Polynomfunktioner

En polynomfunktion är en funktion där funktionsuttrycket består av ett polynom, t.ex. $p(x)=x^2-17 \quad \text{och} \quad q(x)=3x^4-x+9.$

Definitionsmängden för polynomfunktioner är alltid alla reella tal.

Regel

Antal nollställen till polynomfunktioner

En polynomfunktions nollställen är de $x$ -värden där grafen till funktionen skär $x$ -axeln. Generellt gäller att ett polynom av grad $n$ maximalt kan ha $n$ stycken nollställen. Exempelvis kan en tredjegradsfunktion ha $1,$ $2,$ eller $3$ nollställen beroende på grafens form och placering i $y$ -led.

Ett nollställe

Två nollställen

Tre nollställen

Metod

Bestämma nollställen till en polynomfunktion

Om man inte har en graf där man direkt kan läsa av nollställena till en polynomfunktion $f(x)$ kan man istället sätta funktionsuttrycket lika med $0$ och algebraiskt lösa polynomekvationen $f(x)=0.$

Om ekvationen är av grad 2 kan den t.ex. lösas med

pq

-formeln, men är den av högre grad är det ofta svårt att lösa den generellt. Ibland går det dock att lösa polynomekvationer av högre grad med nollproduktmetoden eller variabelsubstitution. Man kan även utnyttja räknaren för att lösa en sådan ekvation.

Bestäm nollställen till tredjegradsfunktionen algebraiskt och grafiskt

Uppgift

Bestäm nollställena till tredjegradsfunktionen

y=x^3+20x^2+19x

algebraiskt. Kontrollera sedan din lösning grafiskt med räknaren.

Lösning

Vi ska bestämma de $x$ -värden där funktionen skär $x$ -axeln, dvs. där $y$ är $0.$ Det innebär att vi ska lösa ekvationen $x^3+20x^2+19x=0.$

Algebraisk lösning

Vi börjar med att använda en av metoderna för att lösa polynomekvationer algebraiskt. Eftersom alla termer innehåller $x$ kan vi bryta ut det och sedan använda nollproduktmetoden.

 $x^3+20x^2+19x=0$ 
Bryt ut  $x$ 
 $x\left(x^2+20x+19\right)=0$ 
Använd nollproduktmetoden
 $\begin{array}{l}x=0 \\ x^2+20x+19=0 \end{array}$

I det här fallet får vi ut en lösning direkt,

x=0,

samt en andragradsekvation som löses med t.ex.

pq

-formeln.

x^2+20x+19=0

Använd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{20}}, \, q={\color{#009600}{19}}

x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{20}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{20}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{19}}}

Beräkna kvot

x=\text{-}10\pm\sqrt{10^2-19}

Beräkna potens

x=\text{-}10\pm\sqrt{100-19}

Förenkla termer

x=\text{-}10\pm\sqrt{81}

Beräkna rot

x=\text{-}10\pm9

Ange lösningar

\begin{array}{l}x_1=\text{-}19 \\ x_2=\text{-}1 \end{array}

Ekvationen har alltså lösningarna $x=0,$ $x=\text{-}19$ och $x=\text{-}1.$ Dessa är funktionens nollställen.

Grafisk kontroll

Nu använder vi metoden för att lösa polynomekvationer grafiskt för att kontrollera nollställena med räknaren. Vi börjar med att skriva in funktionsuttrycket och rita grafen. Om man inte ser hela grafen kan man behöva ändra räknarens fönsterinställningar genom att t.ex. använda ZoomFit.

Algebraiskt hittade vi tre nollställen till funktionen, $x=\text{-}19,$ $x=\text{-}1$ och $x=0,$ men här ser det ut som att det bara finns två. Vi börjar dock med att bestämma det vänstra nollstället innan vi undersöker området kring origo närmare.

Genom att trycka på CALC (2nd + TRACE) och välja alternativet zero kan vi sedan bestämma vänstra (Left bound?) och högra gränsen (Right bound?) för området där räknaren ska leta efter nollställen.

Det vänstra nollstället är $x=\text{-}19,$ vilket stämmer. För att undersöka området runt origo kan vi t.ex. använda ZoomBox för att zooma in där.

Nu ser vi att det egentligen var två olika nollställen. Genom att använda verktyget Zero två gånger till får vi att de två återstående nollställena är $x=\text{-}1$ och $x=0,$ vilket stämmer överens med det vi kom fram till algebraiskt.

Visa lösning

Begrepp

Egenskaper hos polynomfunktioner

Utseendet på en polynomfunktions graf beror bl.a. på funktionens grad. Förstagradspolynom, dvs. linjära funktioner, är räta linjer och andragradspolynom har formen av en parabel. Grafer till polynomfunktioner av högre grad, t.ex. tredjegradspolynom och fjärdegradspolynom, vänder ofta flera gånger och kan få mer komplicerade utseenden.

Grafer till polynomfunktioner av grad 1 tom 6

Graferna har dock en del gemensamma egenskaper som kan vara viktiga att känna till.

