimipunkt. Funktionen ovan har ett globalt maximum men inget globalt minimum, eftersom grafen fortsätter nedåt oändligt långt.
Begrepp
Växande och avtagande
Begrepp
Terrasspunkter
Figuren visar grafen till ett sjättegradspolynom.
Använd figuren för att bestämma
- nollställena
- koordinaterna till lokala och globala extrempunkter
- koordinaterna till eventuella terrasspunkter
- de intervall där funktionen är växande respektive avtagande.
Vi bestämmer en sak i taget.
Nollställen
Vi börjar med nollställena. Dessa är de x-värden där funktionsvärdet är lika med 0, dvs. där grafen skär x-axeln. I figuren ser vi att dessa är x=-6, x=1, x=3 och x=6.5.
Extrempunkter
Eftersom det är ett sjättegradspolynom kan det maximalt ha 6−1=5 extrempunkter, men i det här fallet ser vi att grafen bara har tre stycken: två minimipunkter med koordinaterna (-1,-5) och (5,-7) samt en maximipunkt i (2,3).
Den högra minimipunkten är ett globalt minimum eftersom funktionen aldrig kommer anta ett lägre y-värde än i den punkten. Den andra minimipunkten är lokal. Maximipunkten är också lokal, eftersom funktionsvärdet kan bli oändligt stort. Det saknas därför globalt maximum.
Terrasspunkter
Grafen har en terrasspunkt i (-5,-0.5), eftersom grafen planar ut där.
Växande och avtagande
Till sist avgör vi på vilka intervall funktionen är växande och avtagande . Intervallgränserna hamnar vid extrempunkterna eftersom det är där funktionen byter mellan dessa egenskaper. Intervallgränserna har alltså x-värdena -1, 2 och 5.
Vi ser i figuren att grafen är avtagande på intervallen markerade med röda pilar och växande där de är gröna. Vi sammanfattar dessa i en tabell.
| Intervall | Växande/Avtagande |
|---|---|
| x≤-1 | Avtagande |
| -1≤x≤2 | Växande |
| 2≤x≤5 | Avtagande |
| x≥5 | Växande |