Begrepp

Lokala och globala extrempunkter

Ett polynom av grad $2,$ dvs. en andragradsfunktion, har alltid en extrempunkt i form av maximi- eller minimipunkt. För polynomfunktioner av högre grad kan det finnas fler extrempunkter. Mer specifikt kan ett polynom av grad $n$ maximalt ha $n-1$ stycken extrempunkter. Exempelvis har ett polynom av grad $4$ maximalt $3$ extrempunkter.

Det finns lokala och globala extrempunkter. Alla extrempunkter räknas som lokala, men den punkt där funktionen har sitt största eller minsta värde kallas även för global maximipunkt respektive global minimipunkt. Funktionen ovan har ett globalt maximum men inget globalt minimum, eftersom grafen fortsätter nedåt oändligt långt.

Begrepp

Växande och avtagande

Om en funktion antar större och större $y$ -värden när man går åt höger kallas det för en växande funktion. Ett exempel på detta är en rät linje med positivt $k$ -värde. Om funktionen istället antar mindre och mindre $y$ -värden kallas den för avtagande. Polynomfunktioner av högre grad kan vara växande $(\nearrow)$ på vissa intervall och avtagande $(\searrow)$ på andra.

Titta på grafen igen. Vid de gröna pilarna är funktionen alltså växande. Det innebär att funktionens $y$ -värde för ett visst $x$ -värde alltid är större än eller lika stort som något annat tidigare $y$ -värde. Detta kan formellt skrivas: $\text{om} \quad x_2 > x_1 \quad \text{så är} \quad f(x_2) \geq f(x_1).$ Detta är definitionen av en växande funktion. På motsvarande sätt är definitionen av en avtagande funktion att funktionens $y$ -värde för ett visst $x$ -värde alltid är mindre än eller lika med något annat tidigare $y$ -värde: $\text{om } \quad x_2 > x_1 \quad \text{ så är } \quad f(x_2) \leq f(x_1).$ Definitionerna för växande och avtagande funktioner gäller bara på intervall eftersom de kräver minst två punkter. Enskilda punkter kan därför inte vara växande eller avtagande.

Begrepp

Terrasspunkter

Ibland kan en växande graf "plana ut" för att därefter fortsätta växa. Punkten där utplaningen sker kallas för en terrasspunkt. Motsvarande gäller för avtagande funktioner som planar ut och sedan fortsätter att avta.

Undersök polynomfunktionens graf

Uppgift

Figuren visar grafen till ett sjättegradspolynom.

Använd figuren för att bestämma

nollställena
koordinaterna till lokala och globala extrempunkter
koordinaterna till eventuella terrasspunkter
de intervall där funktionen är växande respektive avtagande.

Lösning

Vi bestämmer en sak i taget.

Nollställen

Vi börjar med nollställena. Dessa är de $x$ -värden där funktionsvärdet är lika med $0$ , dvs. där grafen skär $x$ -axeln. I figuren ser vi att dessa är $x=\text{-}6,$ $x=1,$ $x=3$ och $x=6.5.$

Extrempunkter

Eftersom det är ett sjättegradspolynom kan det maximalt ha $6-1=5$ extrempunkter, men i det här fallet ser vi att grafen bara har tre stycken: två minimipunkter med koordinaterna $(\text{-}1,\text{-}5)$ och $(5,\text{-}7)$ samt en maximipunkt i $(2,3).$

Den högra minimipunkten är ett globalt minimum eftersom funktionen aldrig kommer anta ett lägre $y$ -värde än i den punkten. Den andra minimipunkten är lokal. Maximipunkten är också lokal, eftersom funktionsvärdet kan bli oändligt stort. Det saknas därför globalt maximum.

Terrasspunkter

Grafen har en terrasspunkt i $(\text{-}5,\text{-}0.5),$ eftersom grafen planar ut där.

Växande och avtagande

Till sist avgör vi på vilka intervall funktionen är växande $(\nearrow)$ och avtagande $(\searrow)$ . Intervallgränserna hamnar vid extrempunkterna eftersom det är där funktionen byter mellan dessa egenskaper. Intervallgränserna har alltså $x$ -värdena $\text{-}1,$ $2$ och $5.$

Vi ser i figuren att grafen är avtagande på intervallen markerade med röda pilar och växande där de är gröna. Vi sammanfattar dessa i en tabell.

Intervall	Växande/Avtagande
$x \leq \text{-}1$	Avtagande
$\text{-}1\leq x \leq 2$	Växande
$2 \leq x \leq 5$	Avtagande
$x \geq 5$	Växande

Visa lösning

Polynomfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Antal nollställen till polynomfunktioner

Bestämma nollställen till en polynomfunktion

Exempel

Bestäm nollställen till tredjegradsfunktionen algebraiskt och grafiskt

Algebraisk lösning

Grafisk kontroll

Egenskaper hos polynomfunktioner

Lokala och globala extrempunkter

Växande och avtagande

Terrasspunkter

Exempel

Undersök polynomfunktionens graf

Nollställen

Extrempunkter

Terrasspunkter

Växande och avtagande

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Polynom och funktioner

Exempel

Bestäm nollställen till tredjegradsfunktionen algebraiskt och grafiskt

Algebraisk lösning

Grafisk kontroll

Exempel

Undersök polynomfunktionens graf

Nollställen

Extrempunkter

Terrasspunkter

Växande och avtagande

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}